运筹学 OPERATIONAL RESEARCH

1. 运筹学OPERATIONALRESEARCH 燕山大学经济管理学院 运筹学课程教学课题组编制

2. 第一章 线性规划及单纯形法

3. 第一节 线性规划问题及其数学模型 • 一、线性规划问题的提出 • 二、线性规划问题与模型的建立举例 • 三、线性规划的数学模型 • 四、线性规划模型的应用 • 五、线性规划问题的标准形式

4. 一、线性规划问题： 在既定的资源限制条件下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益为最好。 规划问题—— 返回

5. ⅠⅡ 每天可用能力 设备A 0 5 15 设备B 6 2 24 调试工序1 1 5 利润 2 1 二、举例 例1 生产计划问题 两种家电各生产多少, 可获最大利润?

6. 转到 解:设两种家电产量分别为变量x1， x2 5x215 6x1 + 2x224 x1 + x25 x1，x20 max Z= 2x1 +x2

7. 例2 原料\维生素A B Ｃ每单位成本 1 4 1 0 2 2 6 1 2 5 3 1 7 1 6 4 2 5 3 8 维生素最低含量 12 14 8 求：最低成本的原料混合方案

8. 解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i =1,2,3,4) 转到 minZ= 2x1+ 5x2 +6x3+8x4 4x1+ 6x2 + x3+2x4 12 x1+ x2 +7x3+5x4 14 2x2+ x3+3x48 xi 0 (i =1,…,4) 返回

9. 三、线性规划模型特点 • 决策变量：向量(x1…xn)T 决策人要考虑和控制的因素非负 • 约束条件：线性等式或不等式 • 目标函数：Z=ƒ(x1…xn) 线性式，求Z极大或极小

10. a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn(=, )b2 … … … am1X1+ am2X2+…+ amnXn(=, )bm Xj 0(j=1,…,n) （一）一般式 Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn

11. 价值系数 右端项常数 技术系数 目标函数 决策变量

12. （二）隐含的假设 返回 • 比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改变量成正比 • 可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它变量 • 连续性：每个决策变量取连续值 • 确定性：线性规划中的参数aij, bi , ci为确定值

13. 四、线性规划模型的应用 返回 • 市场营销 • 生产计划制定 • 库存管理 • 运输问题 • 财政、会计 • 人事 • 设备管理 • 城市管理

14. （一）生产计划问题 例：某工厂在计划期内要安排两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗及资源限制如下表所示： 该厂每生产一单位产品Ⅰ可获利50元，每生产一单位产品Ⅱ可获利100元，两种产品应分别生产多少？

16. 解：设x1, x2为决策变量， x1为生产产品Ⅰ的数量， x2为生产产品Ⅱ的数量。 max Z=50x1+100x2 x1+x2  300 2x1 +x2  400 x2  250 x1  0, x2  0

17. （41页例10）试安排获利最多的生产计划。

18. Max Z= (1.25-0.25)(x11 + x12+ x13 + x14+ x15+ x16) + (2.0-0.35)(x21 +x22)+(2.8-0.5) x3 -0.05(5x11+5 x12+ 5x13+ 10x21)-0.03（7 x14 +7 x15 + 7x16 +9 x22+12 x3）-0.06（ 6 x11 + 6x14 + 8x21 +8 x22）-0.11（ 4 x12 + 4x15 + 11x3）-0.05（7 x13+ 7x16 ） 5x11+5 x12+ 5x13+ 10x21 6000 7 x14 +7 x15 + 7x16 +9 x22+12 x3 10000 6 x11 + 6x14 + 8x21 +8 x224000 4 x12 + 4x15 + 11x3  7000 7 x13+ 7x16  4000 xij 0

19. （二）配料问题 例： 湖景医院的营养师正准备为刚做完手术的儿科小患者提供牛奶配方的营养品以加强其体力恢复。营养品有三种可能的成分构成：鸡蛋奶油冻、冰激淋、奶油糖果味糖浆。三种营养品所含的营养、营养成分的限制、成本等资料如下表所示，在成本最小的情况下，用多少单位的三种成分混合才能满足表中要求做成牛奶配方的营养品？

20. A B C 营养限制量 胆固醇50 150 90  175 饱和脂肪0 100 50  150 蛋白质70 10 0  200 热量30 80 200  100 成本15 25 10 （美分）

21. 解：设牛奶配方的营养品中含鸡蛋奶油冻、冰激淋、奶油糖果味糖浆的数量分别为x1、x2、x3解：设牛奶配方的营养品中含鸡蛋奶油冻、冰激淋、奶油糖果味糖浆的数量分别为x1、x2、x3 minZ= 0.15x1 + 0.25x2+ 0.1x3 50x1 + 150x2 + 90 x3  175 100x2+ 50x3 150 70x1+ 10 x2 200 30x1 + 80x2 + 200 x3 100 xi0 (i =1,…,4)

22. （三）换班问题(46页14题) 例：某昼夜服务的公交线路，每天各时间段内所需要的司机和乘务员数如下表。设司机和服务员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作8小时，问该公交路线怎样安排司机和乘务员，才能既满足工作需要又配备最少的司机和乘务员？

24. 解：设xi为第i班开始上班的人数。 minZ= x1 + x2+x3+x4+x5+x6 x1 + x6  60 x1 + x2  70 x2+ x3  60 x3 + x4  50 x4 + x5  20 x5 +x6  30 xi0 (i =1,…,6)

