DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły:Zespół Szkół w Otorowie ID grupy:98_28_MFG2 Opiekun:Magdalena Łączyńska - Janasiak Kompetencja:matematyczno-fizyczna Temat projektowy:„Tajemnice tabliczki mnożenia” Semestr/rok szkolny:semestr IV rok szkolny 2011/2012

3. SPIS TREŚCI Własności tabliczki mnożenia Geometryczna tabliczka mnożenia Trójkąt Pascala Liczby wielokątne Ciekawostki - gry z tabliczką mnożenia, mnożenie na palcach, chińska tabliczka mnożenia, szybkie metody liczenia w pamięci Nasze grupa podczas pracy Literatura

4. CZYM JEST TABLICZKA MNOŻENIA?

5. Tabliczka mnożenia to tabelaryczny sposób zestawienia wyników mnożenia przez siebie liczb naturalnych. Najczęściej w formie kwadratowej tablicy (macierzy), w której kolejne wiersze i kolejne kolumny odpowiadają kolejnym liczbom mnożonym przez siebie, a gdzie na skrzyżowaniu wierszy i kolumn znajdują się wyniki mnożenia. Najczęściej spotykana jest tabliczka "do stu", o dziesięciu kolumnach i dziesięciu wierszach, w której na skrzyżowaniu dziesiątego wiersza i dziesiątej kolumny znajduje się wynik mnożenia 10×10=100. Spotykane są także tabliczki o wymiarach większych (np. 12×12 lub 20×20), a także zestawienia wyników mnożeń liczb całkowitych w formie innej, niż kwadratowa macierz, ale na przykład w formie zestawienia. Za pomocą tabliczki mnożenia można przedstawiać wyniki działań w dowolnych skończonych strukturach algebraicznych.

6. Tabelaryczny układ tabliczki mnożenia 10x10

7. WŁASNOŚCI TABLICZKI MNOŻENIAW ZAKRESIE OD 1 DO 100

8. WŁASNOŚCI KOLUMN I WIERSZYTABLICZKI MNOŻENIA Układ kolejnych liczb w danym wierszui odpowiedniej kolumnie jest taki sam.

9. Suma liczb w kolejnym wierszu jest wielokrotnością • liczby 55 czyli liczby z pierwszego wiersza. • Suma liczb kolejnych wierszy wynosi 3025 czyli jest • kwadratem liczby 55.

10. Suma liczb w kolejnej kolumnie jest wielokrotnością liczby 55 czyli liczby z pierwszej kolumny. • Suma liczb kolejnych kolumn wynosi 3025 czyli jest • kwadratem liczby 55

11. WŁASNOŚCI PRZEKĄTNYCH TABLICZKI MNOŻENIA • Kolejne liczby przekątnej są kwadratami odpowiednich liczb naturalnych. • Przekątna jest osią symetrii tabliczki mnożenia.

12. Kolejne liczby są o 16 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. • Kolejne liczby są o 4 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. • Kolejne liczby stykające się z liczbami osi symetrii są o 1 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. • Kolejne liczby są o 9 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia.

13. Kolejne liczby są równe pomniejszonej o 12 połowie z sumy kolejnych 2 liczb osi symetrii, do których przylegają pomniejszonej o 1 i o 6 mniejsze od odpowiednich liczb stykających się wierzchołkami do osi błękitnej. • Kolejne liczby są równe pomniejszonej o 2 połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii, do których przylegają pomniejszonej o 1 i o 2 mniejsze od odpowiednich liczb stykających się wierzchołkami z osią niebieską. • Kolejne liczby przylegające do osi symetrii są równoległe do niej i równe połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii , do których przylegają pomniejszonej o 1 • NP. (1+4-1)/2=2 (4+9-1)/2=6 • Kolejne liczby są równe pomniejszonej o 6 połowie z sumy kolejnych 2 liczb osi symetrii, do których przylegają pomniejszonej o 1 i o 4 mniejsze od odpowiednich liczb stykających się z wierzchołkami z osią czerwoną.

14. Kolejne liczby fioletowej przekątnej rozłożone są symetrycznie względem osi symetrii tabliczki mnożenia. • Suma liczb tej przekątnej jest równa 4-krotności pierwszego wiersza (kolumny) i wynosi 220 (4x55=220).

