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1. 此文件可在网址http://math.shekou.com下载 数学物理方程 与特殊函数 第3讲

2. §2.3 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题

3. 一个半径为r0的薄圆盘, 上下两面绝热, 圆周边缘温度分布为已知, 求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布. 这时温度分布应满足拉普拉斯方程 2u=0因为边界形状是个圆周, 它在极坐标下的方程为r=r0, 所以在极坐标系下的边界条件可表为 既然边界条件用极坐标形式表示出来很简单, 所以就在极坐标系下求解这个定解问题.

4. 因r,q的取值范围分别是[0,r0]与[0,2p], 而圆内包括中心的温度有限, 且(r,q)与(r,q+2p)实际上表示同一点, 温度应该相同, 即应该有|u(0,q)|<+ (2.27)u(r,q)=u(r,q+2p) (2.28)现在来求满足方程(2.25)及条件(2.26),(2.27), (2.28)的解. 先令 u(r,q)=R(r)F(q),

5. 代入方程(2.25)得 即 令比值为常数l即得两个常微分方程 F''+lF=0, r2R''+rR'-lR=0. 再由条件(2.27)及(2.28)可得 |R(0)|<+, F(q+2p)=F(q). (2.29)

6. 因此得到两个常微分方程的定解问题 先解哪一个要看哪一个可以定出特征值. 由于条件(2.29)满足可加性(即所有满足(2.29)的函数加起来仍旧满足(2.29)), 所以只能先解问题(2.30).

7. 采用与§2.1中同样的方法可以得到当l<0时, 问题(2.30)无非零解;当l=0时, 它的解为F0(q)=a'0(常数);当l>0时, 取l=b2, 这时(2.30)的解为Fb(q)=a'bcos bq+b'bsin bq,且为使F(q)以2p为周期, b必须是整数n, n=1,2,3,…, 则可将上面得到的解表示成Fb(q)=a'ncos nq + b'nsin nq.

8. 高等数学复习: 求解欧拉方程x2y''+xy'-n2y=0 (a)作变换x=et或t=ln x, 则有 代入(a)得 通解为y=Cent+De-nt=Cxn+Dx-n(n>0) 和y=Ct+B=Cln x+D (n=0)

9. 对于非齐次的欧拉方程x2y''+xy'-n2y=axm特解的形式应当是y*=Cxm, 将之代入上式可确定常数C.

10. 至此, 已经定出了特征值问题(2.30)的特征值b2n=n2, 特征函数Fn(q). 接下去是解(2.31). 其中的方程是欧拉(Enler)方程, 它的通解为R0=c0+d0lnr, 当l=0;Rn=cnrn+dnr-n, 当l=n2(n=1,2,3,…)为了保证|R(0)|<+, 只有dn=0(n=0,1,2,…),即Rn=cnrn (n=0,1,2,…).因此利用叠加原理, 方程(2.25)满足条件(2.27), (2.28)的解可以表示为级数

12. 将这些系数代入(2.32)式即得所求的解.为了以后应用起来方便, 还可以将解(2.32)写成另一种形式. 为此, 将(2.34)式的系数代入(2.32)式经过简化后可得

13. 利用下面已知的恒等式

14. 可将(2.35)中的解u(r,q)表达为 公式(2.36)称为圆域内的泊松公式. 它的作用在于把解写成了积分形式, 这样便于作理论上的研究.

15. 例 解下列定解问题 A为常数. 解 利用公式(2.34)并注意三角函数的正交性 代入(2.32)即得所求的解为

16. §2.4 非齐次方程的解法

17. 研究一根弦在两端固定的情况下, 受强迫力作用所产生的振动现象. 即要考虑下列定解问题: 弦振动由两部分干扰引起, 一是强迫力f(x,t), 一是初始状态j(x)和y(x). 因此可设解为 U(x,t)=V(x,t)+W(x,t)

18. 其中V(x,t)表示仅由强迫力引起的弦振动位移, 而W(x,t)表示仅由初始状态引起弦振动位移,

19. (2.42)可用分离变量法求解.(2.41)可假设解可以分解为无穷多个驻波叠加, 每个驻波的波形仍然是由相应齐次方程通过分离变量所得的特征值问题的特征函数所决定. 即假设(2.41)的解具有如下的形式: 其中vn(t)是待定的函数. 为了确定vn(t), 将自由项f(x,t)也按特征函数系展开成级数:

20. 其中 将(2.43)及(2.44)代入(2.41), 得到 由此可得 再将(2.43)代入(2.41)中的初始条件可得

21. 因此确定函数vn(t)只需解下列定解问题:

22. 拉普拉斯变换简介:拉普拉斯变换简称为拉氏变换, 是将定义在t>0区域的函数f(t)变换为另一个复变函数F(p), 对于这个复变函数F(p)又可以变换回原来的函数f(t). 正变换和反变换的公式为: 简记为F(p)=L[f(t)], f(t)=L-1[F(p)]. f(t)称为象原函数, 而F(p)称为象函数.

23. 但是变换和反变换的公式不必去记它, 也不必用这两个公式来计算. 因为常用的函数的变换及反变换都已经列成了表在书的附录B中.例如, 如果我们知道f(t)=cos kt, 则在表中可以查出它象函数为 当然这个表也可以反过来查. 此外, 也应当灵活应用这个表, 比如cos 2t的象函数, 我们就知道是

24. 拉氏变换是线性变换, 就是说, 它满足线性性质, 如果f1(t)的象函数是F1(p), f2(t)的象函数是F2(p)则f1(t)+f2(t)的象函数就是F1(p)+F2(p), 反之亦然. 此外, 对任何数k, kf1(t)的象函数是kF1(p).拉氏变换最重要的性质是微分性质, 就是说, 如果f(t)的象函数是F(p), 则f(n)(t)的象函数就是pnF(p)-[pn-1f(0)+pn-2f '(0)+…+f (n-1)(0)]如果上面的方括号中的初始条件都是0, 则f(t)的n阶导的象函数就是用p的n次方来乘F(p). 这个性质在拉氏变换表中也有, 这使得拉氏变换成为求解线性微分方程组的重要手段.

