寄り道１タイプが同じならば、同一人物由来の試料なのか？

寄り道１タイプが同じならば、同一人物由来の試料なのか？寄り道１タイプが同じならば、同一人物由来の試料なのか？法数学勉強会 2012/03/24 京都大学　医学研究科統計遺伝学分野山田

タイプが同じならば、同一人物由来の試料なのか？タイプが同じならば、同一人物由来の試料なのか？ • 「同一タイプ」の人がこの世に１人ならば、「同一人物」と判定される • 「同一タイプ」の人がこの世に複数いれば、「同一人物」と判定するのは、確率的になる

消しゴム事件 • ある小学校では、すべての男子生徒３００人に「消しゴム屋」さんから１個ずつ消しゴムが配られた • 「ナルト」柄が５０個、「ワンピース」柄が１００個、「ドラえもん」柄が１５０個

ある日、音楽室で • １個の消しゴムの落し物が発見された • 「ナルト」柄だった（５０個/３００個）

「ほなみたまちゃん♥」 らぶ • その消しゴムには • 「ほなみたまちゃん♥」と書かれていた！ • さあ、この消しゴムは誰のものか？ • 女子児童たちの捜査が始まった

「消しゴム屋さん、『ナルト』柄の消しゴムを配った男子のリストを出しなさいよー」「消しゴム屋さん、『ナルト』柄の消しゴムを配った男子のリストを出しなさいよー」 • リストが得られれば、『ナルト』所有者50名に絞られる • 50名は、1/50の確率で「たまちゃん♥」

「消しゴム屋さん、『ナルト』柄の消しゴムを配った男子のリストを出しなさいよー」「消しゴム屋さん、『ナルト』柄の消しゴムを配った男子のリストを出しなさいよー」 • 「あいにく、個人情報保護法の規定により、リストをお出しすることはできません」

「消しゴム屋さん、『ナルト』柄の消しゴムを配った男子のリストを出しなさいよー」「消しゴム屋さん、『ナルト』柄の消しゴムを配った男子のリストを出しなさいよー」 • 「あいにく、個人情報保護法の規定により、リストをお出しすることはできません」 • 「特定の児童さんを指名していただけば、その児童さんにどのタイプを渡したかはお答えできます」

「たまちゃん♥」の『犯人』って誰だと思う？「たまちゃん♥」の『犯人』って誰だと思う？「やっぱり、同じクラスの男子？」「クラブが一緒？」「委員会つながりかも？」「以前に同じクラスだった・・・とか」「帰り道が一緒だからだったりして」

「事前確率なんて考えるのはやめなさい」 「下手な考え、休むに似たりって言うじゃない」「そうとも、限らないのだが…」

音楽の先生　曰く • 「音楽室はいつも鍵がかかっていて、鍵は私しか持っていないから、その日、音楽室に出入りできた児童は、その日に音楽の授業があったクラスの子、だけよ」

「その日、音楽の授業があったのは、３クラス、１２０人のうち、男子は、６０人」「その日、音楽の授業があったのは、３クラス、１２０人のうち、男子は、６０人」 • 「３００人のうち、６０人」

「その日、音楽の授業があったのは、３クラス、１２０人のうち、男子は、６０人」「その日、音楽の授業があったのは、３クラス、１２０人のうち、男子は、６０人」 • 「音楽の授業は、３００人のうち、６０人」 • 「『ナルト』柄は、３００人のうち、５０人」 • 「じゃあ、音楽のあったクラスで、『ナルト』消しゴムを持っていたのは何人？」

「その日、音楽の授業があったのは、３クラス、１２０人のうち、男子は、６０人」「その日、音楽の授業があったのは、３クラス、１２０人のうち、男子は、６０人」 • 「音楽の授業は、３００人のうち、６０人」 • 「『ナルト』柄は、３００人のうち、５０人」 • 「じゃあ、音楽のあったクラスで、『ナルト』消しゴムを持っていたのは何人？」 • ６０ｘ５０/３００　＝１０人　くらいね！

