第一章 流体流动

1. 第一章 流体流动

2. 第一章 流体流动 1.0 概述 1.1 流体的物理性质 1.2 流体静止的基本方程 1.3 流体流动的基本方程 1.4 流体流动现象 1.5 流动阻力的计算 1.6 管路计算 1.7 流量测量

3. 1.0 概述 • 流体：具有流动性质的物体称为流体。包括气体和液体。 • 流体的特性：流动性；无固定形状，随容器的形状而变化；在外力作用下其内部发生相对运动。 • 流体流动规律在化工生产中的应用： • 解决流体的输送问题； • 压力、流速、流量的测量； • 为强化设备能力提供适宜的条件。

4. Δm/ΔV x P(x,y,z) 质量Δm 体积ΔV ρ y 0 z ΔV’ ΔV 1.1 流体的物理性质 • 1.1.1 连续介质的假定 • 1.1.1.1 连续介质 将大量分子构成的集团称为质点，其大小与容器或管路的尺寸相比微不足道。流体就是由无数个质点所构成的，质点在流体内部一个紧挨一个，之间无间隙，所以流体是连续的，叫连续介质。 当包含点P(x,y,z)的微元体积ΔV< ΔV’时，随机进入和跃出此体积的分子数不能时时平衡，即产生分子数的随机波动，从而导致了ΔV内的流体的平均密度也随机波动，此时流动表现出分子的个性。 ΔV≥ ΔV’时，平均密度逐渐趋于一个确定的极限值，且不随微元体积的增大而改变。 可见， ΔV’是一特征体积，它表示当几何尺寸很小但包含足够多分子时的体积。其流体的宏观特性即为其中的分子统计平均特性，此微元体积中的所有流体分子的集合称为流体质点。 而流体就是由连续分布的流体质点所组成。

5. 1.1.1.2.流体的物理量 描述流体性质及其运动规律的物理量很多，如密度、压力、组成、速度、温度等。据连续介质假定，任何空间点上流体的物理量都是指位于该点上的流体质点的物理量。如密度： • 任意空间点上流体质点的物理量在任意时刻都有确定的数值，即流体的物理量是空间位置和时间的函数，如： • ρ=ρ(x,y,z,θ)； u=u(x,y,z,θ)；t=t(x,y,z, θ) • 密度场 速度场 温度场

6. 1.1.2 流体的密度 • 定义：单位体积流体所具有的质量称为密度，用ρ表示，单位kg/m３。其表达式： 密度为流体的物性参数，随温度、压力而变化。 1.1.2.1.纯液体的密度 液体的密度一般只随温度而变化，压力的影响可忽略不计。纯液体的密度可从有关手册中查取。

7. 1.1.2.2.纯气体的密度 • 气体的密度与温度和压力有关。一般当压力不太高、温度不太低的情况下，可按理想气体处理。这样，纯气体的密度计算公式为： • 1.根据查得状态计算 上标“′”表查的状态 无上标表操作状态 2.根据标准状态计算 下标“0”表标准状态 无下标表操作状态

8. 3.根据操作状态计算 1.1.2.3 液体混合物的平均密度 对理想溶液，各组分混合前后体积不变，则1kg混合液体的体积等于各组分单独存在时的体积之和。即混合液体的密度ρm可按下式计算： 1/ρm=Σai/ρi 式中：ai－组分i在混合物中的质量分率； ρi－组分i单独存在时密度，kg/m3。

9. 1.1.2.4 气体混合物的平均密度 • 1.对理想气体，各组分混合前后质量不变，则1m3混合液体的质量等于各组分单独存在时的质量之和。即混合气体的密度ρm可按下式计算： • ρm=Σyiρi • 式中：yi－组分i在混合物中的体积分率(摩尔分率)； • ρi－组分i单独存在时密度，kg/m3。

10. 3.仿照纯气体密度的计算： 2.仿照纯气体密度的计算： 式中：Mm－混合物平均分子量，kg/kmol。 Mm=∑Miyi Mi－组分i的分子量，kg/kmol； yi－组分i的摩尔分率。

11. 1.1.3 流体的可压缩性、可压缩流体、不可压缩流体 • 1.1.3.1 流体的可压缩性 • 定义：当作用于流体上的外力发生变化时，流体的体积随之变化的特性。用压缩系数β表示： • 式中：υ－流体的比容，m3/kg • β↑→流体愈容易被压缩

