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學習內容 • 2.1 The Tangent and Velocity Problem • 2.2 The Limit of a Function • 2.3 Calculating Limits Using the Limit Laws • 2.5 Continuity 切線與速度問題函數的極限用極限法則計算極限連續性

2.5 Continuity 連續性

哪些點不完美? 完美的點 x = 3 ≠ ≠ ≠

極限不存在的情形 極限±∞ 左極限≠右極限極限振盪

不完美的點 = 不連續的點

在圖形上一點連續的定義 內部點函數在x = c點圖形是連續的邊界點函數在 x = a 的左端點圖形是連續的函數在 x = b 的右端點圖形是連續的

連續性之檢定 • 目的：判別在一點上圖形是否連續 • 步驟：1, 2, 3 定義域中的點有函數值此點有極限值此點有之極限值 = 函數值

Example 2 何處函數不連續? x = 0 處不連續 x = 2 處不連續

Example 2 何處函數不連續? x = 2 處不連續 x = N處不連續

單邊連續性 • 右連續  continuous from the right • 左連續  continuous from the left

區間連續性 若區間內每一點皆連續，則函數在此區內是連續的   A function f is continuous on an interval if it is continuous at every number in the interval.

常見函數圖形之連續區間 • 多項式函數 • (-∞, ∞) • Y = sinx 與 y = cosx 函數 • (-∞, ∞) • 分式函數 • 除式≠ 0 之處 • 平方根函數 • 被開方根函數≧0

連續性之傳遞性質 若函數f(x)和函數g(x)在此點是連續的，則下列函數在此點也是連續的：加法法則減法法則乘法法則係數法則除法法則次方法則

合成函數連續性之遞移性質 若函數f(y)在x=c此點是連續的，函數g(y)在y =f(c)此點是連續的，則合成函數g。f(x)在x = c 點也是連續的

CONTINUITY Example 8 Where are these functions continuous? a. b.

連續性也提供保證喔 ! 若函數在[a, b]連續，若 y0 在 f(a) f(b) 之間使得f(c) =y0 則保證在[a, b]之間至少有一個 x = c

Example 9 Show that there is a root of the equation between 1 and 2 1 2 1 1 2 2 1 2 多項式函數處處連續則保證在[1, 2]之間至少有一個 x = c 使得f(c) =0

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