工程數學

工程數學 第11章單複變函數

本章內容 • 11.1 導論 • 11.2 單複變函數 • 11.3 f(z) 的極限 • 11.4 f(z) 的連續性 • 11.5 f(z) 的導數 • 11.6 解析函數 • 11.7 f(z) 是解析函數的充分必要條件 • 11.8 極座標的柯西－黎曼方程工程數學第11章第533頁

本章內容（續） • 11.9 調和函數 • 11.10 正交系統 • 11.11 解析函數在流體問題中的應用 • 11.12 變換或映射 • 11.13 保角變換 • 11.14 定理 • 11.15 一些標準變換 • 11.16 舒瓦茲-克里斯多福變換工程數學第11章第533頁

本章內容（續） • 11.17 複積分 • 11.18 單連通及多連通域 • 11.19 柯西積分定理 • 11.20 柯西積分公式 • 11.21 圓的帕松積分公式 • 11.22 半平面的帕松積分公式 • 11.23 複級數 • 11.24 泰勒級數工程數學第11章第533頁

本章內容（續） • 11.25 勞倫斯級數 • 11.26 奇異點及殘數 • 11.27 殘數定理 • 11.28 殘數的計算 • 11.29 用殘數求實積分工程數學第11章第533頁

11.1 導論 • 複數z 是由一組有序實數(x, y)所組成，並記為 z = x + iy 其中 • x 及y 分別稱為z 的實部及虛部。在平面座標系中，複數z 可以用點P(x, y)表示。如果用極座標(r, θ)，則稱為z 的模(modulus)，並記為| z |。而，則稱為z 的輻角(argument) 並記為arg. z。任何一個非零複數都可以表示為 z = r (cosθ + i sin θ ) = reiθ 工程數學第11章第534頁

11.1 導論 工程數學第11章第534頁

11.1 導論 • 如果z = x + iy，則x－iy稱為z 的共軛數，並記為。很容易可以知道，工程數學第11章第534頁

11.2 單複變函數 • 如果變數x 及y 都是實數，則z = x + iy稱為複變數(complex variable)。如果對區域R 上的任何一個複數z (= x + iy)，都對應到另一個複數w (= u + iv) ，我們就稱w 為複數z 的函數，並記為 w = f(z) = u + iv • 例如，若w = z2，其中z = x + iy 而 w = f(z) = u + iv 則 u + iv =(x + iy)2 = (x2－y2) + i(2xy)  u = x2－y2 而 v = 2xy 所以w 的實部u 及虛部v 事實上都是實變數x 及y 的函數。 ∴ w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 工程數學第11章第534頁

11.2 單複變函數 • 如果任何複數z 都只對應到唯一一個w 的值，我們就說w 是一個單值函數(single-valued function)。反之，如果某些z 會對應到多於一個的w 值，這樣的w 稱為多值函數(multi-valued function)。 • 如果要用圖形表示函數w = f(z) ，必須要畫兩個平面座標：一個是z 的，另一個是w 的。第一個稱為z 平面，而第二個稱為w 平面。工程數學第11章第534-535頁

11.3 f(z) 的極限 • 如果對任意小的正數，我們都可以找到相對應的正數 ，使得若0 < | z – z0 | < ，則| f(x) – l | <  若z0 -  < z < z0 + , z≠z0，則l -  < f(z) < l +  我們就說f(z)在z沿著任何路徑趨近於z0的極限為l，並記為。工程數學第11章第535頁

11.3 f(z) 的極限 工程數學第11章第535頁

11.3 f(z) 的極限 • 註：在實數系中， x → x0表示x 從數線左邊或右邊趨近於x0。而在複數的情形， z→z0表示z 沿任何方向趨近於z0。這個路徑可以是直線或曲線，這是因為在複數平面上，有無窮多種方法可以把z 及z0兩點連接起來。工程數學第11章第535頁

11.4 f(z) 的連續性 • 如果單值函數f(z)滿足條件，我們就說f(z)在z = z0時是連續的。 • 如果f(z)在z 平面上的區域R 中每一點都是連續的，我們就說f(z)在R 上連續。工程數學第11章第535頁

11.5 f(z) 的導數 • 如果w = f(z)是複變數z (= x + iy)的單值函數，我們就定義它的導數為導數存在的條件是這個極限存在；也就是說，它的值與z→0選取的方法無關。工程數學第11章第536頁

11.6 解析函數 • 如果單值函數f(z)的導數在區域R 上的每一點都是唯一定義的，我們就說f(z)是解析函數(analytic function 或regular function 或holomorphic function)。 • 使函數不解析的點，稱為這個函數的奇異點(singular point)。工程數學第11章第536頁

