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教学目的： 偏导数的有关概念 教学重点： 偏导数的计算 教学难点： 高阶偏导数的计算

偏导数. 教学目的： 偏导数的有关概念 教学重点： 偏导数的计算 教学难点： 高阶偏导数的计算. 偏导数. 偏导数. 在一元微分学中，我们研究过函数的导数，即函数 y 对于自变量 x 的变化率：. 若多元函数的某一个自变量发生变化而其它自变量保持不变，将得到与上式类似的极限，即会产生函数对某一个自变量的变化率 . . 现在我们讨论这种变化率的概念和计算 . 偏导数的定义.

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教学目的： 偏导数的有关概念 教学重点： 偏导数的计算 教学难点： 高阶偏导数的计算

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  1. 偏导数 • 教学目的：偏导数的有关概念 • 教学重点：偏导数的计算 • 教学难点：高阶偏导数的计算

  2. 偏导数

  3. 偏导数 • 在一元微分学中，我们研究过函数的导数，即函数y对于自变量x的变化率： • 若多元函数的某一个自变量发生变化而其它自变量保持不变，将得到与上式类似的极限，即会产生函数对某一个自变量的变化率. • 现在我们讨论这种变化率的概念和计算.

  4. 偏导数的定义

  5. 当函数z = f (x, y)在区域D内每一点都存在对x和y的偏导数时，fx(x , y)和fy(x , y)是D上的两个新的函数，称为f (x, y)对x和y的偏导函数，简称偏导数. 分别记为 例题

  6. 更多元的函数可以类似地定义偏导数. 即对一个自变量求偏导时，只要把其他自变量都当常数就行. 一元函数的求导公式和导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数. 2．偏导数的计算 例题

  7. 例题

  8. 例题

  9. 注意 由上节例7知上述例5的函数f (x , y)在原点是间断的，由此可以看出偏导数存在时多元函数不一定连续. 由对称性知fy(0 ,0) = 0. 例题

  10. 偏导数的几何意义

  11. 高阶偏导数 如前所述，二元函数z = f (x, y)的偏导数fx(x , y)、fy(x , y)仍是x、y的二元函数，它们同样可以对x和y求偏导数. 记 • 称为z = f (x, y)的二阶偏导数. 其中fxy和fyx称为混合偏导数. • 注 一般地，fxy与fyx不是同一个函数. 但可证明如下结论

  12. 因此 例题

  13. 例题

  14. 偏导数的定义 小结 偏导数的计算 对一个自变量求偏导数时，只要把其它的自变量都当常数就行了. 因此，一元函数的求导公式与导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数.

  15. 注 如果函数z = f (x, y)的两个混合偏导数在区域D上都连续，则在D上有fxy= fyx. 高阶偏导数

  16. 练习题

  17. 例题

  18. 例题

  19. 例题

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