《数学分析续论》模拟试题复习辅导课件　 2005 年７月　

《数学分析续论》模拟试题 复习辅导课件　2005年７月　

一、单项选择题 （１）设为一数列，且存在一收敛子列．这时下面正确的是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·[ D ] Ａ．；Ｂ．可能收敛，但 A 不一定成立；Ｃ．必定不收敛；　　　　Ｄ．当预先假设了收敛时，才有Ａ成立．

［理由］　收敛的充要条件为： 的所有子列都收敛，此时才有Ａ成立；而当只有一个子列收敛时，原数列不一定收敛．［思考题］当假设为一特殊的数列（例如单调数列）时，结论将有何改变？　

（２）　　　　　　，它等价于 · · · · · · · · · · · ·[ B ] Ａ．　　　　　　　当　　　　　　　　　　；Ｂ．在中除有限个项以外，其余所有的项都落在邻域之内；Ｃ．都收敛；Ｄ．中有无穷多个子列都收敛于．

　［理由］Ｂ与 　　　　　的　　　　定义显然是等价的；它也可说成是：“ 在邻域　　　　外，　　　　　至多只有有限个项 ” ．再有, 因Ｃ中未假设　　　　　　　的极限相等；而Ｄ中所说的 “无穷多个子列 ”并不等同于“ 所有子列 ”，所以这些都是错误的．

（３）设在 R 上为一连续函数．这时下面正确的是 · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · ·· · · · · · [ A ] Ａ．当为闭区间时，　　　必为闭区间；　Ｂ．当　　　为闭区间时，　必为闭区间；Ｃ．当为开区间时，　　　必为开区间；　Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．

［理由］ 依据连续函数在闭区间上的最大（小）值定理与介值性定理，可知 A是正确的．容易举出反例 , 说明 B与 C都是错的，例如：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　［思考题］当把Ａ与Ｂ中的所有 “闭区间” 改为 “开区间” 时，结论又将如何？

（４）设 为一正项级数．这时下面错误的是　 · · · ·· · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · ·· · · [ C ] Ａ．若收敛，则；Ｂ．若，则收敛； C．若收敛，则；　Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ中必有一个是错的．

［理由］因为是正项级数 收敛的一个充分条件（不是必要条件）；而是一般级数　　　收敛的一个必要条件（不是充分条件），所以错误的结论只有 C ．　　　　

二、计算题 （１）试求下列极限： ① ．［解］ = 　　　　　　　　　　　　　．

②　求． ［解］利用性质　　　　　（其中为连续函数），借助洛必达法则，有　　　　　　　　　　　　　　　　　　．

（２）设 试求．［解］一般地，对于向量函数，其导数为一 2 × 2 矩阵，即．

　　　　　　　　　　　　　　　　　．据此求得．

　　（３）试求由曲线　　　，直线　　　　　　，以及轴所围曲边梯形的面积．［解］由定积分的几何意义，如图所示的曲边梯形其面积为

　（４）用条件极值方法（Lagrange乘数法），求内接于圆的等腰三角形的最大面积．［解］如图所示，这个等腰三角形的顶点坐标为，底边一端为．于是，三角形的面积，其中　　　满足条件．

依据 Lagrange 乘数法，设 　　　　　　　　　　　　　，且令通过消去，容易得到方程，由此解出．

　　　　显然不合要求（三角形退缩为一点）；而当　　　　显然不合要求（三角形退缩为一点）；而当　　　时　　　　，这时所求三角形的面积为最大：　　　．［注］用　　　代入 , 将得到一个不等式　　　　　　　　　　．［思考题］当把题中的圆改为椭圆　　　　时，得出的结果将会怎样？请大家自己去算一算．

三、证明题 （１）证明：方程　　　　　　必有正根，其中　为任意正数．［证］证明需要用到连续函数的介值性定理，即若上为一连续函数，　　　　，则内必能取得之间的一切值．

设　　　　　，显然它在　　　　　上连续．因，故由无穷大量的定义，对于任意的，，使得　　　，．现取，于是有．根据介值性定理，必定，满足．

（２）证明：若，收敛，则 亦收敛．［证］　由于收敛，因此，于是当足够大时，，从而又有．依据正项级数的比较判别法，推知收敛．

　　［注１］ 也可利用比较判别法的极限形式，由　　　　　　　　　，同样证得　　　收敛．［注２］当为一般项级数时，不能直接使用比较判别法．事实上，上述命题一般不成立，例如：为收敛，而却为发散．　

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