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DÍA 18 * 1º BAD CT

DÍA 18 * 1º BAD CT. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. Razones de la suma de ángulos. SENO DE LA SUMA Sea: AB= sen α OB= cos α OC= cos β EC= sen β ED=sen ( α + β ) ED=EF+FD EF=EC.cos α = sen β .cos α FD=OC.sen α = cos β .sen α Luego: sen ( α + β ) =

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  1. DÍA 18 * 1º BAD CT ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Matemáticas 1º Bachillerato CT

  2. Razones de la suma de ángulos • SENO DE LA SUMA • Sea: • AB= senα • OB= cos α • OC= cos β • EC= senβ • ED=sen (α+β) • ED=EF+FD • EF=EC.cosα = senβ.cosα • FD=OC.sen α = cos β.senα • Luego: • sen (α+β) = • = senβ.cosα + cos β.senα E α A F r=1 C β α O D B Matemáticas 1º Bachillerato CT

  3. Razones de la suma de ángulos • COSENO DE LA SUMA • Sea: • AB= senα • OB= cos α • OC= cos β • EC= senβ • OD= cos (α+β) • OD=OG – GD= OG – FC • OG=OC.cosα = cos β.cosα • FC=EC.sen α = sen β.senα • Luego: • cos (α+β) = • = cosβ.cosα – sen β.senα E α A F r=1 C β α O D G B Matemáticas 1º Bachillerato CT

  4. Razones de la suma de ángulos • TANGENTE DE LA SUMA • Tenemos por un lado: • sen (α+β) = senβ.cosα + cos β.senα • Y también: • cos (α+β) = cosβ.cosα – sen β.senα • Calculamos la tangente de la suma: • senβ.cosα + cos β.senα • tg (α+β) = --------------------------------------- • cosβ.cosα – sen β.senα • Dividiendo todo entre cosβ.cosα: • tg α + tg β • tg (α+β) = ----------------------- • 1 – tgα. tg β Matemáticas 1º Bachillerato CT

  5. Razones de la diferencia • SENO, COSENO Y TANGENTE DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS • Teníamos: • sen (α+β) = senβ.cosα + cos β.senα • cos (α+β) = cosβ.cosα – sen β.senα • tg α + tg β • tg (α+β) = ----------------------- • 1 – tgα. tg β • Si se sustituye βpor (– β), queda: • sen (α – β) = senα . cos β – cosα . senβ • cos (α – β) = cosα.cosβ + sen α. senβ • tg α – tg β • tg (α – β) = ----------------------- • 1 + tgα. tg β Matemáticas 1º Bachillerato CT

  6. Ejercicios • Ejemplo 1 • Hallar las razones trigonométricas de 75º en función de 30º y 45º. • Tenemos: • sen (α+β) = senβ.cosα + cos β.senα • cos (α+β) = cosβ.cosα – sen β.senα • tg α + tg β • tg (α+β) = ----------------------- • 1 – tgα. tg β • Luego: • sen 75º = sen (30º+45º) = sen 30º.cos 45º + cos 30º.sen 45º = 0,9659 • cos 75º = cos (30º+45º) = cos 30º.cos 45º – sen 30º.sen 45º = 0,2588 • tg 30º + tg 45º • tg (30º+45º) = -------------------------- = 3,7321 • 1 – tg 30º. tg 45º Matemáticas 1º Bachillerato CT

  7. Ejercicios • Ejemplo 2 • Hallar las razones trigonométricas de 15º en función de 30º y 45º. • Tenemos: • sen (α – β) = senα . cos β – cosα . sen β • cos (α – β) = cosβ.cosα + sen β.senα • tg α – tg β • tg (α – β) = ----------------------- • 1 + tgα. tg β • Luego: • sen 15º = sen (45º – 30º) = sen 45º . cos 30º – cos 45º . sen 30º = 0,2588 • cos 15º = cos (45º – 30º) = cos 45º.cos 30º + sen 45º.sen 30º = 0,9659 • tg 45º – tg 30º • tg 15º = tg (45º – 30º) = ------------------------- = 0,2679 • 1 + tg 45º. tg 30º Matemáticas 1º Bachillerato CT

  8. Razones del ángulo doble • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE DE OTRO • Tenemos por un lado: • sen (α+β) = senβ.cosα + cos β.senα • Y también: • cos (α+β) = cosβ.cosα – sen β.senα • Si β =α • sen 2α = senα.cosα + cos α.senα = 2. senα.cosα • cos 2α = cosα.cosα – sen α.senα = cos2α – sen2α • tg α + tg α2.tg α • tg 2α = ------------------ = -------------- • 1 – tgα. tg α1 – tg2α Matemáticas 1º Bachillerato CT