15. ZALEŻNOŚCI MIĘDZY 4 LICZBAMI W TABLICZCE MNOŻENIA W UTWORZONYCH W NICH KWADRATACH 40∙54 = 45∙48 = 2160 4∙9 = 6∙6 = 36 24∙35 = 30∙28 = 840 Iloczyny liczb po przekątnych są sobie równe.

16. Odpowiednie ilorazy liczb w kolumnach są sobie równe.

17. Odpowiednie ilorazy liczb w wierszach są sobie równe.

18. ZALEŻNOŚCI MIĘDZY 9 LICZBAMI W TABLICZCE MNOŻENIA W UTWORZONYCH W NICH KWADRATACH. 8∙ 9 ∙8 =4 ∙ 9 ∙ 16 = 576= Iloczyny trzech kolejnych liczb po przekątnych są sobie równe. 4∙9∙16 = 8∙ 9 ∙8 = 576

19. Liczba środkowa w kolumnie jest średnią arytmetyczną liczb przyległych do niej.

20. Liczba środkowa w wierszach jest średnią arytmetyczną liczb przyległych do niej.

21. Suma kolejnych trzech liczb środkowej kolumny jest równa sumie kolejnych trzech liczb środkowego wiersza

22. Suma czterech kolejnych liczb skrajnych jest równa sumie czterech kolejnych liczb środkowych.

23. Liczba środkowa leżąca na przecięciu się przekątnych jest średnia arytmetyczną: - sumy liczb środkowych podzielnych przez ich ilość i - sumy liczb skrajnych podzielonych przez ich ilość.

24. ZALEŻNOŚCI MIĘDZY 16 LICZBAMI W TABLICZCE MNOŻENIA W UTWORZONYCH W NICH KWADRATACH W kolumnie suma liczb skrajnych równa jest sumie liczb środkowych.

25. W wierszu suma liczb skrajnych równa jest sumie liczb środkowych.

26. TETRAKTYS I GEOMETRYCZNATABLICZKA MNOŻENIA

27. TETRAKTYS to figura trójkątna ułożona z dziesięciu punktów w strukturze piramidy. Emblemat Pitagorejczyków. Liczbę dziesięć Grecy uważali za równą jedności , ale jednocześnie również związaną z liczbą cztery , gdyż 1+2+3+4 =10 . Suma pierwszych czterech liczb to wspomniany TETRAKTYS  zapisywany graficznie w formie piramidy  na płaszczyźnie z podstawą  składającą się  z czterech kul, na której ułożone były trzy kule, następnie dwie i na czubku jedna.

28. GEOMETRIA TABLICZKI MNOŻENIAPrzedstawiona poniżej geometria figur w kole redukuje się do czterech cyfr: 1,2,3,4 ponieważ pozostałe cyfry: 5,6,7,8 tworzą identyczną geometrię jak 1,2,3,4. Można powiedzieć, że 0 i 9 symbolizują w tym przykładzie  "nieskończoność", w której pojawiają się różne kształty.

31. TRÓJKĄT PASCALA

32. Blaise Pascal żył w latach 1623 – 1662 Był francuskim filozofem, matematykiem i fizykiem. Zajmował się badaniami nad próżnią, ciśnieniem Atmosferycznym i prawdopodobieństwem. Od jego nazwiska wywodzi się nazwa jednostki ciśnienia (Pa) oraz język programowania – Pascal

33. Trójkąt Pascala, nazywany także trójkątem arytmetycznym, jest to sugestywnie zapisany układ liczb naturalnych.Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara Chajjama XI. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

34. Już chińczycy znali trojkąt Pascala Rysunek nazywa się: „Siedem Mnożących Kwadratów” i stanowi on stronę tytułową książki „ChuShi-Chieh’s” (Lustro Czterech Elementów), napisanej w roku 1303.

