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簡介與使用說明. 針對九年一貫七年級幾何教材所整理的 授課內容 ， 有別於各出版社的解說過程，希望能引導、儘可能給予學生更合乎數學推論的真正「實測操作」。 『 數學的學習注重循序累進的邏輯結構 』 ， 這正是「 操作幾何 」努力的方向，. 使用說明： 這是 Power Point 2002 簡報檔， 動畫表現還可接受 ， 按滑鼠左鍵或右鍵 便能持續進行， 有些補充說明或教學心得可參考 「備忘稿」 。 再提供適時的 GSP 圖檔 強化或輔助操作說明。 【 連結 GSP 使用說明頁 】 「 操作幾何ｅ化講義 」的第一單元，編號： Geo_01. 認識「幾何」.
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簡介與使用說明 針對九年一貫七年級幾何教材所整理的授課內容，有別於各出版社的解說過程，希望能引導、儘可能給予學生更合乎數學推論的真正「實測操作」。 『數學的學習注重循序累進的邏輯結構』，這正是「操作幾何」努力的方向， 使用說明：這是 Power Point 2002 簡報檔，動畫表現還可接受，按滑鼠左鍵或右鍵便能持續進行，有些補充說明或教學心得可參考「備忘稿」。 再提供適時的GSP圖檔強化或輔助操作說明。【連結GSP使用說明頁】 「操作幾何ｅ化講義」的第一單元，編號：Geo_01
認識「幾何」 「幾何」的字義： 「幾何學（Geometry）」的原名，來自測量，是「測地術」的意思。但它發展到後來，已遠遠超出「測地術」這一原始意義，成為以現實物體的形狀、大小和互相位置關係為研究對象的一門數學理論。 這個名字是明朝科學家徐光啟翻譯的，取自曹操《短歌行》詩中「對酒當歌，人生幾何」的字句。 幾何是較有系統的推理訓練教材。學習過程中，請同學多點耐心，用心思考。
什麼是「操作幾何」？ 以「驗證」三角形的內角和為例：若不做任何解釋，而將三個角剪下來拼湊成好像是平角，就說內角和是180度？實在說，與「測量角度再加總」有何兩樣？總不能因為結論是內角和180度，就要每個人都量出或拼出相同的結果吧？（任何誤差都可以忽略？）但是，若在拼湊的同時，引進「平移、旋轉」的操作，就能很確定三個角可拼成平角，很理直氣壯的得到結論。 七年級的幾何學習是以操作為主，能瞭解圖形性質即可，並不要求會寫過程。然而「操作過程」也得有個合理的說明解釋，所以我將一系列課程稱為「操作幾何」。這是一個不同的嘗試，有興趣繼續「看下去」嗎？說不定你的想法超好的，屆時請趕快E-mail給我喔，先謝謝囉。
三步曲 本單元由下列三部分所組成◎ 基本的圖形記法與位置關係： 識圖、閱圖的最最最基礎篇。◎ 平移 旋轉 點對稱 線對稱： 這是「操作工具」，不是應該經由「操作」來觀察圖 形變化，進而討論性質的嗎？ 還沒引進「推理證明」之前，這是我目前所找到最能 「直觀」，且大家都有「操作經驗」的說明工具。◎ 兩直線的位置關係： 常常引用到，特別強調先說明清楚。
簡要說明 國中階段只討論平面上的簡單幾何圖形部分。 平面：如同桌面，只是平面可以延伸。所謂簡單或基本幾何圖形泛指下列各項平面圖形名稱。 先認識下列與基本圖形有關的符號用法及名詞意義，但圓的部分暫不做介紹。 1. 點、線段、端點、直線、射線的記法與意義 2. 角的記法與分類 3. 線段與角度的大小比較 4. 三角形、四邊形的記法與邊、角位置關係 ◎ 要清楚符號意義與用法，可自己多畫畫圖對照。
E A D B C 「點」的記法與意義 表示「位置」的意思，與點的大小無關，但為了讓人確實知道位置，有時會特別塗黑標示。 位置如同地名，要有名字。通常以大寫的英文字母命名，寫在該點四周任意適當位置皆可。如圖A、B、C、D、E所示，都可明確表示出位置。此時，讀作「點A」、「A點」、…。 注意事項： 在同一圖形上，不同的點要使用不同的名稱。但因為點可重合（視為同一個點），所以可認為同一個點可有不同的名稱。