12. 1.1.3.2 不可压缩流体 • 定义：流体的压缩性可以忽略(β≈0)的流体。 • 对于不可压缩流体，β≈0→dρ/dp=0→密度不随压力改变，换言之，密度为常数的流体为不可压缩流体。 • 1.1.4.3 可压缩流体 • 定义：流体的压缩性不可以忽略(β≠0)的流体。 • 对于可压缩流体，β≠ 0→dρ/dp≠0→密度随压力改变，换言之，密度不为常数的流体为可压缩流体。 • 可见：液体属不可压缩流体，气体属可压缩流体。若气体在输送过程中压力变化不大，因而密度改变亦不大时，可按不可压缩流体处理。

13. 1.2 流体静止的基本方程 • 流体静力学是研究流体在外力作用下处于相对静止状态下的平衡规律。在重力场中，由于重力是不变的，静止时变化的仅仅是压力，因此其实质是讨论静止流体内部压力(压力)分布的规律。 • 1.2.1 作用在流体上的力 • 流体在流动时所受的作用力分为两种 • 1.2.1.1 体积力 • 定义：作用于流体质点上的非接触力，与流体质量成正比，称为质量力。因流体质量与体积成正比，又称体积力，如重力、离心力、静电力、电磁力等； • 1.2.1.2 表面力 • 定义：作用于流体表面上的接触力，与其表面积成正比，称表面力。如压力、剪力等。垂直作用于表面的力称为压力，而平行作用于表面的力称为剪力。

14. 1.2.2 静止流体的压力特性 • 静止流体中只有压力，而无剪力。 • 压力的定义：在静止流体中，流体单位表面积上所受的法向力，用p表示，即： • 1.流体压力的特性 • ①流体压力的方向和作用面垂直，并指向作用面； • ②在静止流体内部，任一点处流体压力在各个方向上都是相等的。 

15. 2. 压力的单位及其换算 • 压力的单位是N/m2，称为帕斯卡，符号为Pa但过去用的压力单位很多，如标准大气压(atm)，工程大气压(kgf/cm2，符号at)，毫米汞柱(mmHg)，米水柱(mH2O)，巴(bar)等，其换算关系为： • 1atm＝1.033kgf/cm2＝1.0133×105Pa＝760mmHg • ＝10.33mH2O＝1.013bar (P18) • 1at＝1kgf/cm2＝0.9807×105Pa=10mH2O=0.9807bar • 3.压力的表示方法 • ①绝对压力(绝压)：以绝对真空为起点计算的压力，是流体的实际、真实压力，不随大气压力的变化而变化。 • ②表压力(表压)：当被测流体的绝压大于外界大气压力时，用压力表进行测量。压力表上的读数(指示值)反映被测流体的绝压比大气压力高出的数值，称为表压力，即： • 表压力＝绝对压力-大气压力

16. 表压A 大气压力Pa 真空度B 绝压A 绝压B 绝对真空 • 3.真空度(负压)：当被测流体的绝压小于外界大气压力时，采用真空表测量。真空表上的读数反映被测流体的绝压低于大气压力的差值，称为真空度，即： • 真空度＝大气压力-绝对压力 • 很显然：真空度＝－表压力 • 绝压，表压，真空度和大气压力之间的关系见图 ： 〖说明〗由于外界大气压力随大气温度、湿度和当地海拔高度而变，故在计算中除对表压和真空度进行标注外，还应指明当地大气压力数值。

17. 1.2.3 流体静力学方程式 • 描述静止流体内部压力变化规律的数学表达式 。 • 1.2.3.1 方程式的推导 • 在密度为ρ的静止液体中取底面积为A的液柱。受力分析： • P1－作用于上底面的法向力，方向向下 • P2－作用于下底面的法向力，方向向上 • W－作用于整个液柱的重力，方向向下 P1 Z1 Z2 P2 W

18. 上式可改写为：p2 +ρg z2 = p1 +ρg z1p2 /ρ+g z2 = p1 /ρ+g z1p2 /ρg+ z2 = p1 /ρg+ z1当取液柱上表面为液面，表面上方压力为p0，则液柱高度为h处压力为： p=p0+ρgh以上几个式子均称为流体静力学基本方程。流体静力学方程的物理意义：静止流体内部任一点其总能量是一个常数（p的单位是J/ m3，p/ρ的单位是J/kg，p/ρg的单位是J/N） 上式也可改写为： h= (p2 - p1)/ ρg

