第一篇数理逻辑

第一篇 数理逻辑

逻辑学（ logic） 是一门研究思维形式及思维规律的科学。数理逻辑（mathematical logic) 是用数学的方法来研究人类推理过程的一门数学学科。其显著特征是符号化和形式化，即把逻辑所涉及的“概念、判断、推理”用符号来表示，用公理体系来刻划, 并基于符号串形式的演算来描述推理过程的一般规律。数理逻辑又称符号逻辑、现代逻辑。

第一章 命题逻辑

第一章命题逻辑 1-1 命题及其表示法 1-2 联结词 1-3 命题公式与翻译 1-4 真值表与等价公式 1-5 重言式与蕴涵式 1-6 其他联结词 1-7 对偶与范式 1-8 推理理论

第一章命题演算及其形式系统 1-1 命题及其表示法把对确定的对象作出判断的陈述句称作命题（propositions or statements）当判断正确或符合客观实际时，称该命题真（True），用“T”或“1”表示；否则称该命题假（False），用“F”或“0”表示。要点：确定的对象作出判断陈述句（见P-2的句子）

通常把不含有逻辑联结词的命题 称为原子命题或原子（atoms）（自然语言中的单句,P-2的(1)、(2)、(4)）把由原子命题和逻辑联结词共同组成的命题称为复合命题（compositive propositions or compound statements）（自然语言中的复句， P-2的(9)、(10)）。

命题的符号化（标示符）： 可以用以下两种形式将命题符号化： .用（带下标的）大写字母；例如：P：今天下雨。 .用数字。例如：[12]：今天下雨。上例中的“P”和“[12]”称为命题标示符。命题常元（proposition constants）我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s等与f，t统称为命题常元。

命题变元（proposition variable） 是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，它未指出符号所表示的具体命题，可以代表任意命题。指派当命题变元用一个特定命题取代时，该命题变元才能有确定的真值，从而成为一个命题。称对命题变元进行指派

对任意给定的命题变元p1,…,pn的一种取值 状况，称为指派或赋值（assignments），用字母，等表示当A对取值状况  为真时，称指派弄真A或是A的成真赋值，记为(A) = 1；反之称指派弄假A或是A的成假赋值，记为 (A) = 0。

1-2 联结词 否定词“并非” 合取词“并且” 析取词“或” 条件词“如果……，那么……” 双条件词“当且仅当”

(1)否定（negation ） 定义1-2.1 设P为一命题，P的否定是一个新命题，记作“┐P”。若P为T， ┐P为F；若P为F， ┐P为T。联结词“ ┐ ”表示自然语言中的“并非”（not ）。表1-2.1否定词“┐”的意义 “见假为真，见真为假” ┐p读作“并非p”或“非p”。

（2）合取（conjunction ） 定义1-2.2 两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。当且仅当P、Q同时为T时， P∧Q 为T，其他情况下， P∧Q的真值都是F。合取联结词“∧”表示自然语言中的 “并且”（and ）。 1-2.2 合取词“∧”的意义见假为假，全真为真。 p∧q读作“p并且q”或“p且q”

（3）析取词（disjunction） 定义1-2.3 两个命题P和Q的析取是一个复合命题，记作P ∨Q。当且仅当P、Q同时为F时， P ∨Q 为F，其他情况下， P ∨Q的真值都是T。析取联结词“∨ ”表示自然语言中的 “或”（or ）。表 1-2.3 析取词“∨”的意义见真为真，全假为假。 p∨q读作“p或者q”、“p或q”。

（4）条件词（implication) 定义1-2.4 给定两个命题P和Q，其条件命题是一个复合命题，记作P →Q。当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时， P →Q 的真值为F，其他情况下， P →Q的真值都是T。条件联结词“→ ”表示自然语言中的“如果…，那么…” （if…then…）。表1-2.4 条件词“ →”的意义前真后假为假，其他为真。 p→q中的p称为条件前件，q称为条件后件

