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1. 离散　　数学 冯伟森 计算机学院 Email：fws365@scu.edu.cn 2014年10月26日星期日

2. 主要内容 • 1、容斥原理 • 2、鸽巢原理 计算机学院

3. 容斥原理 例8-4.1 计算从1到1000的整数中有多少个能被3、5、7中至少一个整除。 【解】设前1000个正整数构成的集合为S，其中能被3整除的数构成集合A，能被5整除的数构成集合B，能被7整除的数构成集合C。那么能被3、5、7中至少一个整除的数构成的集合就是A∪B∪C。我们的问题就是要求这个集合的基数。 计算机学院

4. 可以这样来求集合A∪B∪C的基数，即先把A，B，C各自的基数加起来，不过光这样做就多算了，因为同时有元素既在A中也在B中(例如15)，或者既在A中也在C(例如21)，或者既在B中也在C中(例如35)，必须把这些重算的数目扣除，但是，这样扣又多扣了，因为可能同时在A，B，C中的数都分别被扣除过(例如105)，因此必须把这样多扣除的数找补回来。这种思路可用公式表示为： 计算机学院

5. 容易计算出 表示小于等于x的最大整数。 计算机学院

6. 因而 所以，从1到1000的整数中共有543个数能被3、5、7中至少一个整除。 容斥原理 指我们计算满足某些条件的物品的数目时，要排斥那些不应包含在这个计数中的数目，但同时要包容那些被错误地排斥了的数目，以此补偿。 即多退少补, 逐步求精的思想 计算机学院

7. 设在有限集A的元素上定义了n个 性质。如果把具有性质Pi的元素构成的子集合记为Ai(i=1,2,3, …), 表示由同时具有性质Pi和Pj的元素构成的子集合， 表示由同时具有性质Pi，Pj和Pk的元素构成的子集合，其余依此类推。 • 补集表示由A中不具有性质Pi的元素构成的子集合。容斥原理可以叙述如下： 计算机学院

8. 定理8.11 • 有限集A中具有性质P1,P2,…,Pm中至少一个性质的元素个数为 多退 少补 (8.7) 计算机学院

9. 推论8.11.1 • 有限集A中不具有性质P1,P2,…,Pm的元素个数为 多退 少补 (8.8) 计算机学院

10. 例8-4.2 • 对24名科技人员进行掌握外语情况的调查，其统计资料如下：会英、日、德、法语的人数分别为13、5、10和9。其中同时会英语、日语的人数为2；同时会英语和德语、同时会英语和法语、同时会德语和法语两种语言的人数均为4；会日语的人既不会法语也不会德语。试求只会一种语言的人数各为多少？又同时会英、德、法语的人数为多少？  计算机学院

11. 解：设A、B、C、D分别为会英、日、德、法语的人的集合，由已知条件可知： 解：设A、B、C、D分别为会英、日、德、法语的人的集合，由已知条件可知：  • |A|＝13，|B|＝5，|C|＝10，|D|＝9， • |A∩B|＝2，|A∩C|＝|A∩D|＝|C∩D|＝4，|B∩C|＝|B∩D|＝0, • |A∩B∩C|＝|A∩B∩D|＝|B∩C∩D|＝0， • |A∩B∩C∩D|＝0， • |A∪B∪C∪D|＝24， 计算机学院

12. 利用容斥原理，并代入已知条件得 24＝13＋5＋10＋9－2－4－4－4－0－0＋0＋0＋0 ＋|A∩C∩D|－0。 得:|A∩C∩D|＝1，即同时会英、德、法语的只有1人。 设只会英、日、德、法语的人数分别为x1,x2,x3,x4，则 x1＝|A|－|(B∪C∪D)∩A|＝|A|－|(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)| 对B∩A、C∩A、D∩A应用容斥原理，得 |(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)|＝2＋4＋4－0－0－1＋0＝9 故，x1＝13-9＝4。 类似地可求出：x2＝3，x3＝3，x4＝2。 计算机学院

13. 例8-4.3 • 设A是由字母a,b,c构成的长度为n的字符的集合，求其中字母a,b和c都必须出现的字符串数目。 • 令A1、A2、A3分别表示由不出现字母a,b,c的字符串构成的集合，那么问题就变成求集合 的基数。因为字符串的每一位都可以是a,b,c这3个字母中的一个，所以 计算机学院