A B 又通過不同兩點，可用直尺作出唯一的一條直線。 此時可以符號 （讀作直線AB）表示由A、B兩點所作出的直線，當然 與 表示同一條直線。 AB BA AB 「直線」的記法與意義 利用直尺邊緣畫出的圖形即是直線（不用畫箭頭）。 直線也有名字，通常以英文字母 L、M、N 為直線命名，寫在直線兩側任一方皆可，讀作直線L、…。 L L 在幾何圖形上，直線可任意延長且沒有粗細的分別。
線段是直線的一部份，不能延長，故在兩側有「端點」。直線上從 A 點到 B 點的部分，即是線段，記作 或 。而A、B兩點即是線段AB的端點（右圖不必特別塗黑）。 或 A B A B 又線段符號除了表示在圖形上的位置之外，也可用來表示長度大小（例如： ＝5公分），因此線段是可以比較大小，也可以列式計算的。（例如： ＋ ＞ ）。 常用疊合法比較線段的大小，若兩線段重合，則等長。反之，若等長，則兩線段會重合。 A 因為也常用 ＝a （以代表數表示線段的長度），所以線段也可直接用小寫英文字母來表示。 b c BC BA AB AB AB AB C B a CA 「線段」與「端點」
射線有符號，如圖的射線記作 （箭頭一律向右）。 顯然 與 表示不同的圖形。 A B AB AB BA -2 0 0 3 「射線」與「半線」 直線可向兩端延長，線段被端點所限，不能延長。若允許一方有端點，另一方可延長，則稱之為「射線」。 若不含端點，則稱之為「半線」（供參考）。 要在數線上圖示大小的範圍時，常會畫到射線與半線。 例如：x＞－2 、y≦3 的數線圖形
型如兩線段（射線）共用一端點的圖形即為角，有∠BAC（∠CAB）、∠A、∠1等不同的記法。型如兩線段（射線）共用一端點的圖形即為角，有∠BAC（∠CAB）、∠A、∠1等不同的記法。 A點稱為∠A的頂點 與 稱為∠A的邊。 B 1 A C AB AC 「角」的記法 又角的符號除了表示在圖形上的位置之外，也可用來表示角度大小，所以角的符號也是可以列式計算的。（例如：∠1＞∠2、∠A＝30°、∠1＋∠2＝90°）。 除了使用量角器外，幾何上是用疊合法比較兩個角的大小。若兩個角的頂點與兩邊都各自重合時，則兩角相等；反之，若兩角相等，則必能重合。
2 1 B A C 「角」的分類 若一圓以半徑將之等量分割為360部份（或說將半圓等分成180等分，例如：量角器），則每兩相鄰的半徑所夾的角為1度。 通常依度數大小有以下分類名稱：周角（360°）＞平角（180°）＞鈍角＞直角（90°）＞銳角＞零角（0°） 平角表示有兩邊連成一條直線，或者說直線上的角為平角。所以，若兩個角的度數和＝180°，則將頂點與其中一邊重合，另外兩邊會連成一直線。
1. 若是確定 ，則將兩線段端點A與C疊合時，B點會落在 之間。（ 、 道理相同） 2. 反之，在疊合時，若能確定兩線段端點A與C疊合時，B點會落在 之間，則 。 CD CD AB ＜ CD AB ＜ CD AB ＞CD AB ＝CD 線段與角度的大小比較 與平時的測量大小是有差別的，此處的比較要有確定的「已知條件」，才能「根據已知條件」得出比較結果。 還是以「疊合」的觀念比較大小。 另外，角的疊合比較、圖形的全等比較與線段大小比較的道理是相同的，不能只憑「測量」的感覺相等，就認為會「相等」。（比較補充說明頁）
A 1 如右圖的三角形各個位置稱呼有三個頂點：A、B、C。三個邊： 、 、 （互為鄰邊）。三個內角：∠BAC、∠B、∠C（互為鄰角）。 又例如： 的對角為∠C；∠C的對邊為每個內角各有兩個相鄰的外角。（外角指一邊與另一邊的延長線所形成的角）。∠BAC與∠1是相鄰內、外角；∠B、∠C是∠1不相鄰的內角，稱為∠1的內對角。 C B AB BC CA AB AB 三角形的記法與邊、角位置關係 不在同一直線的A、B、C三點可作出三角形，記作△ABC。當然△ACB、△BCA、…等都表示同一個三角形。
