一、概念的引入

§2.2 排列 一、概念的引入二、排列三、逆序数四、奇排列偶排列五、对换六、练习

一、概念的引入 引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 1 2 3 解 3 1 2 百位 3种放法 3 1 2 1 十位 2种放法 1种放法 1 2 3 个位共有种放法.

称为一个级排列． 个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示. 二、排列问题 1 定义由1，2，…，n组成的一个有序数组由引例同理

三、逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 1 定义在一个排列中，如果一对数的前后位置与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．

分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数. 2 计算排列逆序数的方法方法1

方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例1求排列32514的逆序数. 解在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;

5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 于是排列32514的逆序数为

标准排列123　　为偶排列． （1）（2）四、奇排列、偶排列 1 定义逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．注： 2 例题求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性．

五、对换 定义把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．

对换与 除外，其它元素所成逆序不改变. 定理1 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．证明 1) 特殊情形：作相邻对换设排列为

现来对换与 当时，经对换后的逆序增加1个 , 所成逆序不变; 当时，经对换后所成逆序不变，的逆序减少1个. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 2)一般情形设排列为

次相邻对换 次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

所有级排列中，奇、偶排列各半， 均为个. 设在全部阶排列中，有个奇排列，个偶排列，下证．将个奇排列的前两个数对换，则这个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，同理，将个偶排列的前两个数对换，则这个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，故推论证明

任意一个排列与标准排列都可经过 定理2 一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个排列的奇偶性相同．由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数, 证明而标准排列是偶排列（逆序数为0）, 因此知结论成立.

计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 六、练习解此排列为偶排列.

当时为偶排列； 当时为奇排列. 解

当为偶数时，排列为偶排列， 当为奇数时，排列为奇排列. 解