25. 例：捷运公司拟在下一年度的1-4月的4个月内需租用仓库堆放物资，已知各月所需仓库面积入表一。仓库租借费用随合同期限而定，合同期越长，折扣越大，具体见表二。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。该厂可在任何一月办理租借合同，每次办理一份或若干份均可。为使租借费用最小，公司应如何选择签订合同的最优决策？例：捷运公司拟在下一年度的1-4月的4个月内需租用仓库堆放物资，已知各月所需仓库面积入表一。仓库租借费用随合同期限而定，合同期越长，折扣越大，具体见表二。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。该厂可在任何一月办理租借合同，每次办理一份或若干份均可。为使租借费用最小，公司应如何选择签订合同的最优决策？

26. minZ= 2800（ x11 + x21+x31+x41） +4500（ x12 + x22+x32）+6000（ x13 + x23）+7300x14 x11 + x12+x13+x14 15 x12 + x13+x14+x21 +x22+x23 10 x13 + x14+x22+x23 +x31+x32 20 x14 + x23+x32+x41 12 xij0 (i =1,…,4; j =1,…,4)

27. 仓库\工厂1 2 3 库存 甲2 1 3 50 乙2 2 4 30 丙 3 4 2 10 需求40 15 35 （四）运输问题 求最小运费的运输方案

28. 设xij为i仓库运到 j工厂的原棉数量(i＝1，2，3， j＝1，2，3) minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10 x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35 xij 0

29. 返回 • 要解决的问题的目标可以用数值指标反映 • 对于要实现的目标有多种方案可选择 • 有影响决策的若干约束条件

30. 五、线性规划的标准形式 • （一）一般式 • （二）矩阵式 • （三）向量式 （四）化标准形式 返回

31. (一) 一般型 MaxZ=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn =b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn=b2 … … … … am1X1+ am2X2+…+ amnXn=bm Xj 0(j=1,2,…,n) 其中bi0 (i=1,2,…,m) 返回

32. P1 P2 ……… Pn a11 a12 ……… a1n 其中A= a21 a22 ………a2n ………………… am1 am2 ………amn … X1 X= X2 Xn b1 b= b2 bm … (二) 矩阵型 maxZ=CX AX=b X 0 C=(C1 C2 …Cn ) 返回

33. X1 AX=(P1 P2 …Pn ) X2 = b Xn … (三) 向量型 返回 P1 X1+P2 X2 + … +Pn Xn=b

34. (四) 化标准型 • 1. 约束条件 • 2. 目标函数 • 3. 变量 • 4. 右端项系数 返回

35. 5x215 6x1 + 2x224 x1 + x25 xi0 松弛变量 1. 约束条件 例1 maxZ=2X1+ X2 +0·X3 +0·X4+0·X5 +X3 =15 +X4 =24 +X5 = 5

36. 剩余变量 例2 minZ=2X1+ 5X2+6X3 +8X4 +0X5+0X6 +0X7 4x1+ 6x2 + x3+2x4 12 x1+ x2 +7x3+5x4 14 2x2+ x3+3x48 xi 0 (i =1,…,4) - X5 =12 - X6 =14 - X7 =8 7） 返回

37. 令Z' = -Z Z o x -Z 2. 目标函数

38. minZ=2X1+ 5X2+6X3 +8X4 maxZ= -2X1 - 5X2 -6X3 -8X4 返回

39. 3X1+2X2  8 X1 -4X2 14 X20 3 X1' -3 X1 " +2X2  8 X1'- X1 " - 4X2 14 X1' , X1" ,X2 0 3. 变量 例 令X1= X1'- X1 "

40. X1+X2  5 -6  X1  10 X20 X1'+X2  11 X1' 16 X1' , X2 0 例 -6+6  X1+6 10+6 令X1'= X1 +6 0  X1'16 返回

41. X1+X2 +X3 -9 -X1-X2 -X3  9

42. X1+X2 +X3 7 X1 -X2 +X3 2 X1，X20，X3无限制 例：将min Z = -X1+2X2 -3X3 化为标准型

43. X1 +X2 +X4 -X5 +X6 =7 X1 -X2 +X4 -X5 - X7 =2 X1 ,X2 ,X4 , … , X7 0 解：① 令X3 =X4 -X5 ② 加松弛变量X6 ③ 加剩余变量X7 ④ 令Z'= -Z maxZ'= X1 -2X2 +3X4 -3X5 返回

44. 练习： 将minZ= 0.15x1 + 0.25x2+ 0.1x3 50x1 + 150x2 + 90 x3  175 100x2- 50x3  -30 70x1+ 10 x2  200 30x1 + 80x2 + 200 x3  100 xi0 (i =1,2) 化为标准型

45. 研究对象 返回 • 有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高 • 某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省

46. 第二节 图解法 一、线性规划问题的可行域与最优解 二、图解法的步骤 三、线性规划问题求解的可能结局 四、图解法的启示

47. AX=b (1) X 0 (2) maxZ=CX (3) 一、线性规划问题的可行域与最优解 定义1：满足约束(1)、(2)的X=(X1 …Xn)T称为LP问题的可行解，全部可行解的集合称为可行域。 定义2：满足(3)的可行解称为LP问题的最优解

48. 二、图解法的步骤 建立平面直角坐标系 根据约束条件找出可行域 图示目标函数 确定最优解

49. X2 X2 X2 X1 X1 X1 X1+2X2≤6 X1-2X2≥1 Z=X1+X2

50. X1+2X2  30　①　 3X1+2X2  60　② 2X2  24　③ X1 , X2 0 例1：maxZ=40X1+ 50X2