如右圖的四邊形各個位置稱呼有四個頂點：A、B、C、D，故四邊形記做□ABCD。 必須依各頂點的順序（順時針或逆時針皆可）四個邊： 、 、 、 。 有共頂點的是互為鄰邊（ 與 、 與 ） ，否則是互為對邊（ 與 、 與 ）。四個內角：∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA有共一邊的是互為鄰角（∠DAB與∠ABC）， 否則是互為對角（∠DAB與∠BCD）。每個內角各有兩個相鄰的外角（∠BAD與∠1是相鄰內、外角），但沒有三角形的內對角位置關係。兩條對角線（不相鄰頂點的連線）： 、 。 1 A D C B CD AB BC DA AC BD AB CD AB AD AB BC AD BC 四邊形的記法與邊、角位置關係
簡要說明 這些是小時候玩拼圖或畫圖時，就在使用的方法，借重它們做為「操作幾何」的基本工具之一部分。很可惜的，這麼好的工具，各出版社在第二年的教科書竟然只保留了線對稱。 何況沿生的全等觀念，對以後的推理幾何的學習與思考，是絕對有幫助的。 平移、旋轉、鏡射（翻轉）與圖形全等密不可分。即經由平移、旋轉、鏡射所產生的新圖形會與原圖形全等。而若兩圖形全等，則可平移、旋轉、鏡射（翻轉）使兩圖形重合。 另外，日常生活所見到的美麗多樣圖案（欣賞）也常是平移、旋轉、鏡射的合成。
先字義說明，有個基本認識 ◎ 平移：圖形沿相同方向移動同樣距離。 ◎ 旋轉：圖形繞著某一個定點（旋轉中心）轉動一個角度。 ◎ 點對稱：若圖形以某一點為中心旋轉180°後，會與原 圖形重合，即為「點對稱圖形」。 ◎ 鏡射（線對稱）：將圖形對著一條直線翻轉（對摺）過 去。原圖形與其鏡射圖即是一個線對稱圖形。 全等：兩圖形的大小與形狀一模一樣，則稱兩圖形全等。 ◎ 對應點、對應邊、對應角 針對平移、旋轉、鏡射所產生的新圖形與原圖形，互相對應的點稱為對應點，互相對應的邊稱為對應邊，互相對應的角稱為對應角。
所以若 的端點A沿著直線L方向平移到新位置D，則另一端點B同樣維持與A點相同的方向和移動相同距離到達C點。當然， 上的每一個點都同樣維持與A、B相同的方向和移動相同距離，所以平移之後的新線段 與原線段 是會等長的，而且 與 會平行（因為不會有交點）。 所以平移也就是平行移動的意思。 L C D AB AB DC AB A B AB DC 平移的意義–(1) 圖形沿相同方向移動同樣距離。 若是只看起點與終點位置，可視為是沿著直線方向移動。
平移的意義–(2) 再以三角形為例， 試想：平移到新位置之後與原圖形位置能得到什麼結果？ 問題：新圖形的形狀、大小與原圖形比較有何改變？ 答：做圖形的平移時，是將整個三角形平行移動，並沒有改變圖形原來的形狀、大小，因此所產生的新圖形與原圖形是會「全等」的。 因為全等，所以對應角相等、對應邊相等且會平行。
旋轉的意義 圖形繞著某一個固定點（旋轉中心）轉動一個角度。 若以線段上某一定點為旋轉中心，將線段轉動一個角度，則可看出新舊線段會相交於一點。 仍以三角形為例，試想： 將三角形以某一頂點為旋轉中心，順時針旋轉某一角度到新位置之後，與原圖形位置比較，能得到什麼結果？ 答：做圖形的旋轉時，是將整個三角形旋轉，並沒有改變圖形原來的形狀、大小，因此所產生的新圖形與原圖形是會「全等」的。 因為全等，所以對應角相等、對應邊相等。另外，各對應邊當然旋轉相同的方向與角度。
點對稱的意義 若圖形以某一點為中心旋轉180°後，會與原圖形重合，即為「點對稱圖形」。可認為是旋轉的特例。其旋轉的中心點，稱為「對稱中心」。 如右圖，是整個圖為「點對稱」圖形。 A B 若以線段上某一定點為「旋轉中心」，將線段旋轉180°，則可看出新舊線段會連成一直線。 若以線段外某一定點為「旋轉中心」，將線段旋轉180°，則可看出新舊線段會平行。 點對稱圖形中的對應點（邊），特別稱為「對稱點（邊）」。 其對稱中心正好是對稱點所連接線段的中點。