（5）双条件(two-way-implication) 定义1-2.5 给定两个命题P和Q，其复合命题P Q称作双条件命题。当P和Q的真值相同时， P Q 的真值为T，否则， P Q的真值都是F。双条件联结词“ ”表示自然语言中的“当且仅当”（if and only if）。 1-2.5 双向条件词“  ”的意义相同为真，相异为假。 pq读作“p与q互为条件”，“p当且仅当q”。

1-3 命题公式与翻译 定义1-3.1 以下四条款规定了命题公式（proposition formula）的意义：（1）单个命题常元或命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。（2）如果A是命题公式，那么┐A也是命题公式。（3）如果A，B是命题公式，那么（A∧B），（A∨B），（A→B），（AB）也是命题公式。（4）只有有限步引用条款（1）、（2）、（3）所组成的符号串是命题公式。命题公式又称为合式公式Wff（Well formed formula ） Wff的正例和反例见P-10页。

联结词的优先级 • 命题公式外层的括号可以省略； • 联结词的优先级：┐、∧、∨、→、。 • 利用加括号的方法可以提高优先级。范例：如下的Wff： P∧Q→R 等价于Wff：（（P∧Q）→R ）等价于Wff：（P∧Q）→R 不等价于Wff： P∧（Q→R）

自然语言的语句用Wff形式化 主要是以下几个方面： ①要准确确定原子命题，并将其形式化。 ②要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要放准确。 ③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式，但要保证表达意思一致。 ④需要的括号不能省略，而可以省略的括号，在需要提高公式可读性时亦可不省略。 ⑤ 要注意语句的形式化未必是唯一的。自然语言的语句用Wff形式化的例子见P-10页。

1-4 真值表与等价公式 定义1-4.1（真值表）在命题公式Wff中，对于公式中分量一切可能的指派组合,公式A的取值可能用下表来描述，这个表称为真指表（truth table）。真值表的例子见P-13页表1-4.1、表1-4.2、表1-4.3和P-14页表1-4.4、表1-4.5、表1-4.6。定义1-4.2 （等价公式）给定两个命题公式A和B，设P1，P2， …， Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2， …， Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。记作AB 等价证明方法1：可以用真值表验证两个Wff是否等价，见P-13的例题5 “真值表法”。

常用的等价等值式 E1┐┐AA 双重否定律 E2 A∨AA 幂等律 E3 A∧AA 幂等律 E4 A∨BB∨A 交换律 E5 A∧BB∧A 交换律 E6 (A∨B)∨CA∨(B∨C) 结合律 E7 (A∧B)∧CA∧(B∧C) 结合律 E8 A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) 分配律 E9 A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) 分配律 E10┐(A∨B)┐A∧┐B 德摩根律 E11┐(A∧B)┐A∨┐B 德摩根律 E12 A∨(A∧B)A 吸收律 E13 A∧(A∨B)A 吸收律

E14 A→B┐A∨B E15 A B (A→B)∧(B→A) E16 A∨tt E17 A∧tA E18 A∨fA E19 A∧ff E20 A∨┐At 排中律 E21 A∧┐Af 矛盾律 E22┐tf, ┐ft 否定律 E23 A∧B→CA→(B→C) E24 A→B ┐B→┐A 逆否律 E25 (A→B)∧(A→┐B)┐A P-16 例题6 验证吸收率 1律 0律

定义1-4.3 如果X是Wff A的一部分，且X本身也是一个Wff，则称X为公式A的子公式。定理1-4.1 （替换原理Rule of Replacement ，简记为RR）如果X是Wff A的子公式，若X  Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到的新公式B与公式A等价，即A  B。等价证明方法2：证明思路： “讨论指派法” 等价证明方法3：见P-16的例题7“等价代换法”。

1-5 重言式与蕴涵式 定义1-5.1 对命题公式A，如果对A中命题变元的一切指派均弄真A，则A称为重言式（tautology），又称永真式. 如果至少有一个指派弄真A，则A称为可满足式（satisfactable formula or contingency）。定义1-5.2如果对A中命题变元的一切指派均弄假A，则称A为不可满足式或矛盾式（contradiction or absurdity）或永假式。