11.7 f(z) 是解析函數的充分必要條件 • 函數 w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 在區域R 上解析的充分及必要條件為 (i) 在R 上都是x 及y 的連續函數。 (ii) 。條件(ii) 稱為柯西－黎曼方程(Cauchy-Riemann equations) 或簡寫為C-R 方程(C-R equations)。工程數學第11章第536頁

11.7 f(z) 是解析函數的充分必要條件 • 證明： (a) 必要條件：如果w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)為區域R 上的解析函數，則導數在這個區域上的每一點都是唯一定義的。工程數學第11章第536頁

11.7 f(z) 是解析函數的充分必要條件 • 令x及y分別表示x 及y 的增量。如果u,v及z分別為u, v及z 相對應的增量，則 …(1) • 因為w = f(z)在R 上是解析的，無論如何取z→0，或者說x及y→0，極限(1) 都會存在。工程數學第11章第536頁

11.7 f(z) 是解析函數的充分必要條件 • 首先假設z→0是沿平行x 軸的直線，則y = 0 而z = x。 [因為 z = x + iy, z + z = (x + x) + i(y + y) 及 z =x +iy ] ∴由式(1) 可知 …(2) 工程數學第11章第536-537頁

11.7 f(z) 是解析函數的充分必要條件 • 接著取z→0沿著平行y 軸的直線，則x = 0而z = iy。 ∴由式(1)，工程數學第11章第537頁

11.7 f(z) 是解析函數的充分必要條件 • 由式(2) 及式(3) 會得到分別考慮實部及虛部，得到的是而所以C-R 方程是f(z)解析的必要條件。工程數學第11章第537頁

11.7 f(z) 是解析函數的充分必要條件 (b) 充分條件：假設單值函數f(z) = u + iv的導數在區域R 上的每一點都滿足C-R方程，也就是說而 • 我們要證明f(z)是解析的，也就是說f(z)在R上的每一點都存在。工程數學第11章第537頁

11.7 f(z) 是解析函數的充分必要條件 • 用雙變數的泰勒定理可以知道，在忽略x及y的高次項後，會得到展開式工程數學第11章第537頁

|由C-R方程  ∴ 11.7 f(z) 是解析函數的充分必要條件或工程數學第11章第537頁

11.7 f(z) 是解析函數的充分必要條件 • 因為存在，所以f(z)也存在。故f(z)是解析的。 • 註1：解析函數的實部及虛部稱為共軛函數(conjugate functions)。也就是說，如果f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函數，則u(x, y)及v(x, y)是共軛函數。共軛函數會滿足C-R方程。 • 註2：如果f(z)是解析函數，在求它的導數時可以將z 視為實數。所以 f(z) = z2 f(z) = 2z f(z) = sin z  f(z) = cos z 等工程數學第11章第538頁

11.8 極座標的柯西－黎曼方程 • 令(r, )為直角座標(x, y)對應的極座標，則 x = r cos , y = r sin , z = x + iy = r(cos  + i sin ) = rei ∴ u + iv = f(z) = f(rei) …(1) 工程數學第11章第538頁

11.8 極座標的柯西－黎曼方程 • 把式(1) 對r 作偏微分，會得到 …(2) • 把式(1) 對作偏微分，結果則是 | 由式(2) 工程數學第11章第538頁

11.8 極座標的柯西－黎曼方程 • 分別考慮實部及虛部，得到的是及或及，這就是極座標的C-R方程。工程數學第11章第538頁

11.9 調和函數 • 任何拉普拉斯方程的解，都稱為調和函數(harmonic function)。 • 假設f(z) = u + iv在z 平面上的某個區域是解析的，則u 及v 會滿足方程 ∴ …(1) 而 …(2) 工程數學第11章第538頁

11.9 調和函數 • 把式(1) 對x 作偏微分而式(2) 對y 作微分，會得到 …(3) 及 …(4) 工程數學第11章第539頁

11.9 調和函數 • 假設，則式(3) 及式(4) 相加會得到 …(5) 接著把式(1) 對y 作偏微分，而式(2) 對x 作偏微分，結果為 …(6) 及 …(7) 工程數學第11章第539頁

11.9 調和函數 • 假設，式(6) 減去式(7) 會得到 …(8) 由式(5) 及式(8) 可以知道，解析函數的實部u 及虛部v 會滿足拉普拉斯方程。 • 所以u 及v 都是調和函數。工程數學第11章第539頁

11.10 正交系統 • 每一個解析函數f(z) = u + iv都可以定義兩組曲線u(x, y) = c1及v(x, y) = c2，而且它們之間會形成一個正交系統。 • 考慮這兩組曲線 u(x, y) = c1 …(1) 及 v(x, y) = c2 …(2) 工程數學第11章第539頁

