第六章

第六章 不等式

第38讲 不等式的解法

解一元二次不等式(组) 【例1】解不等式－5<－x2＋3x－1<1.

点评解一元二次不等式的方法是：先解出相应的一元二次方程的两根a、b(a<b)，然后根据不等号方向确定是取a<x<b，还是取x>b或x<a.注意到本题的二次项前面的系数不是正的，所以必须每一项都要变号，并且不等号方向也要改变．另外，像本题这种类型的不等式一般是转化为不等式组来解．最后，别忘了写成集合的形式．

求参数的取值范围 【例2】已知不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．

点评本题是由不等式恒成立求参数的取值范围问题．因二次项前面的系数含有字母，故首先需讨论．当a2＋4a－5＝0时，求出a的两个值未必满足题目要求，所以要验证；当a2＋4a－5≠0时，将左边视为一个二次函数，其图象是抛物线，要使不等式恒成立，必须满足两个条件：①开口向上，②与x轴无交点，这样就将问题转化为解一元二次不等式组，从而使问题得到解决．

【变式练习2】 对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围．

解含参数的不等式 【例3】解关于x的不等式[(m＋3)x－1](x＋1)>0(m∈R)．

点评

3.若不等式x2－(a＋1)x＋a<0在(1,3)上有解，则实数a的取值范围是 ________________. (1，＋∞) 【解析】方法1：原不等式可化为(x－1)(x－a)<0. 原不等式在(1,3)上有解，即原不等式的解集与(1,3)的交集不是空集，所以a>1. 所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．

5.已知函数y＝lg[(a2－4)x2＋2(a＋2)x＋a－1]的定义域为R，求实数a的取值范围．5.已知函数y＝lg[(a2－4)x2＋2(a＋2)x＋a－1]的定义域为R，求实数a的取值范围．

(3)当－2＜a＜2时，由二次函数的性质可知这个不等式的解集不可能为R，所以－2＜a＜2不符合题意；(3)当－2＜a＜2时，由二次函数的性质可知这个不等式的解集不可能为R，所以－2＜a＜2不符合题意； (4)当a＜－2或a＞2时，由二次函数的性质可知，要使这个不等式的解集为R，必须满足： Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)(a－1)＜0，即a(a＋2)(a－4)＞0(*)，解不等式(*)得－2＜a＜0或a＞4，所以a＞4. 综上所述，a的取值范围是(4，＋∞)．

解不等式是中学数学的基础内容，也是高考的必考内容，主要从三个方面考查：一是解一元二次不等式或一元二次不等式组，或考查可以转化为一元二次不等式的问题(如指数不等式、分式不等式等)，一般以填空题形式出现；二是已知二次函数零点的分布情况求相应的参数的取值范围，或者解含参数的不等式，也不排除与函数、导数等结合(如求单调区间)；三是利用不等式模型解决实际应用问题．解不等式是中学数学的基础内容，也是高考的必考内容，主要从三个方面考查：一是解一元二次不等式或一元二次不等式组，或考查可以转化为一元二次不等式的问题(如指数不等式、分式不等式等)，一般以填空题形式出现；二是已知二次函数零点的分布情况求相应的参数的取值范围，或者解含参数的不等式，也不排除与函数、导数等结合(如求单调区间)；三是利用不等式模型解决实际应用问题．

1．解一元二次不等式的方法一般有两种： (1)求出对应的一元二次方程的两个根，画出相应的一元二次函数的图象，经过观察得到不等式的解； (2)将不等式的左边化为两个一次因式的乘积，再由“大于取两边，小于取中间”的方法求得不等式的解．

2．对于给定集合M和给定含参数的不等式f(x)>0，求不等式中的参数的取值范围问题，要看清楚题目的要求，再相应求解，不妨“对号入座”：

3．从初中的一元二次方程、一元二次函数，到高中的一元二次不等式，跨度之大、连贯性之强、占中学教材版面之多，足以体现新课标对这部分知识的重视．零点概念的出现更是给不等式的考查带来新意，它可以更好地将一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式这“三个二次”问题融为一体，也可以为用数形结合的方法解决一元二次函数和一元二次不等式提供更为广阔的空间，以至于近年来“三个二次”问题在高考试题中频繁亮相，所以，复习备考时应给予足够重视．

4．含参数的一元二次不等式的解法，看重考查分类讨论思想，能力要求较高，因此，要引起重视．

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