定理1-5.1 任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。证明思路：“讨论指派法”A为T，B为T， A与B析取（或合取）仍为T，定理1-5.2 一个重言式，对同一分量都用任何Wff置换，其结果仍为一重言式。证明思路：“讨论指派法” 真值与分量的指派无关，置换后与仍为T。见P-20的例题1 定理1-5.3 设A、B是两个Wff，一个重言式， AB当且仅当A B为一重言式。关于“当且仅当”的证明思路：双向证明法，从“AB”出发推出“A B为一重言式”；再从“A B为一重言式”出发推出“AB” 。

定义1-4.2‘ （等价公式的另一种定义）当命题公式AB为重言式时，称A逻辑等价于B，记为 A  B，它又称为逻辑等价式（logically equivalent or equivalent）。定义1-5.3 当命题公式A→B为重言式时，称A逻辑蕴涵B，记为A  B，它又称为逻辑蕴涵式 (logically implication)。常用的逻辑蕴涵式见p-21页表1-5.2

定理1-5.4 设P、Q为任意两个命题公式，PQ的充分必要条件是PQ且QP。证明思路：本定理的结论是“PQ” 本定理的条件是“PQ且QP” 如果能从条件“PQ且QP”推出结论“PQ”，说明条件是充分的；如果能从结论“PQ”推出条件“PQ且QP” ，说明条件是必要的。先证必要性：XXXXXX 再证充分性：XXXXXX

关于等价式和蕴涵式的性质： （1）AB当且仅当 AB （2）AB当且仅当 A→B （3）若AB，则BA 等价对称性（4）若AB，BC，则AC 等价传递性（5）若AB，则┐B┐A 蕴涵逆否性（6）若AB，BC，则AC 蕴涵传递性（7）若AB，AA‘，BB’，则A‘B’蕴涵等价代换（8）若AB，CB，则A∨CB （9）若AB，AC，则AB∧C

◆代入原理（Rule of Substitution），简记为RS 设A为永真式，p为A中命题变元，A(B/p) 表示将A中p的所有出现全部代换为公式B后所得的命题公式（称为A的一个代入实例），那么 A(B/p)亦为永真式。

p q p ∨q F（0） F（0） T（1） T（1） F（0） T（1） F（0） T（1） F（0） T（1） T（1） F（0） 1-6 其它联结词（1）不可兼析取（异或）定义1-6.1 两个命题公式P和Q的不可兼析取是一个新命题公式，记作P ∨Q。当且仅当P、Q真值不同时， P ∨Q 为T，其他情况下的真值都是F。 1-6.1 异或词“∨”的意义相同为假，相异为真。 p ∨q读作“p异或q”

异或联结词的性质： （1） P∨QP∨Q 交换律（2）（P∨Q）∨R P∨（Q∨R）结合律（3）P∧（Q∨R）（P∧Q）∨（P∧R）分配律（4）（ P∨Q）（P∧ ┐Q）∨（ ┐P∧Q）（5）（ P∨Q） ┐（PQ）（6）（ P∨P）F，F∨P  P，T ∨P ┐P 定理1-6.1 设P、Q和R为命题公式，如果 P∨QR，则P∨RQ，Q∨RP，且P∨Q∨R 为一矛盾式。证明思路利用性质（6）。

p q p q F（0） F（0） T（1） T（1） F（0） T（1） F（0） T（1） F（0） F（0） T（1） F（0）（2）条件否定定义1-6.2 设P和Q是两个命题公式， P和Q的条件否定是一个新命题公式，记作P Q。当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时， P Q 为T，其他情况下的真值都是F。根据此定义，可知P Q  ┐（P →Q）表1-6.2 异或词“”的意义前真后假为真其余为假。 p q读作“p和q的条件否定”

p q p q F（0） F（0） T（1） T（1） F（0） T（1） F（0） T（1） T（1） T（1） T（1） F（0）（3）与非定义1-6.3 设P和Q是两个命题公式， P和Q的与非是一个新命题公式，记作PQ。当且仅当P和Q的真值都为 T时， P Q 为F ，其他情况下P Q的真值都是T 。根据此定义，可知P Q  ┐（P∧Q） P Q的3个性质见P-26页。全真为假见假为真。表1-6.3 与非词“”的意义

