Черкаська приватна загальноосвітня школа “Софія” вчитель математики Ратушна Аліна Валеріївна

1. Подібні трикутники T P E K Черкаська приватна загальноосвітня школа “Софія” вчитель математики Ратушна Аліна Валеріївна H D

2. Усім нам часто доводиться мати справу з предметами однакової форми, але різних розмірів. Наприклад: зменшена модель автомобіля схожа на справжній автомобіль. Але їх розміри відповідно пропорційні. Фігури схожих форм називаються подібними фігурами

3. У геометрії знак подібності використовується часто і позначається В А С Трикутник АВС подібний трикутнику КРТ К Т Р

4. Подібні трикутники Два трикутники називаються подібними,якщо в них відповідні кути рівні й відповідні сторони пропорційні. С1 ΔАВС ~ ΔА 1В 1С 1 C Число, якому дорівнює відношення відповідних сторін подібних трикутників, називається коефіцієнтом подібності (позначають k) a 2a b 2b А c В А1 В1 2c

5. Подібні трикутники Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює відношенню їх відповідних сторін. С1 С • Щоб скласти відношення відповідних сторін подібних трикутників, потрібно: • визначити відповідно рівні кути трикутника; • з'ясувати, які сторони є відповідними; • записати рівність трьох дробів, у чисельниках яких – сторони одного з трикутників, а у знаменниках – відповідні сторони іншого А В В1 А1

6. ФАЛЕС МІЛЕТСЬКИЙ (кін. 624 – кін. 546 до н. е.) «Блаженство тіла – в здоров’ї, блаженство розуму – в знаннях»

7. Узагальнена теорема Фалеса Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на його сторонах пропорційні відрізки. Наслідок N Пряма, паралельна будь-якій стороні трикутника, відтинає від нього подібний трикутник. С М А В

8. Щоб довести подібність трикутників потрібно: • довести рівність кутів даних трикутників; • довести пропорційність відповідних сторін даних трикутників. С1 С В А В1 А1

9. С В А Перша ознака подібності трикутників (за двома кутами) Теорема (ознака подібності трикутників за двома кутами). Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники – подібні. С1 В1 А1

10. Наслідки: • Рівносторонні трикутники подібні. • Рівнобедрені трикутники подібні, якщо вони мають по рівному куту: при основі; при вершині. • Прямокутні трикутники з рівним гострим кутом є подібними. • Рівнобедрені прямокутні трикутники – подібні.

11. Перша ознака подібності трикутників (за двома кутами) Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність. E 600 В W 350 350 Р D F 800 А А М 650 С 300 С В

12. B1 300 400 300 N A1 C1 Р М С А С Перша ознака подібності трикутників (за двома кутами) Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність. В В 1100 А

13. K Z X T P Перша ознака подібності трикутників (за двома кутами) Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність. Записати рівність відношень відповідних сторін. С М N А В

14. B C E D A Подібність трикутників. Знайти подібні трикутники і довести їх подібність. Записати рівність відношень відповідних сторін. Розв'язання Розглянемо , , отже - як внутрішні різносторонні, - рівнобедрений. і мають рівні кути, отже вони подібні

15. В Е А С О O – центр кола Подібність трикутників. Знайти подібні трикутники і довести їх подібність. Записати рівність відношень відповідних сторін. Розв'язання і - подібні, за першою ознакою подібності трикутників як кут, що спирається на діаметр кола, - спільний

16. В С К А D О АВ - дотична Подібність трикутників. Знайти подібні трикутники і довести їх подібність. Записати рівність відношень відповідних сторін. Розв'язання за двома кутами. - як кут, що спирається на діаметр кола. , тому що (як дотична до діаметра) - за умовою

17. Друга ознака подібності трикутників

18. Друга ознака подібності трикутників Теорема С1 Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники –подібні. С А В В1 А1

19. B Е 400 400 400 Q 8см 7cм 4см 3,5см 5 см 5cм 400 3 см 3см К F A C C A P R Розв'яжіть задачу Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність. B

20. E B Е 3cм 3cм B 400 400 F 4см 3,5см D 3cм 8см 7cм 5 cм 5 cм F К A C 5 cм A C Розв'яжіть задачу Знайти пари подібних трикутників і довести їх подібність.