19. 反映静止流体内部压力变化规律。 敞口时，p0为大气压；密闭时，p0为液体蒸汽压。1.2.3.2 方程式的讨论 • 1.静止流体内部两点间压力差的大小，只与其垂直距离和流体的密度有关，而与其水平位置和容器的形状无关。 • 2.在静止液体中，当位置1处压力p1发生变化时，位置2处压力p2亦发生同样大小的变化，即压力具有传递性(在液体中) 。 • 3.当p0=const时， ρ↑，p↑；h↑，p↑

20. 4.将方程式写成h=(p-p0)/ρg，知压力差的大小可用液体柱高度表示，但需注明液体种类。4.将方程式写成h=(p-p0)/ρg，知压力差的大小可用液体柱高度表示，但需注明液体种类。 • 5.静止、连续的同一流体中，处于同一水平面上各点的压力相等，称为等压面。 • 6.对于气体，因密度随所处位置高度而变化 • ，该方程式不适用。但在化工容器中这种变化甚小，故可认为仍然适用，而且近似认为p2=p1。 • 7.前述方程式适用场合： • 静止、连续、同种流体 • 相对静止、连续、同种流体

21. 1.2.4 静力学方程式的应用 • 1.2.4.1 压力及压力差的测量 • 以流体静力学方程式为依据，用于 • 测量流体的压力和压力差的测压仪 • 器称为液柱压差计，典型的有两种： • 1.U型管压差计 如图示，在U型玻璃管内装入密度为ρA的指示液A(要求A与被测流体不互溶，无化学反应，且ρA＞ρ，常用Hg、CCl4、水等)。测量时分别将U管两端与被测口相连，若p1＞p2，则U管两侧便出现指示液面高度差R，称为压差计读数，其值大小反映了两测压口间压力差的大小。 选a-a′所在平面为等压面，并且分别在等压面上列静力学方程式： pa=p1+ρg(m+R)， pa′=p2+ρgm+ρAgR 由于pa=pa′ ∴ p1-p2=(ρA-ρ)gR

22. p1-p2=(ρA-ρ)gR 〖说明〗 • ①若管道中的流体为气体时：ρA>>ρ， • p1-p2≈ρAgR • ②测管道中表压力时，只将U管右端与大气相通即可，此时p1-pa=ρgx+ρAgR • ③测管道中真空度时，只将U管左端与大气相通即可，此时pa-p2=ρgx+ρAgR

23. 根据流体静力学基本方程式可得 pa=p1+ρgz1， pa′=p2+ρg(z2-R)+Rgρi 由于pa=pa′ ∴(p1+ρgz1)-(p2+ρgz2)=Rg(ρi-ρ) 可见，U形管压差计所显示的是被测两点间的静压能与位能之和的差值。 图1-6所示的倾斜液柱压差计也可使U形管压差计的读数R放大一定程度，即 式中α为倾斜角，其值越小，R1值越大。

24. 2.微差压差计 • 为提高读数精度，除选用密度小的指示液外，亦可采用微差压差计。 • 其结构为在U型管的两端部增设两扩大室，扩大室内径应大于U型管内径的10倍以上，压差计内装有密度相近，不互溶、无化学反应的两指示液A、C，且ρA>ρC。 • 测量时将两端分别与被测点相连，由于扩大室截面积远远大于U管截面，即使U型管内指示液A的液面差很大时，两扩大室内指示液C的液面变化也甚微，计算时基本上可认为两室液面在同一高度。 • 选等压面，列静力学方程式得： • p1-p2=(ρA-ρC)gR • 只要所选的指示液A、C密度较为接近， • 便可将R放大到普通U型管的几倍以上

25. 2 6 4 2′ 6′ 4′ • 例1-1在某设备上装置一复式U型水银压差计，截面间充满水，已知对某基准面而言，各点的标高分别为：h0=2.1m，h2=0.9m，h4=2.0m，h6=0.7m,h7=2.5m，求设备内水面上方的表压力p。 • 解：从右自左，选等压面2-2′，4-4′和6-6′，并在其上列静力学基本方程式：