「あいにく、個人情報保護法の規定により、リストをお出しすることはできません」「あいにく、個人情報保護法の規定により、リストをお出しすることはできません」 • 「特定の児童さんを指名していただけば、その児童さんにどのタイプを渡したかはお答えできます」

「あいにく、個人情報保護法の規定により、リストをお出しすることはできません」「あいにく、個人情報保護法の規定により、リストをお出しすることはできません」 • 「特定の児童さんを指名していただけば、その児童さんにどのタイプを渡したかはお答えできます」絶対花輪君のを教えてもらうわ誰も文句ないわよね！

「花輪君ですね、花輪君は、『ナルト』柄でした」「花輪君ですね、花輪君は、『ナルト』柄でした」

「花輪君以外の男子(５９人)が、『ナルト』柄である確率は50/300 = 1/6→49/299」 • 「そのうちの誰かが、落とし主だとすると、それが『ナルト』柄である確率は1/6」 • 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　1」 • 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 1/6」 • 「尤度比は6」 • 「花輪君が落としたと考える方がよさそうじゃない？」

「花輪君以外の男子(５９人)が、『ナルト』柄である確率は50/300 = 1/6→49/299」 • 「そのうちの誰かが、落とし主だとすると、それが『ナルト』柄である確率は49/299」 • 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　1」 • 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 1/6」 • 「尤度比は6」 • 「花輪君が落としたと考える方がよさそうじゃない？」

「花輪君以外の男子(５９人)が、『ナルト』柄である確率は 50/300 = 1/6→49/299 」 • 「そのうちの誰かが、落とし主だとすると、それが『ナルト』柄である確率は49/299」 • 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　1」 • 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 1/6」 • 「尤度比は6」 • 「花輪君が落としたと考える方がよさそうじゃない？」

「花輪君以外の男子(５９人)が、『ナルト』柄である確率は 50/300 = 1/6→49/299 」 • 「そのうちの誰かが、落とし主だとすると、それが『ナルト』柄である確率は49/299」 • 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　1」 • 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299」 • 「尤度比は6」 • 「花輪君が落としたと考える方がよさそうじゃない？」

「花輪君以外の男子(５９人)が、『ナルト』柄である確率は 50/300 = 1/6→49/299 」 • 「そのうちの誰かが、落とし主だとすると、それが『ナルト』柄である確率は1/6」 • 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　1」 • 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299」 • 「尤度比は1/(49/299) = 299/49 = 6.10」 • 「花輪君が落としたと考える方がよさそうじゃない？」

「尤度比は6.10」 • 「花輪君が落としたと考える方がよさそうじゃない？」

「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　1」「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　1」 • 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299」 • 「尤度比は1/(49/299) = 299/49 = 6.10」 • 「候補の男子が59人もいるのに、いきなり、『 6.10倍』っていうのは、おかしいんじゃねーか？」

「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　1」「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　1」 • 「誰か１が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299」 • 「誰か２が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」 • … • 「誰か59が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　1」「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　1」 • 「誰か１が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299」 • 「誰か２が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」 • … • 「誰か59が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」 • 「花輪君 vs. その他59人は 1: 59x49/299 = 0.103 」

「音楽の授業は、３００人のうち、６０人」 • 「『ナルト』柄は、３００人のうち、５０人」 • 「じゃあ、音楽のあったクラスで、『ナルト』消しゴムを持っていたのは何人？ • ６０ｘ５０/３００　＝１０人　くらいね！ • 「本当のところは、音楽授業の６０人中、何人が『ナルト』柄じゃったんかいのー」 • １人、２人、…、５０人の場合がありえる • １人だけが『ナルト』柄で、それが花輪君なら、「たまちゃん♥」は花輪君で確定 • ２人が『ナルト』柄なら、花輪君かもしれないし、もう１人かもしれなくて、確率は1/2 • … • k 人が『ナルト』柄で、花輪君がそのうちの１人なら、確率は1/k

