第二节二重积分的计算法

面积元素 第二节二重积分的计算法一利用直角坐标计算二重积分利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。

y y 积分区域 X-型区域 Y-型区域

设D（X型）： 利用平行截面面积已知,求立体体积的方法:

若D（X型）： 若D为（Y型）：求二重积分的方法：将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算

若D不是X型（或Y型），则将D分为几个区域， 使它们为X型（或Y型），几个区域上的积分之和就是所给二重积分的值。

例1计算，其中D是由直线y=1,x=2, 及y=x所围区域。解法1把D看成X型域，则

解法2 把D看成Y型域，则

例2计算，其中D是由抛物线 及直线所围成的区域。解把D看作Y型域

把D看作X型域 由于在[0，1]和[1，4]上下边界的表达式不同，所以要用直线x=1将D分成两个区域和它们分别用以下不等式表示：

例3求 解X型 D 若Y型则积分较繁。

例4求 所围成。分析若先后积分，则无法积分。

例5交换二次积分的顺序 分析要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分。

解将所给积分限还原成D的图形，由 其中于是按Y型域定限知D是由y=x，y=2－x，y=0三条直线所围成，

解故D是由所围成的，于是例6交换二次积分的顺序

故D是由 所围成的，于是

证由等式左边，得 改变积分顺序，得所以，所以，左边右边左边右边

极坐标是由极点和极轴组成，坐标 ，其中r为点p到极点o的距离，为or到op的夹角。 r =常数；（从o出发的同心圆） =常数；（射线）直角坐标与极坐标的关系为：二极坐标计算二重积分

底高弧长其中面积元素为（矩形）由直角坐标和极坐标的对应关系，得到二重积分在极坐标下的形式

或写作 若积分区域 D：于是得到极坐标下，二重积分化为二次积分的公式：

若极点在D的内部 则D可以用不等式，表示，这时有

解利用 把积分区域的边界曲线化为极坐标形式：于是

例9计算 ，其中D是以原点为圆心，半径为的圆域。解D可以表示成

问题 • 本题为何不用直角坐标计算？ • 如何计算广义积分

解用极坐标，

解将化为 ，可见D是一个半圆域。圆的方程表示成极坐标形式：所以D可表示为例11计算其中D为和x轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义。

于是，利用极坐标得： • 几何意义是球面 ,圆柱面

练习

小结 1.如何选择合适的坐标系计算二重积分？ 2. 利用对称性计算二重积分时，应该注意什么？

第二节 二重积分的计算法