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5.2 解析函数的有限孤立奇点

5.2 解析函数的有限孤立奇点. 5.2.1 孤立奇点的分类 5.2.2 孤立奇点的性质 1. 可去奇点的性质 2. 极点的性质 3. 本性奇点的性质 5.2.3 Picard 定理 5.3.4 Schwarz 引理. 5.2.1 孤立奇点的分类. 定义 5.2 如果 f(z) 在点 a 的某一 去心邻域 K-{a}:0<|z-a|<R( 即除去圆心 a 的某圆 ) 内解析 , 点 a 是 f(z) 的奇点 ( 见定义 2.3), 则称 a 为 f(z) 的 孤立 奇点. 如 a 为 f(z) 的孤立奇点 , 则 f(z) 在 a 的某去心邻域

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5.2 解析函数的有限孤立奇点

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  1. 5.2 解析函数的有限孤立奇点 • 5.2.1孤立奇点的分类 • 5.2.2孤立奇点的性质1. 可去奇点的性质 2. 极点的性质 3. 本性奇点的性质 • 5.2.3 Picard定理 • 5.3.4 Schwarz引理

  2. 5.2.1孤立奇点的分类 定义5.2 如果f(z)在点a的某一去心邻域 K-{a}:0<|z-a|<R(即除去圆心a的某圆)内解析, 点a是f(z)的奇点(见定义2.3),则称a为f(z)的孤立 奇点. 如a为f(z)的孤立奇点,则f(z)在a的某去心邻域 K-{a}内可以展成罗朗级数 则称 为f(z)在点a的正则部分,而称 为f(z)在点a的主要部分.

  3. 定义5.3 设a为f(z)的孤立奇点. (1)如果f(z)在点a的主要部分为零,则称a为 f(z)的孤立奇点. (2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项, 设为 则称a为f(z)的m阶(级)极点.一级极点也称为简单 极点. (3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项, 则称a为f(z)的本性奇点.

  4. 5.2.2 孤立奇点的性质1.可去奇点  定理5.3 a为f(z)的可去奇点 (1)f(z)在点a的主要部分为零; 或 (2) 或 (3)f(z)在点a的某去心邻域内有界 证 只需证(1)(2);(2) (3);(3)(1) (1)推出(2)：由(1)知 于是

  5. (2)推出(3):即例1.27. (3)推出(1):设当a∈K-{a}＝{z| 0<|z-a|<a} 时 |f(z)|≤M(M>0).考虑f(z)在点a的主要部分

  6. 注：a为可去奇点时，补充 f(z)=c0,则a就成为f(z)的解析点了。 2.极点的性质 定理5.4 如果f(z)以a为孤立点,则a为f(z)的m阶极点 (1)f(z)在a点的 主要部分为 或：(2)f(z)在点a的某去心邻域内能表成 其中λ(z)在点a邻域内解析,且λ(a)≠0

  7. 以a为m阶零点 (可去奇点a要当作解析点看,只要令g(a)=0). 证 (1)(2): 设在点a的某去心邻域内有 其中： 显然在点a的邻域内解析,且

  8. (3)推出(1):如果 以点a为m级零点, 则在点a的某邻域内 (2)推出(3):设在点a的某去心邻域内有 (由例1.28) 其中 在点a的某去心邻域内解析,且 因此a为g(z)的可去奇点,作为解析点来看,只 要令g(a)=0,a就为g(z)的m级零点. 其中 在此邻域内解析,且 .这样一来 定理4.17

  9. 因1/(z)在点a某邻域内解析(例1.28),则可展成泰勒级数，设为：因1/(z)在点a某邻域内解析(例1.28),则可展成泰勒级数，设为： 于是f(z)在点a的主要部分就是 定理5.5 f(z)的孤立奇点a为极点的充要 条件是

  10. 3.本性奇点的性质 定理5.6 f(z)的孤立奇点a为本性奇点 证明：(反证法) a是f(z)的 可去奇点 若a不是f(z) 的本性奇点  a是f(z)的极点  矛盾！ a是f(z)的可去奇点 a是f(z)的极点

  11. 定理5.7 若z=a为f(z)之一本性奇点,且在点 a的充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为 的本性奇点. 证 （反证法）  ①若z=a为(z)的可去奇点(解析点), a为f(z)的极点    a为f(z)的可去奇点 ②若z=a为(z)的极点  a为f(z)的可去奇点 矛盾！  都与假设 .由假设,z=a必为

  12. 5.2.3 Picard(毕卡)定理 定理5.8 如果a为f(z)的本性奇点,则对于 任何常数A,不管它是有限数还是无穷,都有一个 收敛与a的点列{zn},使得 换句话说,在本性奇点的无论怎样小的去心邻 域内,函数f(z)可以取任意接近于预先给定的任 何数值(有限的或无穷的). 证 (1) 在 A＝∞的情形,定理是正确的.因为函 数f(z)的模在a的任何去心邻域内都是无界的.

  13. 否则,a必为f(z)的可去奇点. (2)现在设 可能有这种情形发生,在点a的任意小的 邻域内有这样一点z存在,使f(z)=A.定理得证 因此,我们可以假定,在点a的充分小去心邻域K-{a}内f(z)≠A .这样,由定理5.7,函数 在K-{a}内解析,且以a为本 性奇点(因a为f(z)的本性奇 点).根据前面(1)段的结果,必定有一个趋向a的点列{zn}存在,使得 由此推出

  14. 用下列例子来验证定理5.8成立 例5.9 A=∞ A≠∞

  15. 例5.10 A=∞ A=0 A≠∞, A≠∞

  16. 定理5.9(毕卡(大)定理)如果a为f(z)的本性奇点,则对于每一个A≠∞,除掉可能一个值A=A0外,必有趋于a的无限点列{zn}使f(zn)=A (n=1,2,…).

  17. 如果上式等号成立,或在圆|z|<1内一点z0≠0 处前一式等号成立,则(当且仅当) 其中α为一实常数. 5.2.4 Schwarz引理 席瓦尔兹(Schwarz)引理 如果函数f(z)在 单位圆|z|<1内解析,并且满足条件 f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1), 则在单位圆|z|<1内恒有|f(z)|≤|z|,) 且有 |f /(0)|≤1.

  18. 证 设

  19. 让r1即得 ,且当 时,有 于是 即 如果这些关系中,有一个取等号,这就意味着 在单位圆|z|<1内某一点z0,模数 达到最大 时才可能.此即 值,这只有

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