26. a a′ Δh x 1.2.4.2 液位的测量 • 最原始的液位计是根据连通器原理，在容器底壁和液面上方器壁处开孔，用玻璃管相连，玻璃管中液面即为容器中液位高度。 • 1.近距离液位测量装置 • 在设备外安装一带有平衡室的U型管压差计，下部装指示液并与设备底部连通，平衡室与设备上方相接并装有与设备内相同的液体，其液面高度维持在设备内液面允许达到的最大高度，由压差计中指示液读数R即可知道设备中液位的高度。 • 当设备内压力为p时，在a-a′等压面上列静力学方程： • p+ρgx+ρAgR=p+ρg(△h+x+R) p • 当R=0时，△h=0，液位达到要求； • 当R≠0时，△h≠0，可据R大小判断 • △h值。

27. B A 2.远距离液位测量装置 • 管道中充满氮气，其密度较小，近似认为 而 所以

28. p h1 h h2 • 例1-2密闭容器内盛有油(ρ1=800kg/m3)和水(ρ2=1000kg/m3)，在其底部和顶部用一玻璃管连通，已知油和水总高度(h1+h2)=1.4m，玻璃管中液面h=1.2m，求容器内油层高度h1。 解：选a-a′为等压面，在等压面上列静力学方程式： pa=p+ρ1gh1+ρ2gh2=p+ρ1gh1+ρ2g(1.4-h1) pa′=p+ρ2gh pa=pa′ ρ1h1+1.4ρ2-ρ2h1=ρ2h 故：h1=(h-1.4)ρ2/(ρ1-ρ2)=(1.2-1.4)×1000/(800-1000)=1.0m

29. 1.2.4.3 液封高度的计算 • 生产中为了安全生产等问题常设置一段液体柱高度封闭气体，称为液封。 • 作用： • ①保持设备内压力不超过某一值； • ②防止容器内气体逸出； • ③真空操作时不使外界空气漏入。 • 该液体柱高度主要根据流体静力学方程式确定。

30. pa p • 例1-3为保证设备内某气体压力不超过119.6kPa，在其外部装设安全水封(如图)，计算水封管应插入水面以下高度h0，当地大气压为100kPa。 解：按要求当设备内气体压力达到119.6kPa时，使气体由出口管逸出，以此作为计算依据。选等压面0-0′，在其上列静力学方程式： p0=p=pa+ρgh0 h0=(p-pa)/ρg=(119.6-100)×103/(1000×9.81)=2.0m

31. 例：真空蒸发操作中产生的水蒸气，往往送入本题附图所示的混合冷凝器中与冷水直接接触而冷凝。为了维持操作的真空度，冷凝器上方与真空泵相通，随时将器内的不凝气体（空气）抽走。同时为了防止外界空气由气压管4漏入，致使设备内真空度降低，因此，气压管必须插入液封槽5中，水即在管内上升一定的高度h，这种措施称为液封。若真空表的读数为86×103Pa，试求气压管中水上升的高度h。例：真空蒸发操作中产生的水蒸气，往往送入本题附图所示的混合冷凝器中与冷水直接接触而冷凝。为了维持操作的真空度，冷凝器上方与真空泵相通，随时将器内的不凝气体（空气）抽走。同时为了防止外界空气由气压管4漏入，致使设备内真空度降低，因此，气压管必须插入液封槽5中，水即在管内上升一定的高度h，这种措施称为液封。若真空表的读数为86×103Pa，试求气压管中水上升的高度h。 解：选取液面为等压面，则有 Pa=-86×103+ρgh H=86 ×103/1000 ×9.81 =8.77m

32. 例:如本例附图，将油水混合物连续送入倾析器中。油（密度ρ1＝780kg/m3）由A口流出，水（重液，密度ρ＝1000kg/m3）由B口经 形管流出，EO管为平衡管。已知：倾析器中液体总深度H=4.5m， 形管的高度h=4.0m。忽略 形管中水的流动阻力和动能，试求油水界面的高度h1。 解：在忽略 形管内流动阻力和动能的前提下，可当作静力学问题处理。对点C和点D列静力学方程可得

33. 流体静力学总结： • 流体静力学的实质是：静止流体的能量守衡。即静止流体的能量处处相等。 • 静止流体的能量包括位能和静压能，其衡算式可对单位体积、单位质量、单位重力（N)进行。 • 流体静力学的重要推论就是在静止、连续的同一流体中，处于同一水平面上各点的压力相等。 • 应用流体静力学的关键就是等压面的选取。 作业：P76习题1－6

