　　　　線　形　代　数 (linear algebra)

　　　　線　形　代　数 (linear algebra) linear ・・・　line(直線)の形容詞形　　　　　直線的な、線形の、一次の algebra・・・代数　　　　　数の代わりに記号を用い　　　　　　　　　　　　　　　　て演算を行うこと　　　ａ＋２ｂ＝ｃ　，　　ｙ＝ａｘ＋ｂ

数学　－－－＞　抽象化、一般化 より複雑な関係ー＞解析学一次関数ｙ＝ａｘ＋ｂより多くの要素ー＞線形代数要素　　　　　　　関係　　　　　　　要素ｙｘｆ（ｘ）ｙ1 ｘ1 ｙ2 ｘ2 線形・・・・ｙm ｘn

線形代数の重要性 • 理系、文系を問わず、幅広い分野の基礎　　　自然科学、工学、経済学、等 • 計算機の出現ー＞情報化　　　大量のデータの高速な計算 • 実社会での幅広い応用　　　情報技術の基礎

行　列 　　複数の要素を、縦と横に表の形に並べたもの。　　　　　行列の例：　　　買い物値段購入数

行列の例：　　物を作る 工場での生産原料の使用量製品の生産量

　行　列 ａ11　ａ12・・・・・　ａ1n ｍ行ｎ列の行列ａ21　ａ22・・・・・ａ2n Ａ＝ｍ×ｎ型の行列・・・・・・・・・・・・ｍ×ｎ行列ａm1ａm2　・・・・・ａmn ａij：行列Ａの (i , j) 成分ａ1j ａ2j [ ａi1　ａi2・・・・・　ａin] Ａの列・・Ａの行ａmj

Ａ＝[ ａij ]，Ａ＝[ ａij ]ｍ×ｎ，Ａ＝[ ａij ] ｍ×ｎ零行列：全ての成分が0であるような行列 0 0 0 O＝ 0 0 0 正方行列：行と列の数が等しい行列ｎ次正方行列：ｎ×ｎ行列

対角成分：正方行列の成分のうち、対角線上 に並ぶ成分ａ11ａ12・・・　ａ1n a21ａ22・・・ａ2n 対角行列Ａ＝・・・ａii 2 0 0 ・・・ 0 3 0 an1ａn2　・・・ａnn 0 0 4 対角行列：正方行列のうち、対角成分以外の成分は全て０である行列

単位行列：対角成分が全て１で、それ以外の 成分は全て０である行列 1 0 0 E＝ E3＝ 0 1 0 0 0 1 スカラー行列：対角成分が全て等しい対角行列 2 0 0 0 2 0 0 0 2

転置行列：行と列を入れ替えた行列 tＡ：行列Ａの転置行列ａ11　ａ12・・・・・　ａ1n ａ11　ａ21・・・・・　ａm1 ａ21　ａ22・・・・・ａ2n ａ12　ａ22・・・・・ａm2 Ａ＝ tＡ＝・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ａm1ａm2　・・・・・ａmn ａ1nａ2n　・・・・・ａmn 1 4 1 3 -2 tＡ＝Ａ＝ 3 5 4 5 2 -2 2

ｎ次の行ベクトル：１×ｎ行列 m次の列ベクトル：m×1行列 1 [ 0 2 0 1 ] 5 3 4次の行ベクトル 3次の列ベクトルクロネッカーのデルタ：δij 1 ( i=j ) δij ＝｛ En＝[δij ] 0 ( i≠j ) n×n

　行列の演算 行列の和と差行列の型が等しいときに限って定義される 1 -2 8 -2 5 1 -1 3 9 ＋＝ 2 5 -1 3 -1 2 5 4 1 行列のスカラー倍 1 -2 8 3 -6 24 2 1 2a a a 3 ＝＝ 2 5 -1 9 15 -3 4 3 4a 3a

　行　列　の　積 買い物の例：　　　値段購入数佐藤，果物屋 30×１＋８０×２＋１２０×３＝550 田中，スーパー 25×2＋7０×3＋１0０×2＝460

　行　列　の　積 生産の例：　　　原料の使用量製品の生産量原料ｐの今週の使用量 2×10＋2.5×16 ＝60 原料ｒの来週の使用量 3×12＋4×20 ＝116

行列の積 行列Aと行列Bの積は Aの列の個数とBの行の個数が等しいとき　　に限って定義される B：ｎ×ｒ行列 A：ｍ×ｎ行列Ａ＝[ ａij ]，Ｂ＝[ bj k] AB＝ [ ａij ] [ bj k] ＝ [ ci k] ｎ×ｒｍ×ｎｍ×ｒｃik ＝　ａi1ｂ1k　＋　ａi2ｂ2k　＋・・・・・＋　ａinｂnk (1≦i ≦m, 1 ≦ k ≦ r)

　　　　　　行列の積 k列 k列ａ11　ａ12・・・・・・・・ａ1n 　　　　　・・・・・・・・・・・・・ａi1　ａi2・・・・・・・・ａin 　　　　　・・・・・・・・・・・・・ａm1　ａm2・・・・・・・ａmn ｂ11・・ｂ1k ・・ｂ1r ｂ21・・ｂ2k・・ b2r 　　・・・・・・・・・・・・・　・・・・・・・・・　・・・・・・・・・ｂn1・・ｂnk・・・ｂnr ｃ11 ・・ｃ12・ｃ1r 　　　　　・・・・・・・・・・・・・ｃi1 ・・ｃiｊ・ｃir 　　　　　・・・・・・・・・・・・・ｃm1 ・・ｃm2・ｃmr ｉ行ｉ行 = ｍ行ｒ列ｍ行ｎ列ｎ行ｒ列 n ｃik＝　ａi1ｂ1k　＋　ａi2ｂ2k　＋・・・・・＋　ａinｂnk　＝　∑　ａij ｂjk j=1