  9. Razones del ángulo mitad • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD DE OTRO • Tenemos: • cos 2α = cos2α – sen2α • Podemos poner: • cos α = cos2(α /2) – sen2 (α /2) • Puesto que α es el doble de (α/2) • Como además sabemos que 1 = cos2(α /2) + sen2 (α /2) • cos α = (1 – sen2(α /2)) – sen2 (α /2) • cos α = 1 – 2.sen2(α /2)  sen2 (α /2) = (1 – cos α)/2 • De manera semejante: • cos α = cos2(α /2) – (1 – cos2(α /2)) • cos α = 2.cos2(α /2) – 1  cos2 (α /2) = (1 + cos α)/2 • Quedando: • sen (α /2) = ± √ [ (1 – cos α) / 2] ,, cos (α /2) = ± √ [ (1 + cos α) / 2] Matemáticas 1º Bachillerato CT

  10. Ejercicios • Ejemplo 1 • Hallar las razones trigonométricas de 60º en función de las de 30º • Tenemos: • sen 2α = 2. senα.cosα • cos 2α = cos2α – sen2α • 2.tg α • tg 2α = -------------- • 1 – tg2α • Luego: • sen 60º = 2. sen 30º .cos 30º = 2.0,5.0,866 = 0,866 • cos 60º = cos230º – sen2 30º = 0,8662– 0,52 = 0,75 – 0,25 = 0,5 • 2.tg 30º 2.0,5773 1,1546 • tg 60º = ---------------- = ---------------- = ----------- = 1,7321 • 1 – tg2 30º 1 – 0,3333 0,6667 Matemáticas 1º Bachillerato CT

  11. Ejercicios • Ejemplo 2 • Hallar las razones trigonométricas de 22,5º , sabiendo que: • sen 45º = cos 45º = √2 / 2 = 0,7071 • Tenemos: • sen (α /2) = ± √ [ (1 – cos α) / 2] • cos (α /2) = ± √ [ (1 + cos α) / 2] • Al estar en el 1º Cuadrante, el seno y coseno de 22,5º serán positivos. • Luego: • sen 22,5º = √ [ (1 – cos 45º) / 2] = √ [ (1 – 0,7071) / 2] = • = √ [ 0,2929 / 2] = √ [ 0,14645] = 0,3827 • cos 22,5º = √ [ (1 + cos 45º) / 2] = √ [ (1 + 0,7071) / 2] = • = √ [ 1,7071 / 2] = √ [ 0,85355] = 0,9239 • tg 22,5º = sen 22,5º / cos 22,5º = 0,3827 / 0,9239 = 0,4142 Matemáticas 1º Bachillerato CT

  12. ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA • ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA • En una ecuación trigonométrica la incógnita aparece como argumento en una o varias razones trigonométricas. • Resolver la ecuación será hallar el argumento. • Existen tres tipos de ecuaciones, según su dificultad: • Tipo 1: Nos dan una razón trigonométrica y hallamos el argumento. • Tipo 2: Nos dan una misma razón trigonométrica con distintos argumentos, las cuales hay que relacionar. • Tipo 3: Nos dan dos o más razones trigonométrica con distintos argumentos, en cuyo caso hay que expresar todas en función de una de ellas para resolver la ecuación. • SISTEMAS DE ECUACIONES • En ellos aparecen dos o más ecuaciones con varios argumentos distintos. • Su resolución no difiere en nada a los sistemas algebraicos. Matemáticas 1º Bachillerato CT

  13. EJEMPLOS TIPO 1 • sen α = 1  α = arcsen 1 = π/2 + 2kπ • cos α = - 1  α = arcos (-1) = π + 2kπ • tg α= 1  α = arctg 1 = π/4 + kπ • EJEMPLOS TIPO 2 • 3 cos α= sec α 3 cos α = 1 / cos α cos2α = 1/3  •  cos α = ±√3 / 3  α = arcos √3 / 3 = 54’73º y - 54’73º •  α = arcos (-√3 / 3) = 125’26º y 234’73º • tg α = tg 2.α tg α = 2.tg α / (1 – tg2α)  tg α– tg3 α = 2.tgα • 0 = tg3 α – tgα 0 = tg α.(tg2 α – 1) = tgα. (tgα + 1) (tgα – 1)  • tg α = 0  α = arctg 0 = 0 + k.π rad • tg α = 1  α = arctg 1 = π/4 + k.π rad • tg α = -1  α = arctg (-1) = 3π/4 + k.π rad • 4 sen α= cosec α 4 sen α = 1 / sen α sen2α = 1/4  •  sen α = ± ½  α = arcsen ½ = π/6 + 2kπ rad y 7π/6 + 2kπ rad •  α = arcsen (- ½) = - π/6 +2kπ rad y 3π/2 + 2kπ rad Matemáticas 1º Bachillerato CT