21. С В 92 см 115 см 600 R S 300 4 см 5 см А Р Розв'яжіть задачу Доведіть подібність трикутників Розв'язання - за другою ознакою подібності трикутників (за двома пропорційними сторонами і кутом між ними) і

22. Дано:см, м Знайти: B N М 3 м С 12 м А Розв'яжіть задачу Розв'язання - за двома кутами. - спільний - як при перетині паралельних прямих січною. Отже Відповідь: см см

23. B Дано:дм, дм, дм Знайти: N М 2 дм С 10 дм Розв'яжіть задачу Розв'язання - за двома кутами. - спільний - як при перетині паралельних прямих січною. Отже , , дм Відповідь: дм А

24. Третя ознака подібності трикутників

25. Третя ознака подібності трикутників Теорема С1 Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьомсторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні. С В А В1 А1

26. А М 3 см 5 В 4 см N 1 см С Розв'яжіть задачу Розв'язання - за двома кутами. - спільний - як при перетині паралельних прямих січною. Отже , , см , , см Відповідь: см, см. Дано: см, см, см Знайти:

27. F Дано:- паралелограм, см Знайти: E C B A D Розв'яжіть задачу Розв'язання - як кути утворені при перетині паралельних прямих січною. - як вертикальні кути. - як кути утворені при перетині паралельних прямих січною. - як протилежні кути паралелограма. Отже - за першою ознакою подібності трикутників (за двома рівними кутами) , , см Відповідь: см

28. Дано:- паралелограм, см Знайти: Розв'яжіть задачу C В F Розв'язання - як кути паралелограма. Отже за першою ознакою подібності трикутників (за двома кутами). Оскільки см, то см. Нехай , тоді . Запишемо відношення відповідних сторін подібних трикутників , , см Відповідь: см D A N

29. Застосування подібності

30. Вимірювання висоти предмета

31. Визначення відстанні до недоступної точки

32. Визначеннявисоти за допомогоюдзеркала

33. Розв'яжіть задачу В Довжина тіні фабричної труби дорівнює 35,8 м. У той самий час вертикально поставлена жердина завдовжки 1,9 м дає тінь довжиною 1,62 м. Знайдіть висоту труби. Розв'язання Розглянемо та , -спільний. . Отже - за першою ознакою рівності трикутників (два рівні кути). , , м Відповідь: м К А М 1,9 м С 1,62 м 35,8 м

34. Розв'яжіть задачу Визначити висоту і ширину будівлі за даними малюнка. Розв'язання Оскільки масштаб взято 1 см до 200 см, тому висота будівлі: см, або 8м. Ширина будівлі становить см, або 6 м. Відповідь: 8 м, 6 м. Масштаб 1:200

35. Розв'яжіть задачу Що можна сказати про прямі Розв'язання за теоремою, Фалеса тому що вони відтинають пропорційні відрізки на сторонах кута , і не паралельні прямій тому, що

36. Розв'яжіть задачу Довжина яхти 8 м; висота щогла – 12 м. Хлопчик робить модель яхти довжиною 40 см. Якої висоти щоглу йому потрібно зробити? Розв'язання 8 м= 800 см, роблячи довжину яхти 40 см, хлопчик зменшує її у 800:40=20 раз. Отже висоту щогла потрібно зменшити також у 20 раз. 12 м= 1200 см. 1200: 20=60 см Відповідь: 60 см висота щогла

37. Розв'яжіть задачу Макет літака має довжину 25 см і розмах крил 30 см. Яка довжина оригіналу, якщо розмах його крил дорівнює 18 м? Розв'язання Розмах крил літака 18 м, або 1800 см. Якщо розмах крил макета 30 см, отже його зменшили у 1800:30=60 раз. Отже довжина оригінала становить см, або 15 м. Відповідь: 15 м довжина літака.

38. Розв'яжіть задачу Діаметр глобуса дорівнює 40 см; діаметр Землі – 12 000 км. Визначте відстань від Києва до Москви, якщо на глобусі ці міста розділені відстанню 10 см. Розв'язання Визначимо у скільки раз модель глобуса менша за Землю 12 000 км = 1 200 000 000 см 1 200 000 000: 40 = 30 000 000. Отже відстань від Новосибірська до Москви буде у стільки раз більша ніж на глобусі І дорівнює 300 000 000 см = 30 000 км Відповідь: відстань від Києва до Москви 30 000км.