3 1 0 11 -10 -4 2 1 -3 ＝ 2 0 -1 -9 9 7 1 -5 2 -1 4 1 1 3 2 1 [ 1 3 2 ] ＝ -1 -3 -2 -1 2 6 4 2 1 ＝ 2 [ 1 3 2 ] -1 2

行列の演算に関する性質 正方行列　Ａ，ＢＡＢ＝ＢＡ　－＞　行列ＡとＢは可換である＜和の性質＞Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋ＡＡ＋Ｏ　＝Ａ［ａｉｊ＋ｂｉｊ］＝［ｂｉｊ＋ａｉｊ］［ａｉｊ＋０］＝［ａｉｊ］（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）　　（和の結合律）［ａｉｊ＋ｂｉｊ］＋［ｃｉｊ］＝［ａｉｊ＋ｂｉｊ＋ｃｉｊ］［ａｉｊ］＋［ｂｉｊ＋ｃｉｊ］＝［ａｉｊ＋ｂｉｊ＋ｃｉｊ］

＜積の性質＞ ＡＥ＝ＥＡ＝ＡＡ０＝０，　０Ａ＝０（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）　　（積の結合律）＜スカラー倍＞ 0Ａ＝０，　１Ａ＝Ａ (ab)Ａ＝a(bＡ)，　(aＡ)Ｂ＝a(ＡＢ)

＜分配律＞ ａ（Ａ＋Ｂ）＝ａＡ＋ａＢ，　　（ａ＋ｂ）Ａ＝ａＡ＋ｂＡ A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC Ａ1＋Ａ2＋・・・＋Ａn すべてのＡｉの型が等しければ定義され、和をとる順によらず決まるＡ1Ａ2・・・Ａn 隣り合う行列の積が定義されるならば定義され、積をとる順によらず決まる

Ａのべき乗Ａn＝ＡＡ・・・Ａ n個行列の和、積と転置 t(Ａ＋Ｂ)＝ tＡ＋ tＢ t(ＡＢ)＝ tＢ tＡべき零行列Ａm＝o

　行列の分割 A11A12・・・・・　A1t A21A22・・・・・A2t Ａ＝・・・・・・・・・・・・・・・ As1As2　・・・・・Ast 2 3 0 2 3 0 ＝＝ A11 A12 A11A12 ＝ 1 -2 0 1 -2 0 A21A22 5 3 -9 ＝ [ 5 3 ] A21 ＝ [ -9 ] A22

n1 n2 nt n1 A11A12・・・・・　A1t B11B12・・・・・　B1u A21A22・・・・・A2t B21B22・・・・・B2u n2 Ａ＝ B＝・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ As1As2　・・・・・Ast nt Bt1Bt2　・・・・・Btu C11C12・・・・・　C1u C21C22・・・・・C2u ＡB＝・・・・・・・・・・・・・・・ Cs1Cs2　・・・・・Csu Cij ＝　Ai1B1j　＋　Ai2B2j　＋・・・・・＋　AitBtj (1≦i ≦s, 1 ≦ j≦ u)

数ベクトル a,b,・・・,u,v,x,y アルファベットの小文字の太字列ベクトルへの分割１ 3 4 4 Ａ＝＝[ a1a2a3a4 ] ２ 1 0 -1 １ 0 5 0 １ 3 4 4 a1 ＝, a2 ＝, a3 ＝, a4 ＝２ 1 0 -1 １ 0 5 0

行列の積の数ベクトルを用いた表現 a1a2・am B＝[ b1b2・・・br ] Ａ＝ a1 Ba2B・ am B a1 b1・・・・・ a1 br a2 b1・・・・・ a2 br ＝[Ａb1・・・Ａbr ] ＝ＡB＝・・・・・・・・・・・・・・・ am b1・・・・ am br

　　行列と連立１次方程式 ａ11ｘ1＋ａ12ｘ2＋・・・・・＋ａ1nｘn＝ｂ１ａ21ｘ1＋ａ22ｘ2＋・・・・・＋ａ2nｘn＝ｂ2 ・・・・・・・・・・・・ａm1ｘ1＋ａm2ｘ2＋・・・・・＋ａmnｘn＝ｂm 　Ａｘ＝ｂ係数行列ａ11　ａ12・・・・・　ａ1nｘ1　　　　　ｂ１ａ21　ａ22・・・・・ａ2nｘ2　ｂ2 ｂ＝Ａ＝ｘ＝・・・・・・・・・・・・・・・・ａm1ａm2　・・・・・ａmn ｘnｂm

拡大係数行列 ａ11　ａ12・・・・・　ａ1n　ｂ１ａ21　ａ22・・・・・ａ2nｂ2 Ａ　ｂ　＝・・・・・・・・・・・・ａm1ａm2　・・・・・ａmn ｂm 数ベクトルの１次結合ｃ1ａ1＋ｃ2ａ2＋・・・＋ｃmａm 2 1 0 ＝2 ＋ 3 3 0 1

　Ａｘ＝ｂ ｘ1 Ax＝［ａ1ａ2・・・ａn］　　　＝ｘ1ａ1＋ｘ2ａ2＋・・・＋ｘｎａｎ・・ｘn ｘ1ａ1＋ｘ2ａ2＋・・・＋ｘｎａｎ＝ｂ

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