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Nombres et calcul Enseignement , apprentissage et place du calcul mental

Plan DUNE : formation Calcul mental et TICE. Nombres et calcul Enseignement , apprentissage et place du calcul mental. Mission Mathématiques 1 er degré. Jean-Jacques Calmelet. http://cms.ac-martinique.fr/structure/polemathematiques/. Evaluation PISA ~ 2000.

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Nombres et calcul Enseignement , apprentissage et place du calcul mental

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Presentation Transcript

  1. Plan DUNE: formation Calcul mental et TICE Nombres et calcul Enseignement , apprentissage et place du calcul mental Mission Mathématiques 1er degré Jean-Jacques Calmelet http://cms.ac-martinique.fr/structure/polemathematiques/

  2. Evaluation PISA ~ 2000 Estimez l’aire de l’Antarctique en utilisant l’échelle de la carte. MATH ~ JJC ~ 2012

  3. PISA ~ 2003 Lors d’une émission télévisée, un journaliste montre ce graphique et dit :« Ce graphique montre qu’il y a eu une très forte augmentation du nombre de cambriolages entre 1998 et 1999. » Considérez-vous que l’affirmation du journaliste est une interprétation correcte?Justifiez votre réponse par une explication. MATH ~ JJC ~ 2012

  4. 2,40m 0,60m 2,50m 2,473…m 1,60m

  5. PISA… La Culture mathématique : • C’est « l’aptitude d’un individu à identifier et comprendre le rôle des mathématiques dans le monde, à porter des jugements fondés à leur propos et à s’engager dans des activités mathématiques en fonction des exigences de sa vie en tant que citoyen constructif, impliqué et réfléchi » MATH ~ JJC ~ 2012

  6. Pas de hiérarchie :Calcul / Problèmes Mécanisme / Automatisme / Compréhension Connaissances / Capacité à les utiliser MATH ~ JJC ~ 2012

  7. Apprendre le calcul mental : des procédures 1 45 + 17 62 45+17 = 45+10+7=55+7=62 45+17 = 40+5+10+7=50+12=62 • Connaissances mobilisées • Coût en mémoire • Coût en calcul ?? Algorithme écrit = Algorithme mental « Poser dans sa tête » / apprendre des procédures spécifiques Calculer par la droite / calculer par la gauche 45+17 = 45+20-3=65-3=62 Quel automatisme ? • Recours à un ensemble de procédures installées en mémoire • Mobilisation quasi systématique d’une seule procédure Paradoxe de l’automatisation : calculer 45 + 17 45+17 = 45+5+12=50+12=62 45+17 = 45+15+2=60+2=62 45+17 = 2+43+17=2+60=62

  8. « L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification » Programmes 2008 – CP, CE1, CE2, CM1, CM2

  9. Doubles Tables d’addition Tables de multiplication Compléments à 10 … Passage à la dizaine supérieure Distributivité Calcul par la gauche … 12 = 10 + 2 12 = 2 x 6 12 = 2 x 2 x 3 9 = 10 – 1 25 = 100 / 4 … …

  10. identifier les procédures • les reconnaître • les produire • automatiser une procédure pertinente Automatiser les procédures Mémoriser les faits numériques Le niveau expert ? • Structurer la mémorisation: • Faire apprendre les tables • … les doubles • …les décompositions de 10 • … Ce sont des enseignements distincts

  11. Ce n’est pas un « saut naturel » : • dépasser l’usage de la comptine, recomptage du tout, surcomptage, décomptage • mémorisation progressive • appui sur la numération (décomposition, passage à dix) • utilisation de nouveaux outils : ligne numérique, tableau de nombres, Du dénombrement au calcul : Niveau expert ? 37 x 8 37 + 8 37 + 3 + 5 30 + 7 + 8 • 37 x 2 x 2 x 2 (on double trois fois de suite) • 30 x 8 + 7 x 8 25 x 12 50 x 12 • 25 x 4 x 3 • 25 x 10 + 25 x 2 • 50 x 2 x 6 • 50 x 10 + 50 x 2

  12. Mémoriser les « faits numériques »

  13. Exemple d’un outil d’élève : table en cours d’apprentissage au CP ou CE1 (seul les résultats « résistants » apparaissent)

  14. Enseigner les tables ! Doubles : 2 x 3 = 6 4 x 3 = 12 8 x 3 = 24 Triples : 3 x 3 = 9 9 x 3 = 27 2 x 3 = 6 6 x 3 = 18 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 10 x 3 = 30 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 10 x 3 = 30 30 x 3 = 90 10 x 3 = 30 20 x 3 = 60

  15. Interroger sur les tables (addition) : Alterner : Oral (sans écrit) Ecrit (sans oral) • 6 + 7 • ? + 7 = 13 et ? + 6 = 13 • 13 - 6 et 13 - 7 • 13 - ? = 7 et 13 - ? = 6 • Combien manque-t-il à 6 (ou 7) pour aller à 13… • Complète 6 (ou 7) pour arriver à 13… Enseigner les analogies : • 6 + 7… 16 + 7 26 + 7 36 + 7… • 6 + 7… 6 + 17 6 + 27 6 + 37 • 6 + 7… 60 + 70 600 + 700…