線對稱的意義 A B 將圖形對著一條直線翻轉（對摺）過去。原圖形與其鏡射圖即是一個線對稱圖形。 如右圖，是整個圖為「線對稱」圖形。 亦即對摺後，可以重合，就是「線對稱」。 例如：正方形、圓形、「中」字、剪紙圖案、…。 該條對摺線稱為「對稱軸」。 一個圖形可能會有多條對稱軸存在。【要會畫出對稱軸】 線對稱圖形中重合的對應點(邊)，特別稱為「對稱點(邊)」。
對稱點與對稱軸 線段的中垂線：通過線段中點且與線段垂直的直線。 又稱為垂直平分線。 將對稱點連接成線段，再將此線段對摺時，兩側會重合，所摺出的直線是為對稱軸。此對稱軸可檢驗出：(1) 與線段垂直。（因為等分平角）(2) 將線段平分。表示線段的對稱軸與線段的中垂線是同一直線。且在操作過程知道「恰可捏出一條對稱軸」，又將線段對摺也是現階段作「線段的中垂線」的方法之一。 結論：對稱軸是對稱點所連接線段的垂直平分線。或說，對稱軸會垂直平分對稱點所連接線段。
如何找對稱點、畫鏡射圖 利用對稱軸會垂直平分對稱點所連接線段的性質，就可找到某一點的對稱點。 方法：作出通過該點與對稱軸垂直的直線，再取出等線段長 ，就是對稱點所在的位置。 問題：如何作垂直線與取出等線段長？ 要畫鏡射圖，只要找到所有的對稱點連結即可。
連接全等與拼湊 連接全等（依序連接各對應點可得全等形） 圖形全等的判斷比較方法之一。因為平移、旋轉或對摺後的對應點重合，則所連接的對應邊當然也重合，由對應邊產生的圖形當然也重合全等。 拼湊（點對稱與線對稱） 兩全等形能拼出點對稱與線對稱圖形。 例如：兩個全等的三角形可拼出平行四邊形或鳶形。 兩個等底的等腰三角形可拼出鳶形。 也常利用線對稱來「平分」線段、角度、…
順序連接 A1-B2-A3-A1與 B1-A2-B3-B1（是對稱圖形）。 又如 ，且交點在對稱軸上。（對應線段會相等） B1 A1 B2 A2 B3 A3 A1B2＝B1A2 連連看、拼拼看 這是「連接全等」與「拼湊」的舉例。依有規則的對稱繪圖或拼圖所得的圖形也會是對稱圖形，或所得的對應線段會相等。 利用對稱拼圖拼出對稱圖形 →
簡要說明 由「平移、旋轉」觀察體會，在平面上兩直線的「平行」、「重合」、「相交於一點」三種位置關係。 雖然「平行」、「重合」、「相交於一點」三種位置關係，在「平移、旋轉」已概略說明，但是兩直線的位置關係在幾何圖形性質的解釋上時常用得到。（例如：兩直線垂直或對頂角）所以，特別就相關內容再詳細強調說明。
重合 兩直線合而為一，處處是交點。 依據問題情況，有時視為兩條重合直線，有時視為合而為一的一條直線。若提到兩相異直線，則重合情況便被排除在外。 判斷兩直線重合的方法： (1) 因為通過相異兩點恰可作出一條直線，所以，若兩條 直線有兩個以上的交點，就表示兩直線是重合的。 (2) 以直線（線段）上某一固定點為「旋轉中心」，旋轉180度後，原直線（線段）與新直線（線段）是重疊的 兩直線（線段）。（平角概念）
L1 L2 平行線的直觀意義與符號 平行線是指在平面上不會有交點的兩條（以上）直線，即「不相交的兩直線」。 例如：火車鐵軌、… 使用符號「//」表示平行。 如圖，若兩直線L1與L2互相平行，記作 L1//L2。
判斷平行線的方法 - (1) (1) 將重疊的兩線段或直線之一「平移」開，因為兩直線 沒有交點，所以產生平行線。 (2) 將重疊的兩線段或直線之一，以線外某固定點為旋轉 中心，旋轉180度後，會產生平行線。 若不特別強調旋轉中心的位置，旋轉180度泛指： 「平移後再旋轉180度」、「旋轉180度後再平移」、 「邊平移邊旋轉180度」。 ※亦即「平移」（可依移動的角度判斷）或說「沒有旋轉」 （旋轉180度是例外），會產生平行線。 ※兩重合直線可由「平移」而平行；兩平行直線可由「平移」而重合。
判斷平行線的方法 - (2) (3) 距離處處相等（兩平行線沒有交點）。 距離就是兩平行線之「寬度」的意思， 如圖所示的紅色線段，會與平行線垂直，稱為兩平行線的距離。可由「平移」意義思考，得兩平行線的距離處處相等。 反之，若有兩條直線的距離處處相等，則必定不相交，是為平行線。