11.10 正交系統 工程數學第11章第540頁

11.10 正交系統 • 把式(1) 對x 作偏微分，會得到或 (設為m1) 工程數學第11章第540頁

11.10 正交系統 • 同樣地，由式(2) 可知 (設為m2) ∴ …(3) 工程數學第11章第540頁

11.10 正交系統 • 因為f(z)是解析的，所以u 及v 會滿足方程C-R，也就是而 ∴由式(3) 可以得到工程數學第11章第540頁

11.10 正交系統 • 也就是說，從式(1) 及式(2) 中分別任取一條曲線，這兩條曲線的斜率在它們的交點上的乘積為－1。因此這兩條曲線在交點是垂直的，而這兩組曲線形成一個正交系統。工程數學第11章第540頁

11.11 解析函數在流體問題中的應用 • 因為解析函數的實部及虛部都滿足雙變數的拉普拉斯方程，許多向量場及流體的問題都可以用共軛函數來回答。 • 比如說，考慮不可壓縮的流體在xy 平面上的無旋運動。工程數學第11章第540頁

11.11 解析函數在流體問題中的應用 • 如果用V 表示流體中粒子的速度，它可以表示為 …(1) • 因為這個流體是無旋的，可以找到一個純量函數(x, y)滿足 …(2) 工程數學第11章第541頁

11.11 解析函數在流體問題中的應用 • 由式(1) 及式(2) 會得到及 …(3) • 這個純量函數(x, y)稱為速度勢函數(velocity potential function) 或速度位勢(velocity potential)。工程數學第11章第541頁

11.11 解析函數在流體問題中的應用 • 因為流體是不可壓縮的，所以div V = 0   …(4) 把vx及vy的值代入式(3) 及式(4)，會得到或工程數學第11章第541頁

11.11 解析函數在流體問題中的應用 • 是調和函數，而且可以看成是解析函數 w = f(z) = (x, y) + i(x, y) 的實部或虛部。考慮它的共軛函數(x, y)，定義出來的曲線(x, y) = c在每一點的斜率為 [由C-R方程] [由(3)] 工程數學第11章第541頁

11.11 解析函數在流體問題中的應用 • 由此可知，流體中粒子的速度是沿著曲線 (x, y) = c的切線方向以速率運動。也就是說，流體中的粒子會沿著這些曲線移動。我們稱這些曲線為流線(stream line)，而(x, y)稱為流函數(stream function)。 (x, y) = c定義的曲線則稱為等位線(equipotential lines)。 • 因為(x, y)及(x, y)是由解析函數w = f(z)得到的共軛函數，所以等位線(x, y) = c及(x, y) = c 流線在交點垂直。工程數學第11章第541頁

11.11 解析函數在流體問題中的應用 • 此外， [由C-R方程] [由(3)] ∴流體速度大小。 • 用來描述整個流體行為的複函數w = f(z) ，稱為複數位勢(complex potential)。工程數學第11章第541-542頁

11.11 解析函數在流體問題中的應用 • 在研究靜電學及重力場的問題時，我們分別稱曲線(x, y) = c及(x, y) = c為等位線及力線(lines of force)。而在熱流問題中，(x, y) = c及(x, y) = c分別稱為等溫線(isothermals)及熱流線(heat flow lines) 。工程數學第11章第542頁

11.12 變換或映射 • 我們知道實函數y = f(x)可以用xy 平面上的曲線來表示。同樣地，實函數z = f(x, y)可以用三維空間上的曲面來描述。對複函數而言卻沒有這種圖形表示法，因為w = f(z)或u + iv = f(x + iy)中包含兩個自變數x, y 及兩個應變數u, v 共四個變數。所以要在四維空間上，才能用這個方法描述複函數。因此我們改用其他方法來描述這個函數。工程數學第11章第548頁

11.12 變換或映射 • 取z 平面及w 平面兩個平面，在z 平面上畫出點z = x + iy，而在w 平面上標上相對應的點w = u + iv。所以函數w = f(z)表示的是這兩個平面上點與點的對應關係。當z 沿著z 平面上的某一條曲線C移動時，因為每一個點(x, y) 都會對應到一個(u, v)，所以w 這點在w 平面上會得到一個相對應的曲線C。所以函數w = f(z)就定義了一個從z 平面到w 平面的映射。工程數學第11章第548頁

11.12 變換或映射 • 比如考慮變換w = z + (1－i)。我們想要知道z 平面上由x = 0, y = 0, x = 1及y = 2圍起來的區域D 經過這個變換後在w 平面上相對應的區域D。 • 因為w = z + (1－i) ，也就是說 u + iv = (x + iy) + (1－i) = (x + 1) + i(y－1) 所以u = x + 1而v = y－1。 • z 平面上的直線x = 0, y = 0, x = 1及y = 2會映射到w 平面上的直線u = 1, v =－1, u = 2及v = 1。D及D的圖形如下所示。工程數學第11章第548頁

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