35. TWORZENIE TRÓJKĄTA PASCALATrójkąt Pascala tworzy się z liczb naturalnych zgodnie z następującymi regułami: - w najwyższym wierszu wpisujemy jedynkę; - w drugim wierszu od góry - dwie jedynki; - w trzecim wierszu kolejno 1, 2, 1; - w każdym następnym wierszu o jedną liczbę więcej, niż w poprzednim; na lewym i prawym skraju jedynki, a na każdym innym miejscu – liczbę, która jest sumą dwóch liczb widniejących w poprzednim wierszu bezpośrednio nad nią.

36. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTA PASCALA W kolejnych bocznych rzędach znajdują się następujące liczby: 1 jedynki 1 1 liczby naturalne 2 1 1 liczby trójkątne 1 3 3 1 liczby piramidalne 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

37. W Trójkącie Pascala rzędy oznaczamy w następujący sposób 1 rząd 0 1 1 rząd 1 1 2 1 rząd 2 1 3 3 1 rząd 3 1 4 6 4 1 rząd 4 1 5 10 10 5 1 rząd 5 1 6 15 20 15 6 1 rząd 6 … … … … … … … … …

38. Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2 1 1 = 20 1 1 2 = 21 1 2 1 4 = 22 1 3 3 1 8 = 23 1 4 6 4 1 16 = 24 5 1 10 10 5 1 32 = 25 1 6 15 15 6 1 20 64 = 26 … … … … … … … … …

39. LICZBY PARZYSTE I NIEPARZYSTE W TRÓJKĄCIE PASCALAJeżeli oznaczymy oddzielnie liczby parzyste i nieparzyste, to otrzymamy układ podobny do trójkąta Sierpińskiego 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

40. W trójkącie Pascala znajdziemy liczby podzielne przez 2,3,4,5,6Liczby podzielne przez 2 w trójkącie Pascala

41. Liczby podzielne przez 5 w trójkącie Pascala

42. ZASTOSOWANIE TRÓJKATA PASCALA Trójkąt Pascala może pokazać wszystkie możliwe kombinacje orłów i reszek, np. można wykonać trzy rzuty monetą, ale jest tylko jedna kombinacja dająca w wyniku trzy orły (OOO), a są trzy kombinacje, które dają 2 orły i jedną reszkę (OOR, ORO, ROO), również są trzy kombinacje dające jednego orła oraz dwie reszki (ORR, ROR, RRO) oraz jedną kombinację na wszystkie trzy reszki (RRR) – stanowi to wzór „1, 3, 3, 1” w trójkącie Pascala.

43. Trójkąt Pascala może także wskazać współczynniki w dwumianowym rozwinięciu.

44. CIEKAWOSTKA Z WYKORZYSTANIEM TRÓJKATA PASCALA Niezwykła maszyna stworzona przez Sir Francisa Galtona oparta jest na trójkącie Pascala. Zwana jest Quincunx i składa się z kołków.Kule opadają na pierwszy kołek, a następnie opadają na dno trójkąta, gdzie zbierają się w małych pojemnikach.Na pierwszy rzut oka wygląda to na chaotyczny proces, ale w rzeczywistości kule zbierają się w uporządkowany stos, w kształcie tzw. standardowego rozkładu – patrz rysunek.

45. LICZBY WIELOKĄTNE

46. LICZBY TRÓJKĄTNE Liczba trójkątna to każda  taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół. Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco: Zależność na n-tą liczbę trójkątną można przedstawić według wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba trójkątna o n-tym numerze jest sumą kolejnych liczb naturalnych.

47. LICZBY KWADRATOWE  Liczba kwadratowa to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład  liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół. Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić następująco:  Zależność na n-tą liczbę kwadratową można przedstawić według wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego.

48. SZYBKIE METODY LICZENIA W PAMIĘCI TABLICZKI MNOŻENIA OD 11 DO 19

49. Aby pomnożyć dwie liczby od 11 do 19 dodajemy do jednej z liczb cyfrę jedności drugiej liczby i dopisujemy zero. Do tego wyniku dodajemy wynik mnożenia cyfr jedności z obydwu liczb, np.: 17 x 19 = (19 + 7) x 10 + 9 x 7 = 260 + 63 = 323 lub: (17 + 9) x 10 + 7 x 9 = 323

50. WSCHODNIA TABLICZKA MNOŻENIANiektórzy twierdzą że ta graficzna metoda obliczenia tabliczki jest metodą japońską inni że chińską.