  14. EJEMPLOS TIPO 3 • cos α= 2.sen α ½ = sen α / cos α ½ = tg α •  α = arctg ½ = 26’56º + 180º.k • sen2α = cos α + 0,25  ±√(1 - cos2α) = cos α + 0,25  • (1 - cos2α) = cos2α + 0,5.cos α + 0,0625  • 0 = 2.cos2α + 0,5.cos α – 0’9375  Ecuación 2º grado x=cos α • cos α = (- 0’5 ± √ [ 0,25 – 4.2.(– 0’9375) ] ) / 4  • cos α = (- 0’5 ± √ 7’75) / 4  cos α = (- 0’5 ± 2,7838) / 4  •  cos α = 0,4460  α = arcos 0’4460 = ± 63’51º + 360º.k •  cos α = - 0,8210  α = arcos -0’8210 = 145’18º y 214’82º + 360º.k • sen α – 2.cos α = 0  sen α – 2.(±√(1 - sen2α)) = 0  • sen α = ± 2.√(1 - sen2α)  Elevando todo al cuadrado • sen2α = 4.(1 - sen2α)  sen2α = 4 – 4.sen2α • 5.sen2α = 4  sen2α = 4/5  sen α = ± 2/√5 = ± 2.√5 / 5 = ± 0’4.√5 •  α = arcsen 0’4.√5= ± 63’43º + 180º.k Matemáticas 1º Bachillerato CT

  15. EJEMPLO 1: SISTEMA • Resolver el sistema: • sen x + sen y = 0 • cos x – 2.sen y = – √2 / 2 • Por Reducción, sumando la segunda al doble de la primera: • 2.sen x + cos x = √2 / 2 • cos x = (√2 / 2) – 2.sen x • ±√(1 - sen2 x) = (√2 / 2) – 2.sen x Elevando al cuadrado  • 1 - sen2 x = 0,5 – 2√2.sen x + 4.sen2 x  • 0 = 5.sen2 x – 2√2.sen x – 0’5  Ecuación 2º grado • sen x = (2√2± √ [ 8 – 4.5.(– 0’5) ] ) / 10  sen x = 0,2.√2± 0’3.√2 • sen x = 0,2.√2 + 0’3.√2 = 0’5.√2 x = arcsen 0’5.√2 = 45º y 135º • sen x = 0,2.√2 – 0’3.√2 = – 0’1.√2 x = arcsen (– 0’1.√2 ) = - 8,13º y 188’13º • Para x=45º, en la primera ecuación: • sen 45º + sen y = 0  sen y = - sen 45º  sen y = - 0’7971  •  y = arcsen (-0’7071) = - 45º y 225º • Para x=135º, en la primera ecuación: • sen 135º + sen y = 0  sen y = - sen 135º  sen y = - 0’7971  •  y = arcsen (-0’7071) = - 45º y 225º • Igual haríamos para x = - 8,13º y x = 188’13º • Y comprobamos las 8 posibles soluciones en la 2º ecuación. Matemáticas 1º Bachillerato CT

  16. EJEMPLO 2: SISTEMA • Resolver el sistema: • cos x + cos y = – 1 • cos x – 2.sen y = – 3 • Por Reducción, restando: • cos y + 2.sen y = 2 • ±√(1 - sen2 y) + 2 sen y = 2 ±√(1 - sen2 y) = 2 – 2.sen y  • 1 - sen2 y = 4 – 8.sen y + sen2 y  • 0 = 2.sen2 y – 8.sen y + 3  Ecuación 2º grado • sen y = (8 ± √ [ 64 – 4.2.3] ) / 4  sen y = (8 ± 2√10) / 4  • sen y = 2 ± 0’5.√10 sen y = 2 ± 1’58 • sen y = 3,58  No hay solución • sen y = 0,42  y = arc sen 0,42 = 24’83º y 155’17º + 360.k • En la primera ecuación: • cos x + cos 24’83º = – 1  cos x = – 1 – 0,9075 = – 1,9075  No hay. • cos x + cos 155’17º = – 1  cos x = – 1 + 0,9075 = – 0,0925  • x = arcos (– 0,0925) = 95’30º y 264’70º • Comprobamos en la 2º ecuación: • cos 95’30º - 2.sen 155’17º = - 3  - 0,0925 – 2.0,42 = - 3  No se cumple • El sistema no tiene solución. Matemáticas 1º Bachillerato CT

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