34. 1.3 流体流动的基本概念1.3.1 稳态流动与非稳态流动 • 按照流体的流速、压力、密度等有关物料是否随时间而变化，可以将流体的流体分为稳态流动和非稳态流动。 1. 稳态流动 如图示流动系统(a)，选两截面。经测定，两截面的流速和压力虽不相等，但在同一截面处，各自流速、压力并不随时间变化，此种流动为定态流动。

35. 2.非稳态流动 稳态流动：在流动系统中任一截面上，流体的性质及流动参数不随时间变化的流动。 如 u=f(x,y,z) 当不再向水箱内注水时，水箱内的水位不断降低。此时，经测定，两截面的流速和压力各不相等，在同一截面处，各自流速、压力在不同时间下也不同，此种流动为非定态流动。 非稳态流动：在流动系统中，流体在各截面上的流速、压力、密度等有关物理量既随位置变化，又随时间变化的流动。 如 u=f(x,y,z,θ)

36. 1.3.2 理想流体与粘性流体 • 理想流体：完全没有粘性的流体，即μ=0的流体。 • 粘性流体(实际流体)：具有粘性的流体，即μ≠0的流体。 • 自然界中存在的所有流体均具有粘性，故并不存在真正的理想流体，其概念的引入是为简化计算。 • 粘度很小的流体：可视为理想流体； • 粘度较小的流体：通常首先将其视为理想流体，待找出规律后，再考虑粘度的影响，对理想流体的分析结果加以修正； • 粘度较大的流体：不能按以上两种方法处理。

37. 1.3.3 流率与平均流速 • 前面讨论了静止流体内部压力的变化规律，本节讨论流体在流动过程中各种参数的变化规律，推导出流体在管内流动时的基本方程式。 • 1.3.3.1 流率(流量) • 流率：单位时间内流过管道任一截面的流体量，有两种： • 1.体积流率(体积流量)Vs：单位时间内流体流过管道任一截面的体积数，单位m3/s。 • 2.质量流率(质量流量)W：单位时间内流体流过管道任一截面的质量数，单位kg/s。 • 两者之间关系： W =Vsρ

38. 1.3.3.2 平均流速ub • 单位时间内流体在流动方向上流过的距离，单位m/s，反映其快慢程度。 • 严格地讲，管道任一截面上各点的流速各不相等，但工程上为计算方便，通常是指在整个管截面上流速的平均值，即ub=Vs/A。 点流速概念 • ∴ W =Vsρ＝ubA ρ • 对于气体由于其体积流量随温度、压力而变化，从而导致流速发生变化，故引入另一概念： • 1.3.3.3 质量流速G：单位时间内流体流过单位管道截面积的质量，kg/m2·s，又称质量通量。 • G= W/A= ubA ρ/A=ubρ • 〖说明〗流量和流速的大小反映管道内流体流动的数量和快慢程度，为操作参数。

39. 1.3.3.4 管径的计算 • 利用圆形管路流量计量公式得到，即： • Vs由生产任务指定，关键在于流速的选择： • ub↓，d↑，操作费↓，设备费↑ • ub↑，d↓，操作费↑，设备费↓ • ∴适宜的流速按总费用最低的原则选取，但经济衡算非常复杂，故常通过经验值选择。见表1-1(P26) 管径计算步骤： 1.据经验值选择一适宜的流速ub； 2.计算管内径d； 3.按照管子规格选用具体的管路。管子规格表示方法为φ圆管外径×壁厚。如φ76× 3.75，其管内径为d=76－2×3.75＝68.5mm 4.核算流速

40. 管径计算示例 • 例1-4:以7m3/h的流量输送自来水，试选择合适的管路。 解：1.据P29表1-1，选择流速u=1.2m/s 2.计算管内径d 3.查附录二十四(热轧无缝钢管)，选择管子规格为φ57×5mm的管路。 4.核算流速： ub=Vs/A=4Vs/(πd2)=4×7/(3600×π×0.0472)=1.12 m/s 流速在1～1.5m/s范围内，故管路选择合适。

41. 1.4 流体流动的总衡算方程 • 1.4.1 概述 • 流体动力学：研究流体在运动过程中流速、压力等有关物理量的变化规律。 • 衡算方法：通过质量守恒、能量守恒及动量守恒原理对过程进行质量、能量及动量衡算，从而获得物理量之间的内在联系和变化规律。是流体动力学的研究方法。 • 控制体：衡算时，预先指定的衡算的空间范围。任意选择。 • 控制面：衡算时，包围控制体的封闭边界。 • 衡算分总衡算(宏观衡算)和微分衡算。 • 总衡算的特点是由宏观尺度的控制体的外部(进、出口及环境)各有关物理量的变化来考察控制体内部物理量的平均变化。解决化工过程中的物料衡算、能量的转换与消耗以及设备受力情况等许多有实际意义的问题。