39. Розв'яжіть задачу Радіолокаційний пост спостереження знаходиться в 20 км від гори, висота якої 3 км. З-за гори на висоті 9 км летить літак. На якій відстані по горизонталі він буде помічений? Розв'язання Складемо математичну модель задачі: АМ – відстань від гори до посту, КМ – висота гори; СВ – висота польоту літака; Запишемо дано. Дано: км, км, км Знайти: (як прямокутні трикутники, що мають спільний гострий кут). Запишемо відношення відповідних сторін трикутника км. Відповідь: літак буде помічений на відстані 60 км В К С А М

40. Розв'яжіть задачу В Складемо математичну модель задачі: BC – висота вишки; SL – висота жердини; LC – відстань від вишки до жердини; LА – відстань від жердини до спостерігача; Дано: м, м, м, Знайти: Розв'язання За узагальненою теоремою Фалеса , , м. Відповідь: 722 м Визначається висота телевізійної вишки на відстані 360 м. в землю вкопується жердина висотою 2 м. Потім спостерігач відходить від жердини і стає так, щоб вершини вишки і жердини стали в одному полі зору. Довелось відійти на 1 м. Яка висота вишки? S С А L

41. Розв'яжіть задачу Складемо математичну модель задачі ВС – висота заводської труби; КМ – діаметр монети; АМ – відстань від очей до монети АС – відстань від спостерігача до труби Дано: м, мм, см. Знайти: Розв'язання За узагальненою теоремою Фалеса , , м, км Відповідь: заводська труба знаходиться на відстані 6 км На якій відстані від спостерігача знаходиться заводська труба висотою 150 м, якщо монета 15 мм знаходиться на відстані витягнутої руки (60 см), заслоняє цю трубу повністю. В К А М С

42. Розв'яжіть задачу Чоловік зростом 180 см (на рівні очей) визначає ширину річки. Він втикає на її березі жердину висотою 170 см. І відходить від неї до того часу поки її вершина і протилежний берег річки, не будуть в одному полі зору. Відійти йому довелось на 10 м. Яка ширина річки? Складемо математичну модель задачі ВС – висота людини; КМ – висота жердини; СМ – відстань від людини до жердини; МА – ширина річки. Дано:ВС=180 см, КМ=170 см, СМ=10 м Знайти: АМ Розв'язання За узагальненою теоремою Фалеса Нехай , тоді , , см, м. Відповідь: ширина річки 17 м В К А С М

43. Розв'яжіть задачу Хлопчик визначає висоту дерева. З цією ціллю він відходить від дерева на відстань 15 метрів і втикає жердину висотою 2 м. Потім лягає на землю так, щоб вершини жердини і дерева були в одному полі зору. Відстань від його голови до жердини 3 м. Яка висота дерева? Складемо математичну модель задачі ; КМ – висота жердини; МА – відстань до жердини; СА – відстань від хлопчика до дерева; ВС – висота дерева. Дано: КМ=2 м, СА=15 м, МА= 3 м Знайти: ВС Розв'язання За узагальненою теоремою Фалеса , м Відповідь: висота дерева 10 м В К А С М

44. Розв'язування задач на подібність трикутників

45. В Дано: Знайти: N М 4 см 3 см 2 см С А 12 см Розв'яжіть задачу Розв'язання За узагальненою теоремою Фалеса . Запишемо відношення відповідних сторін: , , см. , , см. Відповідь: 1 см, 1,5 см

46. B Дано: ,– паралелограм, см см Знайти: D E A C F Розв'яжіть задачу Розв'язання . Розглянемо трикутники - як кути утворені при перетині паралельних прямих січною. - спільний. Отже - за двома кутами. Запишемо відношення відповідних сторін подібних трикутників. За умовою задачі , . . , , . см, см. Відповідь: 10 см, 12 см

47. C B Дано: – хорди, = 8см, F Знайти: A O D Розв'яжіть задачу Розв'язання Розглянемо трикутники і . - як вертикальні кути; - як кути, що спираються на одну дугу. Отже - за двома кутами. Запишемо відношення відповідних сторін трикутників Нехай см, тоді см см, см. Відповідь: 12 см, 4 см.

48. Дано: Знайти: В 5 см N М 4 см А С 12 см см Розв'яжіть задачу - за двома кутами, ( - спільний, - як кути утворені при перетині паралельних прямих січною). Запишемо відношення відповідних сторін трикутника , см Відповідь: см Розв'язання

49. Дано: Знайти: А N 10 см 5 см 4 см В С М см Розв'яжіть задачу Розв'язання - за двома кутами, ( - спільний, - як кути утворені при перетині паралельних прямих січною). Запишемо відношення відповідних сторін трикутника , , см Відповідь: см