Paul van Batenburg Deloitte Accountants B.V. en Nyenrode School of Accountancy & Controlling

1. Dat zeg ik, *****!Het gebruik van de Gamma verdeling bij het oplossen van een aantal praktische problemen bij opzet en evaluatie van steekproefcontroles Paul van Batenburg Deloitte Accountants B.V. en Nyenrode School of Accountancy & Controlling www.steekproeven.eu 28 april 2010- Symposium Statistical Auditing

2. Overzicht • Evaluatie en ontwerp van een steekproef • Steekproef uitbreiden om beter te kunnen schatten • Combineren van steekproeven • Audit Risk Model revisited • Materialiteit toekennen om fouten te isoleren • Shared Services Audit 28 april 2010- Symposium Statistical Auditing

3. Evaluatie en ontwerp van steekproeven • Deze algemeen bekende tabel kan worden vervangen door de Excel functie: GAMMAINV(betrouwbaarheid, aantal fouten +1; interval) • GAMMAINV(0,95;0+1;1)=2,995732 • GAMMAINV(1-exp(-3);0+1;1)=3 • GAMMAINV(1-exp(-3);0+1;10.000.000) = 10.000.000 en dat is onjuist; omzeilen door GAMMAINV(1-exp(-3);0+1;1)x 10.000.000 • Nederlands Excel gebruikt GAMMA.INV 28 april 2010 Symposium Statistical Auditing

4. Steekproeven uitbreiden • Voor 95% betrouwbaarheid en 3% onnauwkeurigheid zijn 100 waarnemingen nodig met 0 toegestane fouten • Bij 1 fout is MLE 1% en ME 4,75% dus zelfs na correctie van MLE kan niet worden goedgekeurd • Steekproef uitbreiden met n geeft naar verwachting n/100 extra fouten zodat MLE 1% blijft en ME wordt: GAMMAINV(1-exp(-3);1+1+n/100;1/n) • Zoek n zo, dat ME-MLE =3% 28 april 2010- Symposium Statistical Auditing

5. Steekproeven combineren • Theorie • Gammaverdelingen kunnen worden opgeteld • Als M/n in beide delen identiek is, is optelling exact, maar bij ongelijke intervallen is optelling een uitstekende benadering • Stewart et al, Universiteit Tilburg, 2008 • Praktijk • DBC controleur heeft 526 waarnemingen met 4 fouten uit € 1mln van het eerste half jaar en106 waarnemingen met 1 fout uit € 1mln van het tweede half jaar 28 april 2010- - Symposium Statistical Auditing

6. Voorbeelden DBC (oud en nieuw) 28 april 2010- - Symposium Statistical Auditing

7. Een Bayesiaans Risico Analyse Model • Convolutie theorie: voorkennis in de vorm van een Gamma verdeling voor de fout in de populatie combineert met een Poisson verdeling voor het aantal fouten in de steekproef tot een nieuwe Gamma verdeling (Leonard en Hsu, 1992) • Praktijk: accountant kan steunen op risico analyse en interne beheersing maar kan niet aannemen dat gegevensgerichte controle foutloos zal zijn • Accountant specificeert vermoedelijke en maximale fout voor controle en gewenste maximale fout na controle 28 april 2010- - Symposium Statistical Auditing

8. voorbeeld 28 april 2010- - Symposium Statistical Auditing

9. Materialiteit toedelen • Theorie: omdat Gamma verdelingen optellen kunnen we ook zoeken naar 2 Gamma verdelingen voor 2 deelpopulaties die samen de gewenste Gamma verdeling voor de gehele populatie geven • Praktijk: ISA 600, of posten in een jaarrekening die niet als 1 homogene massa beschouwd kunnen worden (en waarbij fouten in de ene post dus niks zeggen over de andere) zodat we de uitvoeringsmaterialiteit willen bepalen 28 april 2010- - Symposium Statistical Auditing

10. voorbeeld • Massa van 1 mln met materialiteit van 10.000 bestaat uit 2 even grote delen, maar in 1 daarvan worden geen en in de andere worden wel fouten verwacht • Door per deel materialiteit te kiezen zorgen we dat totale massa aan materialiteit voldoet • Let wel: model heeft oneindig veel oplossingen; Stewart en Kinney (2010) geven een optimale toekenning bij MLE=0 • (MLM = MLE, excuus) 28 april 2010- - Symposium Statistical Auditing

11. fractionaliseren • Theorie: een gamma verdeling voor fouten in een massa kan worden opgedeeld in kansverdelingen voor fouten in deelmassa’s als die kunnen worden opgevat als toevallige selectie uit de gehele massa • Die opgedeelde kansverdeling is de voorinformatie voor een Bayesiaans model zoals hier voor • Zo bepalen we de noodzakelijke aanvullende steekproef om de deelpopulatie te beoordelen als daar een materialiteit voor is gesteld die strenger is dan de overall materialiteit • Toepassing: een shared services center handelt transacties af die in verschillende verantwoordingen terecht komen. De kans dat een euro onjuist wordt verantwoord hangt niet af van de plek van verantwoording • Let wel, deze aanname door de auditor is een gegeven voor de statisticus! • In deze situatie kunnen fouten dus juist niet worden geïsoleerd want elke fout zegt iets over de gehele massa 28 april 2010- - Symposium Statistical Auditing

12. voorbeeld • Massa van 3 miljoen wordt gecontroleerd met norm 1%, n = 300 • Over 1/3 deel van de massa wordt een uitspraak verlangd met norm 1% van dat deel • In plaats van nog eens 300 – 1/3 van 300 = 200 waarnemingen zijn 48 stuks genoeg 28 april 2010- - Symposium Statistical Auditing

13. Top down of bottom up? • Materialiteit toekennen (ISA 600) is ter discussie als op n plaatsen gegevens worden geproduceerd die op 1 plaats worden verantwoord • 1 materialiteit gegeven, n materialiteiten gezocht (om zo efficiënt mogelijk de delen te controleren en uitspraak over het geheel te doen) • Fractionaliseren is (misschien) een mogelijkheid als op 1 plaats gegevens worden geproduceerd die op n plaatsen worden verantwoord • n materialiteiten gegeven, 1 materialiteit gevraagd (om zo efficiënt mogelijk geheel te controleren en uitspraken over delen te kunnen doen) 28 april 2010- Symposium Statistical Auditing

14. Ten slotte • Voor theorie Gamma verdelingen: wikipedia • Voorbeeld toepassingen zijn voor eigen risico te downloaden van www.steekproeven.eu 28 april 2010- - Symposium Statistical Auditing