L N M 判斷平行線的方法 - (3) (4) 具有「遞移律」。 即若 L//M、M//N，則 L//N （L//M//N）。 想法：三直線都可由平移而重合，再由平移而平行。 (5) 過直線外一點恰可作出一條平行線。 即「直線外等距離的相異兩點所連接的直線是平行線」。 想法：作不出相異的第二條平行線， 因為違反了遞移律。
平行線的截線概念 一直在使用「平移」或「沒有旋轉」來說明兩直線的重合與平行關係，但是要如何確定是將直線「平移」呢？ 引進「截線」概念，根據直線與截線的夾角度數，以便清楚判斷直線的移動沒有旋轉，便是平移，就是平行。 截線也是幫助畫平行線的輔助工具。 截線 平行的直觀意義不方便以後的幾何推理證明，故在八九年級會引進垂直截線定義，屆時就有更多平行線的性質。
相交於一點 將兩重合或平行直線其中之一「旋轉」（180度除外），即是相交於一點的兩直線。 平面上，不平行的相異兩直線恰有一個交點。 簡單回顧： 以兩直線的交點情形，來討論平面上兩直線的位置關係。 (1) 沒有交點：平行。 (2) 一個交點：相交於一點。 (3) 兩個交點：重合，事實上是無限多個交點。
若兩直線的交角為90度，則稱兩直線互相垂直。亦即「垂直」表示兩直線交角為90度。若兩直線的交角為90度，則稱兩直線互相垂直。亦即「垂直」表示兩直線交角為90度。 使用符號「⊥」表示垂直。 如圖，若兩直線 L 與 M、 與 互相垂直，記作 L⊥M、 ⊥ 。 又相交的交點稱為「垂足」。 L M B A C D AC BD AC BD 垂直與直角 垂直沒有「遞移律」。（畫圖檢驗即知） 過直線上（外）一點恰可作出一條垂直線。 想法：作不出相異的第二條垂直線， 因為比較後知「夾角不等於90度」。
3 2 1 4 對頂角 兩相異直線 相交於一點，不相鄰的角，稱為對頂角。 如圖，∠1 與∠2、∠3 與∠4，互稱為對頂角。 對頂角會相等， 即∠1 ＝∠2、∠3 ＝∠4， 如何驗證？ （等量公理） ∠1 ＋∠3＝∠2 ＋∠3 ＝180°（平角）
謝謝瀏覽 歡迎建議與指教 ◎ 採用直觀操作（非測量）去理解幾何性質。就目前各 家版本的「豐富內容」，某些解釋也不得不借重「等 量公理」的概念（但還是很直觀的等量加減）。◎ 「直觀操作」與「推理證明」兩者可以相輔相成，在 八九年級時可引導將「操作」轉換成「推理證明」的 敘述。所以，本簡報檔也適用於九年級預習或複習。◎ 雖然九四學年度改版時七年級的幾何「消失了」，但 還是將自己被激發出來的的一些教學淺見提供予大家 分享，歡迎建議與指教，集思廣益下，會找到更好的 解說方式，也會有更理想的內容增減取捨安排。◎ 開放式的 PPT檔 可視您的需要自行加以增減修正， 謝謝您的瀏覽與指教。 結束
GSP使用說明頁 (1) 右上角的「GSP」是放置在「投影片母片」，所以隨時 可以點選，按「最小化」立刻可回到 Power Point 。 「超連結」設定：Geo_01.gsp。 需用GSP程式開啟（V4.0版）。 (2) 可在 www.keypress.com/sketchpad/evaluation下載DEMO檔（有使用期限、不能存檔），但不影響圖檔的執行。 (3) gsp圖檔需與ppt檔放置同資料夾。若無法執行， 那請您先執行（安裝）GSP主程式或做「檔案關聯」。 (4) GSP圖檔內容請看「Geo_01.gsp」目錄頁。
「比較」補充說明頁 以三角形為例，所謂確定的「已知條件」，指兩個三角形的三個邊與三個角分別對應相等，則由疊合比較，兩個三角形會重合，此時稱兩個三角形全等。 當然要比較「三個邊與三個角」太繁了些，所以才會有全等性質的產生。利用「推理」來幫忙做全等的判斷。 所以個人認為：幾何的大小比較觀念，應是很重要的「邏輯推理」必經過程。因為實在太容易與「測量、量量看」的日常生活上的比較混淆。 國中幾何課程仍然採用「測量、量量看」的比較，來解釋性質是有待商榷溝通的。