14. 把这些数据代入8.8式，则得到符合要求的字符串数目为把这些数据代入8.8式，则得到符合要求的字符串数目为 计算机学院

15. 鸽巢原理 • 在定理6.5中我们曾经证明过，当m>n时，不存在从Nm到Nn的单射。这个结论说明了一个简单的道理：如果把这m个物品放入n个盒子中，每个盒子中最多放一个，则必然有物品被剩下而放不进盒子。把这个道理换一个说法，就成了“把m个物品放入n个盒子中，当m＞n时，必然有盒子中至少放入了两个物品”。人们更形象地把这个道理表述为如下的“鸽巢原理”： 计算机学院

16. 鸽巢原理 • 如果n+1只鸽子飞入n个鸽巢中，则必定有一个鸽巢中至少飞进了两只鸽子。 计算机学院

17. 例8-5.1 证明在任意11个整数中，至少有2个整数之差是10的倍数。 证明：设这11个整数分别是a1，a2，…,a11 ，它们关于10的余数分别为r1,r2,…,r11。每个余数只能是0,1,…,9中的一个。如果把这11个余数看成鸽子，它们要飞进0,1,…,9这10个巢中，根据鸽巢原理，这11个整数中至少有2个整数关于模10的余数相同，于是这2个之差一定是10的整数倍。 计算机学院

18. 例8-5.2 设有n+1个正整数a1,a2,…,an+1，则总可以找到一对数ai和aj(1i<jn+1),使得它们的差能被n整除。 证明：对ai-a1（i=2,3,…,n+1）取被n除后的余数，则有余数n个。1）若n个余数互不相同，则其中必有一个为0，不妨设为ai0-a1，则ai0-a1能被n整除。2）否则，由鸽巢原理，必有两个余数相同，不妨设ai-a1除以n的余数与aj-a1除以n的余数相同，则ai-aj能被n整除。 计算机学院

19. 加强型鸽巢原理 设q1,q2,…,qn都是正整数。如果有q1+q2+…+qn-n+1只鸽子飞入n个鸽巢中，则下述情形之一必定发生：或者第一个鸽巢中至少有q1只鸽子，或者第二个鸽巢中至少有q2只鸽子，…，或者第n个鸽巢中至少有qn只鸽子。 显然，普通鸽巢原理恰好是形式中q1=q2=…=qn=2的特殊情形。 计算机学院

20. 加强形式用得最多的是当q1=q2=…=qn=r的情形，可以用下面的定理来表述： • 定理8.12若有n只鸽子飞进m个巢中，则至少有一个巢中至少飞进了  只鸽子。这里， 表示小于等于x的最大整数。 计算机学院

21. 例8-5.4 一个人骑车10小时内走完了281公里路程，已知他第一小时走了30公里，最后一小时走了17公里。证明：他一定在某相继的两小时中至少走完了58公里路程。 证明：在这10个小时中有9个相继的两小时，根据题目给定的条件，全部相继的两小时所走的路程之和应该等于281×2-30-17=515公里。现在可以把问题看成是让515只鸽子飞进9个鸽巢，根据定理8.12，必有一个鸽巢中飞进了至少58只鸽子，这就证明了题目的结论。 计算机学院

22. 更进一步推广鸽巢原理，便得到有名的Ramsey定理： 定理8-5.2 在任意6个人的集体中，要么有3个人互相认识，要么有3个人互不认识。 证明：以这6个人中任一个特定人，比如张三作为目标构造两个子集合S1和S2，其中： S1：由与张三互相认识的人组成， S2：由与张三不认识的人组成， 则 。由鸽巢原理，S1和S2中至少有一个集合不少于 人，即不少于3人。 计算机学院

23. 如果S1中至少有3个人，要是其中任何两个人都互不认识，那么就找到了3个互不认识的人；否则，至少有2个人是相互认识的，他们与张三一起构成了3个互相认识的人的集合。 如果S2中至少有3个人，要是其中任何两个人都相互认识，就找到了3个相互认识的人；否则，至少有2个人互相不认识，他们与张三一起组成3个互不认识的人的集合。 • 综上可知，定理结论成立。 计算机学院

24. 习题八 18、20、22、26、27 计算机学院