p q p q F（0） F（0） T（1） T（1） F（0） T（1） F（0） T（1） T（1） T（1） T（1） F（0）（4）或非定义1-6.4 设P和Q是两个命题公式， P和Q的或非是一个新命题公式，记作P Q。当且仅当P和Q的真值都为 F 时， P Q 为T ，其他情况下P Q的真值都是F 。根据此定义，可知P Q  ┐（P ∨Q） P Q的3个性质见P-26页。联结词小结见P-27页。全假为真见真为假。表1-6.4 或非词“”的意义

1-7 对偶与范式 定义1-7.1 设给定的命题公式A仅含联结词┐，∧，∨，A*为将A中符号∧，∨，t，f分别改换为∨，∧，f，t后所得的公式，那么称A*为A的对偶式（dual）。显然， A也为A*的对偶式。见P-29页例题1 定理1-7.1 设公式A和A*中仅含命题变元p1,…,pn，及联结词┐，∧，∨；则 ┐A(p1，p2…, pn)A*(┐p1，┐p2…, ┐pn) A(┐p1，┐p2…, ┐pn) ┐A*(p1，p2…, pn) 证明思路：利用德摩根定律 P∨Q  ┐（┐P∧┐Q） A ┐ A* 推广到p1，p2…, pn

定理1-7.2 设公式A和B中仅含命题变元p1,…,pn，如果AB，则A*B*。

文字(letters)：指命题常元、变元及它们的否定，文字(letters)：指命题常元、变元及它们的否定，前者又称正文字，后者则称负文字。析取子句(disjunctive clauses)：指文字或若干文字的析取。合取子句(conjunctive clauses)：指文字或若干文字的合取。互补文字对(complemental pairs of letters) ：指形如L，┐L（L为文字）的一对字符。

定义1-7.2 命题公式A‘称为公式A的合取范式 （conjunctive normal form）如果（1）A' A （2）A‘为一析取子句或若干析取子句的合取。 A‘形如：A1∧A2∧…∧An (n1) 定义1-7.3命题公式A‘称为公式A的析取范式（disjunctive normal form），如果（1）A' A （2）A‘为一合取子句或若干合取子句的析取。 A‘形如：A1∨A2∨…∨An (n1)

求一个命题公式的合取范式或析取范式的步骤：求一个命题公式的合取范式或析取范式的步骤： . 将公式中的联结词化归成仅含∨ 、∧、┐； . 利用德 . 摩根定律将否定符号┐直接内移到各个命题变元之前； . 利用分配律、结合律将公式归约为合取范式或析取范式。见P-32页例题5 定义1-7.4 n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时出现，但两者必须出现且仅出现一次。一般来说，n个命题变元共有2n个小项。 P-32页表7-7.1

根据定义可知，没有两个小项是等价的，且每个小项都只对应P和Q的一组真值指派，使得该小项的真值为T。根据定义可知，没有两个小项是等价的，且每个小项都只对应P和Q的一组真值指派，使得该小项的真值为T。以上结论可推广到三个以上的变元情况，并且由此可以作出一种编码，使n个变元的小项可以很快地写出来。见P=33页表1-7.3。小项有如下性质： . 每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为T，在其余2n -1种真值指派情况下均为F。 . 任意两个不同小项的合取式永假。 . 全体小项的析取式永为真。 2n -1  mi =m0∨m1∨ …∨m2n -1T i=0

定义1-7.5对于给定的命题公式A，如果有一个等价公式A’，它仅由小项的析取所组成，则称A’为A的主析取范式（major disjunctive normal form）。一个公式主析取范式可以构成真值表的方法写出。定理1-7.3在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取，即为次公式的主析取范式。利用等价公式推演主析取范式的步骤： . 化归为析取范式。 . 除去析取范式中所有永假的析取式。 . 将析取式中重复出现的合取项和相同的变元合并。  . 对合取项补入没有出现的命题变元，即添加（P ∨ ┐ P）式，然后，应用分配律展开公式，再经过整理。