『ナルト』柄の確率 : p = 50/300 = 1/6 • 音楽50人中、k人が『ナルト』柄の確率 • kが大きい方が『ナルト』柄を落としやすいからその分を上乗せして • 花輪君が「たまちゃん♥」である確率 • k人の場合 • = • k=1,2,...,50の場合の合計 • 『ナルト柄』の人数が０人の可能性は、もう、ないことがわかっているので、その分を割り引いて考えよう • (

p=50/300=1/6 • N=60 • 『ナルト』柄の人数は、何人の可能性が１番高いか６０ｘ５０/３００　＝１０人　くらいね！『ナルト』柄人数

『ナルト』柄の人数は、何人の可能性が一番高いか『ナルト』柄の人数は、何人の可能性が一番高いか • 「花輪君」が犯人だ、とみなされる可能性は、『ナルト』柄の保有者が名人のときに一番高いか

花輪君が「たまちゃん♥」である確率は • 0.100 • 花輪君が「たまちゃん♥」である尤度と、他の誰かが「たまちゃん♥」である尤度の比は • 0.111

花輪君vs. 誰か１人 1/(1/6) = ６花輪君vs. 誰か59人 1/(59x49/299) = 0.103 花輪君が、『ナルト』柄の持ち主である比率 • 0.111

p 「タイプ」の割合　1/6 • N 「花輪君以外の対立候補者数」　５９人 • p, Nを振ってみよう

p=1/6のまま対立候補者数 N = 1,2,...,100 対立候補者数によらず一定尤度比対立候補者数が増えると下がる対立候補者数 N

対立候補者数 N = 1 のままp=を変える 尤度比 pが小さければ尤度比は高い２つの方法に差はない p

対立候補者数 N = 59p=を変える 尤度比 pが小さければ尤度比は高い２つの方法に差が出る p

この２つの違い • N=59 • pを変える

花輪君vs. 誰か１人 1/(1/6) = ６花輪君vs. 誰か59人 1/(59x49/299) = 0.103 花輪君が、『ナルト』柄の持ち主である比率 • 0.111

この２つの違い • N=59 • pを変える p=1/6 0.103 vs. 0.111

この２つの違い • N=59 • pを変える pが大きいときは大差がないが、 pが小さくなると、差が出てくる p=1/6 0.103 vs. 0.111

この２つの違い • Nを変える • p=1/6

この２つの違い • Nを変える • p=1/6 N=59 0.103 vs. 0.111

この２つの違い • Nを変える • p=1/6 Nが大きいときは大差がないが、 Nが小さくなると、差が出てくる N=59 0.103 vs. 0.111

この２つの違い p=1/6 0.103 vs. 0.111 N=59 0.103 vs. 0.111 pが大きいときは大差がないが、 pが小さくなると、差が出てくる Nが大きいときは大差がないが、 Nが小さくなると、差が出てくる pが小さいとき、Nが小さいとき「犯人だ」という尤度比が大きくなる

「ばあさんの意見では、『ナルト』を持っているのが２人以上いても、花輪君が犯人の可能性を捨てないってことだぜ」「ばあさんの意見では、『ナルト』を持っているのが２人以上いても、花輪君が犯人の可能性を捨てないってことだぜ」 • 「ぜーったい、花輪君しかありえねぇ、ってことにしないと、花輪君に悪いだろう」 • 「確かに、　　　　　さんに責められるのはかわいそうかもしれない」

「じゃあ、残りの５９人が全員、誰一人として、『ナルト』を持っていない確率を計算してみるよ」「じゃあ、残りの５９人が全員、誰一人として、『ナルト』を持っていない確率を計算してみるよ」 • 尤度比 6.9724e-05 • 「これは低すぎて、おかしいんじゃないかい？」 • 「　　　　　の意見と、ものすごく違うよ」

寄り道１ タイプが同じならば、 同一人物由来の試料なのか？