42. 1.4.2.2 连续性方程 • 连续性方程式连续性方程式是质量守恒定律的一种表现形式，本节通过物料衡算进行推导。 • 质量守恒的一般表达式为∑wi= ∑w0 +∑wA • 对于稳定流动，∑wA＝0 对于图1-18所示的定态流动系统，衡算范围为管道、输送机械、热交换器的壁面及截面1-1及2-2所包围的控制体，基准为1s，则有: 因为 则上式可写为：

43. 推广到任意截面，则有： • ω=ub1A1ρ1=ub2A2ρ2=…=ubAρ=常数 • 〖结论〗流体流经各截面的质量流量不变。 • 若流体不可压缩，ρ为常数，上式化为： • Vs=ub1A1=ub2A2=…=ubA=常数 • 对圆形管道，A=πd2/4，连续性方程可写为： • ub2/ub1=(d1/d2)2 • 〖结论〗不可压缩流体流经各截面的体积流量也不变；流量一定时，不可压缩流体的流速与管内径平方成反比。 • 〖说明〗1. 上述管路各截面上流速的变化规律与管路的安排及管路上是否装有管件、阀门或输送设备等无关； • 2.上述公式适用于连续介质。

44. 1.4.3 总能量衡算 • 1.4.3.1 进出系统的能量 • 如图示系统。1kg流体进、出系统时输入和输出的能量有下面各项： • 1.内能：物质内部能量的总和。1kg流体具有的内能用U表示，单位J/kg。 • 2.热：系统从环境中获得的热量。1kg流体从环境中获得的热量用Q表示，单位J/kg • 3.外功(净功)：1kg流体通过输送设备获得的能量，用We表示，单位J/kg。

45. 4.位能：流体因处于地球重力场而具有的能量，为质量为m的流体自基准水平面升举到某高度Z所做的功，即： 4.位能：流体因处于地球重力场而具有的能量，为质量为m的流体自基准水平面升举到某高度Z所做的功，即： • 位能=mgZ • 位能单位=kg·m/s2·m=N·m=J • 1kg流体的位能为gZ，单位为J/kg • 流体受重力作用，在不同高度具有不同的位能，且位能是一个相对值，随所选的基准水平面位置而定，在基准面以上为正值，以下为负值。 • 5.动能：流体因流动而具有的能量，为将流体从静止加速到流速ub所做的功，即： • 动能=mub2/2 • 动能单位= kg·(m/s)2=N·m=J • 1kg流体的动能为ub2/2 ，单位为J/kg

46. 6.静压能(压力能)：流体因静压力而具有的能量，为将流体压进划定体积时对抗压力所做的功。 如图，将质量为m kg，体积为V m3，截面积为A m2的流体压入划定体积所做的功为： PL=pA·V/A=pV 则1kg流体的静压能为： pV/m=p/ρ=pv 静压能单位=Pa·m3/kg=J/kg 流体通过入口截面后，这种功便成为流体的静压能而输入划定体积。通过出口截面，将流体压出去时所做的功也成为流体的静压能从划定体积输出。 上述三种能量：位能、动能、静压能合称为机械能，三者之和称为总机械能。 从理想流体出发推导柏努利方程

47. 1.4.3.2 流动系统的总能量衡算式 • 据能量守恒定律，假设系统保温良好。 稳态流动系统的总能量衡算式，也是流动系统中热力学第一定律的表达式。

48. 1.4.3.3 流动系统的机械能衡算式 • 据热力学第一定律： 实际上，Qe由两部分组成：一部分是流体与环境所交换的热Q；另一部分是由于液体在两截面间流动时，由于粘性引起的能量损失。设1kg流体在系统中流动时的能量损失为∑hf，单位J/kg，则： Qe=Q+ ∑hf代入上式，得：

49. 将 代入 稳态流动时的机械能衡算式。表示1kg流体流动时的机械能的变化关系。适用于可压缩流体和不可压缩流体。

50. 1.4.3.4 柏努利方程式 • 对不可压缩流体，比容υ或密度ρ为常数，则： 不可压缩流体的柏努利方程