8. Übungsstunde

1. Linear Algebra HS08 8. Übungsstunde Zeit: 13h-15hDatum: 6.11.08Raum: IFW B42

2. Organisatorisches • Wechsel des Dozenten und Hauptassistenten • Prof. Marc Pollefeys • Vorlesung in Englisch • Roland Angst

3. Organisatorisches • Theoretische Aufgaben • Behebe klar ersichtliche Fehler (Gegenprobe) • Nicht einfach im Kommentar Rechenfehler erwähnen • Lösungsweg sollte klar ersichtlich sein • Praktische Aufgaben • gesunden Menscherverstand einsetzen • Nicht eingebaute Matlab-Funktion aufrufen um eigentliche Aufgabe zu umgehen • In Zukunft striktere Korrektur

4. NeueÜbung (Serie7) • SpätesterAbgabetermin: • 20. November 2008 • 3 theoretische + 1 praktischeAufgaben

5. Repetition: Vektorraum • NichtleereMengemitzweiOperationen • Addition: • SkalareMultiplikation: • Mit 8 Axiomen • V1 • V2 • V3 • V4 • V5 • V6 • V7 • V8 Skalarenkörper

6. Beispiele • Im Intervall [a,b] definierte, stetig reelle Funtionen • Punktweise Addition • Punktweise skalare Multiplikation: • Im Intervall [a,b] m-mal stetig differenzierbare Funktionen • Polynome mit maximalem Grad m • Details siehe später

7. Körper • NichtleereMengemitzweiOperationen • Addition: • Multiplikation: • Mit 10 Axiomen

8. Definitionen • LinearkombinationeinerVektormenge • Beispiel

9. Definitionen • Aufgespannter (odererzeugter) UnterraumeinerVektormenge • MengeallermöglichenLinearkombinationen • Beispiele • Polynomevom max. Grad m • Spalteneiner Matrix (sieheAufg. 7.1 & 7.2.b)

10. Definitionen • Linear unabhängigeVektormenge • Linear abhängigeVektormenge • istLinearkombinationderrestlichenVektoren

11. Aufgabe 7.1 • Abhängigkeiten von Vektoren • Linear abhängig? • Nicht-trivialeLösungfür • Errinnerung: AufgespannterUnterraumeinerVektormenge

12. Aufgabe 7.1 • Abhängigkeiten von Vektoren • Linear abhängig? • Nicht-trivialeLösungfür • Rang von A < n  Mittels Gauss-Elimination zubestimmen • Linear unabhängig? • Rang von A = n (vollenSpaltenrang) • Erzeugend? • JederVektor des VektorraumslässtsichalsLinearkombination des Erzeugendensystemsdarstellen • Gleichungssystem hat Lösungfürjede RHS  Rang von A = m (vollenZeilenrang)

13. Aufgabe7.1 • Linear unabhängig Rang von A = n (vollen Spaltenrang) = • = • Linear abhängigRang von A < n (nicht triviale Lösungen) • • ErzeugendRang von A = m (vollen Zeilenrang) = • • Basis reguläre MatrixRang von A = n = •

14. Aufgabe7.2 • Unterräume • Nichtleere Teilmenge U eines Vektorraums V die bzgl. Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist • Ein Unterraum ist selbst auch ein Vektorraum

15. Aufgabe7.2 • Wie zeigt man ob U ein Unterraum von V ist? • Abgeschlossen bzgl. Addition • Abgeschlossen bzgl. Skalarer Multiplikation • Beispiele • Ist der Nullraum ein Unterraum? • Falls ja, von welchem Vektorraum? • Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems ? • Beweis, Gegenbeispiel?

16. Aufgabe7.2 • Aufgabe 7.2.a • Zeige wieso Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems kein Unterraum ist • Aufgabe 7.2.b • Zeige, dass ein Unterraum ist.

17. Aufgabe 7.3 • = VektorraumderPolynomevommaximalen Grad m • Addition • SkalareMultiplikation • Rein algebraische Definition • Potenzensind “Platzhalter” • Dimension dieses Vektorraums?

18. Aufgabe 7.3.a • Basis fürPolynom-Vektorraum • Erzeugend • Linear unabhängig • Standardbasis • Monome: • Erzeugend • Linear unabhängig

19. Aufgabe 7.3.a • Vektorraum: • Mögliche Basis: • Tipp: Satz 4.12 • JederVektor? • WähleMonombasis

20. Aufgabe 7.3.a • Zuzeigen • JedesPolynom in MonombasisimplizierteineeindeutigeLinearkombinationbzgl. Basispolynomenderanderer Basis • istbekannt in Monombasis • Einsetzen • KoeffizientenvergleichderMonomterme • LiefertGleichungssystemfür

21. Aufgabe 7.3.b • Trivial, wenn 7.3.a gelöst…

22. Aufgabe 7.3.c • Polynom in unserer Basis • Gegeben • 4 Funktionswerteyi an 4 verschiedenenStellenti • 4 Bedingungen…

23. Aufgabe 7.4 • Matlab-Aufgabe • ImplementiereVorgehen in Aufgabe 3.c in Matlab • FürbeliebigvieleBasispolynomedergegebenen Form (d.h. auchfürmehrals m = 3) • 2 Funktionen • a = interpol(t,f) • A: Koeffizientent: Stützstellenf: Funktionswerte • f = eval_poly(a,t,tau) • A: Koeffizientent: Stützstellentau: Auswertestellenf: Funktionswerte

24. Aufgabe 7.4 • WiekanndiesePolynombasiseffizientausgewertetwerden?

25. Serie6 • Abgabe nächste Woche • Fragen? • Probleme?

26. Vorlesung • Fragen? • Probleme?

27. NachbesprechungSerie4 • Bestimme sodass orthogonal ist • Mehrere Bedingungen an • Sind alle erfüllt? • Fallunterscheidungen • Komplexe Zahlen • x liegt auf Einheitskreis der komplexen Ebene

28. NachbesprechungSerie4 • Matlab-Aufgabe • Forward- und Backwardsubstitution • Matrixprodukte anstatt Schleifen • Gesunder Menschenverstand welche eingebauten Matlabfunktionen verwendet werden können!

29. NachbesprechungSerie4 • Individuelle Fehler • Bei Unklarheiten zur LR-Zerlegung • Skript • Mich fragen • Genereller Tipp • Den Zug nicht abfahren lassen • Lücken aufarbeiten um der Vorlesung folgen zu können