  16. Interroger sur les tables (multiplication) : Oral (sans écrit) Ecrit (sans oral) Alterner : • 2 x 7 • ? x 7 = 14 et 2 x ? = 14 • 14 : 2 (dès le CE1) et 14 : 7 • En 14 combien de fois 2 (de fois 7) • 20 x 7 2 x 70 • 140 : 2 • Suite des nombres de … en … (croissante, décroissante) • QCM 2 x 7 = 9 ? 14 ? 5 ?

  17. Denis BUTLEN« Le paradoxe de l’automatisme » • « … lorsque les connaissances de l’élève sont plus limitées, il va se réfugier dans les procédures apparemment plus sûres, mais beaucoup plus coûteuses et conduisant souvent à l’échec. » • CALCUL : • Le paradoxe de l’automatisme (transposition des techniques opératoires au calcul mental) • Les repères des procédures de calcul mental (p19) • NOMBRES : • échanges / groupements • point de vue algorithmique • oral /écrit

  18. Enseigner les procédures (1) 45+17 = 45+10+7=55+7=62 45+17 = 45+20-3=65-3=62 45+17 = 40+5+10+7=50+12=62 Décomposition du 2nd nombre Décomposition des 2 nombres Ajout de dizaine et soustraction Ex. Calculer mentalement : 45 + 17 45+17 = 45+5+12=50+12=62 45+17 = 45+15+2=60+2=62 45+17 = 2+43+17=2+60=62 Passage à la dizaine supérieure

  19. Enseigner les procédures (2) Une semaine sur la procédure 1 Une semaine sur la procédure 2 Une semaine sur la procédure 3 ADAPTATION • Une semaine où l’élève a le choix de l’utilisation … Décomposition du 2nd nombre Passage à la dizaine supérieure Ajout de dizaine et soustraction

  20. Enseigner les procédures (3) Une semaine sur la procédure 1 Une semaine sur la procédure 2 Une semaine sur la procédure 3 ADAPTATION • Une semaine où l’élève a le choix de l’utilisation … • La construction de «  procédures personnelles » est la combinaison : • d’une procédure apprise • d’une mémoire réactive des faits numériques • d’une habileté à utiliser une décomposition pertinente des nombres Décomposition du 2nd nombre Passage à la dizaine supérieure Ajout de dizaine et soustraction

  21. Une séquence d’enseignement du calcul mental : exemple : complément à 100 semaine 1 : automatiser le passage par la dizaine supérieure dans l'addition semaine 2 : automatiser la décomposition dans la soustraction  Semaine 3 : choix des procédures Semaines 1 et 2 : une séance longue (on découvre, on repère, on formalise) ; trois séances courtes, on entraîne sous des formes variées Consigne : calculer l’écart entre 48 et 100 semaine 1 : Modélisation sous forme d’écriture symbolique : 50 48 + 2 + 50 = 100 52 semaine 2 : 100 – 48 = 100 – 40 – 8 soit 100 – 40 = 60 60 – 8 = 52 semaine 3 : choix entre une ou l’autre des procédures • On pourra montrer que : • la soustraction plus pratiques pour retirer des « petits nombres » • le complément (procédure additive) est plus indiqué avec les plus grands nombres Étapes suivantes : Écart 90 / 129 Ecart 87 / 126 EDUSCOL : aide personnalisée CE1-mathématiques

  22. Repères pour le calcul mental – « Le nombre au cycle 2 » • Compléter à 10 à la dizaine supérieure • Compléter à 100 à la centaine supérieure • Trouver le complément quand il s’agit de 10, multiples de 10, 100… • Ajouter, retirer 10, 100 • Calculer des additions en ligne • Décomposition additive d’un nombre • Exprimer un nombre en faisant intervenir la dizaine ou centaine supérieure • Compléter des égalités de type : 37 +18 = 47 + …

  23. Aide personnalisée en mathématiques • http://eduscol.education.fr/cid57169/articuler-aide-personnalisee-et-temps-de-classe-en-mathematiques-en-ce1.html

  24. Quelques repères - rappels : • Séances courtes / séance longue • Emploi du temps • Reprises régulières • Entraînement : variété – brassage • Ecrits formalisés (procédures) • Interrogations (orales/ écrites) • Ardoise ou cahier… • Corrections ? Mises en commun ? • Une technique opératoire durable…

  25. Investir « l’intelligence du calcul » • Enseignement de la numération • - décomposition, familiarité • Deux apprentissages / deux enseignements • Faits numériques • Procédures • Estimation / approximation • Utilisation dans des problèmes de la vie courante • « On ne comprend pas les nombres si on ne connaît pas le calcul » • MicheleArtigue.

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