25. 两个函数f1(t)和f2(t)做如下运算被称为卷积: 则卷积的拉氏变换等于F1(p)F2(p), 其中F1(p)是f1(t)的拉氏变换, 而F2(p)则是f2(t)的拉氏变换, 这在拉氏变换表中也能够查得到.

26. 右端的积分称为拉氏反演积分, 它的积分路线是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷. 而积分路线中的实部b则有一些随意, 但必须满足的条件就是e-btf(t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛. 计算复变函数的积分通常比较困难, 但是可以用留数方法计算. 再来谈拉氏逆变换的公式:

27. 定理 若s1, s2, ..., sn是函数F(s)的所有奇点(适当选取b使这些奇点全在Re(s)<b的范围内), 且当s时, F(s)0, 则有 其中的n也可以是无穷数.

28. 现用拉氏变换求解常微分方程 对第一个式子两端求拉氏变换, 得 解出

30. 所以 将这个解与问题(2.42)的解加起来, 就得到原定解问题(2.37), (2.38), (2.39)的解 这里给出的求解问题(2.41)的方法, 其实质是将方程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族特征函数展开. 随着方程与边界条件的不同, 特征函数族也就不同, 但总是把非齐次方程的解按相应的特征函数展开, 所以这种方法也叫特征函数法.

31. 解 由于求解区域是环形区域, 选用平面极坐标系, 利用关系x = r cos q, y = r sin q, 可将上述定解问题用极坐标r,q表示出来:

32. 这是一个非齐次方程附有齐次边界条件的定解问题. 采用特征函数法, 并注意到在§2.3中得到的关于圆域内拉普拉斯方程所对应的特征函数, 可令问题(2.47),(2.48)的解为

33. 代入(2.47)并整理得到 比较两端关于cos nq, sin nq的系数可得

34. 再由条件(2.48)得 方程(2.50)与(2.51)都是齐次的欧拉方程, 它们的通解分别为

36. 方程(2.49)是一个非齐次的欧拉方程, 利用待定系数法可求得它的一个特解 所以, 它的通解为 A2(r)=C1r2+C2r-2+r4, 由条件(2.52)确定C1,C2得

37. 因此 原定解问题的解为

38. §2.5 非齐次边界条件的处理

39. 前面所讨论的定解问题的解法, 不论方程是齐次的还是非齐次的, 边界条件都是齐次的. 如果遇到非齐次边界条件的情况, 应该如何处理? 总的原则是设法将边界条件化成齐次的. 具体地说, 就是取一个适当的未知函数之间的代换, 使对新的未知函数, 边界条件是齐次的. 现在以下列定解问题为例, 说明选取代换的方法.

40. 设有定解问题 设法作一代换将边界条件化为齐次的, 令 u(x,t)=V(x,t)+W(x,t) (2.57) 选取W(x,t)使V(x,t)的边界条件化为齐次的,即 V|x=0=V|x=l=0 (2.58)

41. 由(2.55)及(2.57)容易看出, 要(2.58)成立, 只要W|x=0=u1(t), W|x=l=u2(t), (2.59)就能达到我们的目的. 而满足(2.59)的函数是容易找到的, 例如取W为x的一次式, 即设W(x,t)=A(t)x+B(t),用条件(2.59)确定A,B得 显然, 函数 就满足(2.59)式,

42. 因此作代换 得到关于V的定解问题为

43. 其中 问题(2.61)可用上一节的方法解出. 将(2.61)的解代入(2.60)即得原问题的解.

44. 上面由(2.59)式定W(x,t)时, 取W(x,t)为x的一次式是为了使(2.62)中的几个式子简单一些, 并且W(x,t)也容易定. 但若f,u1,u2都与t无关, 则可取适当的W(x)(也与t无关), 使V(x,t)的方程与边界条件同时都化为齐次的, 这样做就可以省掉下面对V(x,t)要进行解非齐次方程的繁重工作. 这种W(x)究竟怎么找, 将在后面的例题中说明.

45. 若边界条件不全是第一类的, 本节的方法仍然适用, 不同的只是函数W(x,t)的形式, 读者可就下列几种边界条件的情况写出相应的W(x,t)来:

46. 以上各节说明了如何用分离变量法来解定解问题, 其主要步骤小结如下:一, 根据边界的形状选取适当的坐标系, 选取的原则是使在此坐标系中边界条件的表达式最为简单. 圆, 圆环, 扇形等域用极坐标系较方便, 圆柱形域与球域分别用柱坐标系与球坐标系较方便.二, 若边界条件是非齐次的, 又没有其它条件可以用来定特征函数, 则不论方程是否为齐次, 必须先作函数的代换使其化为具有齐次的边界条件问题, 然后再求解.

47. 三, 非齐次方程, 齐次边界条件的定解问题(不论初始条件如何)可以分为两个定解问题, 其一是具有原来初始条件的齐次方程的定解问题, 其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题. 第一个问题用分离变量法求解, 第二个问题用特征函数法求解.下面再举两个综合性的例子.

48. 作业习题二53页开始第9,14题