TEORIA GRAFÓW

1. TEORIA GRAFÓW 2006 Andrzej Ruciński

2. WYKŁAD 1. Grafy są wokół nas. Pojęcia wstępne.

3. Przykład 1. ZOO • Budujemy domowe zoo mając do dyspozycji kozę, lwa, wilka, słonia, jastrzębia, zająca i mysz • Cel: jak najmniej klatek, zapewniając bezpieczeństwo wszystkich zwierząt

4. k l m w z s j

5. k l m w z s j

6. Przykład 2. Podział na pary • Dzielimy grupę 10 osób na pary • Każdy chce być w parze ze swoim znajomym

7. A F E J B G H I C D Graf Petersena

8. A F E J B G H I C D Graf Petersena

9. A B

10. A B

11. Przykład 3. Muzeum • Zwiedzamy muzeum będące labiryntem korytarzy, w którym obrazy wiszą po obu stronach • Cel: przejść każdy korytarz 2 razy i wrócić do wyjścia

12. a e c b d PLAN MUZEUM a b c e d

13. Przykład 4. Trzy domki i trzy studnie • Mieszkańcy trzech domków chcą korzystać z trzech studni, ale tak by nigdy nie musieli spotkać się w drodze do nich • Czy jest to możliwe?

14. D2 D1 D3 ? ? S2 S3 S1

15. Pojęcie grafu • Graf to para zbiorów G=(V,E), gdzie • V to skończony zbiór (wierzchołków) • Eto zbiór 2-elementowych podzbiorów zbioru V (krawędzi) • Inaczej, graf to relacja symetryczna i antyzwrotna • Jeszcze inaczej: symetryczna 0-1 macierz kwadratowa • z zerami na przekątnej

16. Grafy puste i pełne. Dopełnienia grafów. Graf pełny Dopełnienie grafu G: Graf pusty

17. d a b a b a G1 G2 G3 d c d c c b b a a b a b G4 G5 G6 c d e d c d Te same czy takie same?

18. Izomorfizm grafów • G1=G5, G2=G3, wszystkie grafy mają tę • samą strukturę – są izomorficzne • Na przykład G1 jest izomorficzny z G2, bo • f(a)=a, f(c)=c, f(b)=d, f(d)=b

19. a b G1 c d Automorfizmy • Automorfizm to izomorfizm grafu w siebie • Na przykład f(a)=a, f(d)=d, f(c)=b, f(b)=c to 1 z 8 automorfizmów grafu G1

20. Samodopełnianie • G nazywamy samodopełniającym, gdy jest izomorficzny ze swoim dopełnieniem Na przykład

21. Stopnie wierzchołków Stopniem wierzchołkav nazywamy liczbędG(v)=d(v) krawędzi grafu zawierających (incydentnych z) v Zachodzi wzór gdzie e(G)=|E|

22. Ciąg stopni grafu Ciąg stopni grafu Uwaga: Nie każdy ciąg liczb naturalnych jest ciągiem stopni grafu, np. 4,4,3,2,1 lub 3,3,3,2,2 • Δ(G)= Δ to największy stopień wierzchołka w grafie, • δ(G)=δ to najmniejszy stopień. • Graf jest k-regularny, gdy wszystkie wierzchołki mają stopień k

23. Podgrafy • Indukowane • Rozpięte • Ani takie, ani takie

24. Podgrafy indukowane • Podgrafgrafu G=(V,E)indukowany przez podzbiór wierzchołków W to graf G[W]=(W,E’), gdzie E’ składa się ze wszystkich krawędzi grafu G o obu końcach w W.

25. b a c Podgraf indukowany - ilustracja W={a,b,c}, G[W] – kolor czerwony

26. Podgrafy rozpięte • Rozpięty podgraf grafu G to graf G’=(V,E’), gdzie E’ jest podzbiorem E

27. Podgrafy • Podgrafem grafu G=(V,E) nazywamy graf G’=(V’,E’), gdzie V’ jest podzbiorem V, a E’ jest podzbiorem E.

28. Spójność • Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B (graf jest w 1 „kawałku”) Inaczej

29. Grafy niespójne A B B1 B2

30. Wierzchołek cięcia • G-v=G[V-v] • Wierzchołek v grafu spójnego G nazywamy wierzchołkiem cięcia, gdy G-v nie jest spójny • Inaczej, istnieje podział V na A i B :

31. Cykle • Cykl to 2-regularny graf spójny. • Inaczej: cykl to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, {v_n, v_1} są jego jedynymi krawędziami. • Notacja C_n, dla n=3,4,...

32. C_4 C_3=K_3 C_5 Cykle : ilustracja

33. Ścieżki • ścieżki (grafy spójne o 2 wierzchołkach stopnia 1, a pozostałych o stopniu 2) • Inaczej: ścieżka to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, są jego jedynymi krawędziami. • Notacja P_n, dla n=1,2,...