定义1-7.6 n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时出现，但两者必须出现且仅出现一次。一般来说，n个命题变元共有2n个大项。 P-36页大项的例子。大项有如下性质： . 每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为F，在其余2n -1种真值指派情况下均为T。 . 任意两个不同大项的析取式永真。 . 全体大项的合取式永为假。 2n -1  Mi =M0∧M1∧ …∧M2n -1F i=0

定义1-7.7 对于给定的命题公式A，如果有一个等价公式A’，它仅由大项的合取所组成，则称A’为A的主合取范式（major conjunctive normal form）。一个公式主合取范式可以构成真值表的方法写出。定理1-7.4在真值表中，一个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取，即为次公式的主合取范式。利用等价公式推演主合取范式的步骤： . 化归为合取范式。 . 除去合取范式中所有永真的合取项。 . 将合取式中重复出现的析取项和相同的变元合并。  . 对析取项补入没有出现的命题变元，即添加（P ∧┐ P）式，然后，应用分配律展开公式，再经过整理。

1-8 推理理论 定义1-8.1设A和C是两个命题公式，当且仅当A→C为一重言式，即A  C，称C是A的有效结论。或C可由A逻辑推出。序列H1, H2, …, Hn和C是命题公式，当且仅当 H1∧H2∧…∧Hn C 称C是一组前提H1, H2, …, Hn的有效结论。或C可由H1, H2, …, Hn逻辑推出。判别有效结论的过程就是论证过程，论证方法有“真值表法”、“直接证明法”和“间接证明法”。（1）真值表法

（1）真值表法 设P1, P2, …, Pn是出现于前提H1, H2, …, Hm和结论C中的全部命题变元，假定对P1, P2, …, Pn作了全部的真值指派，这样就能对应地确定H1, H2, …, Hm和C的所有真值，列出这个真值表，即可看出 H1∧H2∧…∧Hm C 是否成立。因为若从真值表上找出H1, H2, …, Hm真值均为T的行，对于每一个这样的行，若C也有真值T，则上述蕴涵式成立；或者找出C的真值为F的行，对于每一个这样的行， H1, H2, …, Hm的真值中至少有一个为F，则上述蕴涵式也成立。 P-41页例题1、例题2。

（2）直接证明法 直接证明法就是由一组前提，利用一些公认的推理规则，根据已知的等价或蕴涵式，推演得到有效的结论。 P规则（前提引入）：前提在推导过程中的任何时候都可以引入。 T规则（结论引用）：在推导中，如果有一个或多个公式重言蕴涵着公式S（结论），则公式S可以引入推导之中。常用的蕴涵式和等价式见P-43页表1-8.3和表1-8.4。直接证明法例题1：

（3）间接证明法 定义1-8.2设P1, P2, …, Pn是出现于前提H1, H2, …, Hm中的全部命题变元，对于P1, P2, …, Pn的一些真值指派，如果能使H1∧H2∧…∧Hm的真值为T，则称公式H1, H2, …, Hm是相容的。如果对于P1, P2, …, Pn的每一组真值指派，使得H1∧H2∧…∧Hm的真值均为F，则称公式H1, H2, …, Hm是不相容的。不相容的概念用于命题公式的证明：设有一组前提H1, H2, …, Hm，要推出结论C，即要证H1∧H2∧…∧Hm C，记作S  C，即┐C →┐S为永真，或 C∨┐S 为永真，故 ┐C∧S 为永假。因此要证H1∧H2∧…∧Hm C，只要证H1, H2, …, Hm与┐C是不相容的。

间接证明法的另一种情况（CP规则） 若要证明H1∧H2∧…∧Hm（R→C）。将H1∧H2∧…∧Hm记作S，即要证 S （R→C）或要证 S （ ┐R∨C）故 S→（┐R∨C）为永真式因为 S→（┐R∨C）  ┐S∨（┐R∨C） （┐S∨┐R ）∨C ┐（S∧R ）∨C  （S∧R ）→C 所以若将R作为附加前提，如果有（S∧R ） C 即证得S （R→C）。

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