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平稳时间序列模型预测

平稳时间序列模型预测. 设平稳时间序列 是一个 ARMA(p,q) 过程，即 本章将讨论其预测问题，设当前时刻为 t ，已知时刻 t 和以前时刻的观察值 ，我们将用已知的观察值对时刻 t 后的观察值 进行预测，记为 ，称为时间序列 的第 步预测值。. §7.1 最小均方误差预测. 考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，一个很自然的思想就是预测值 与真值 的均方误差达到最小，即设 预测值 与真值 的均方误差

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平稳时间序列模型预测

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Presentation Transcript

  1. 平稳时间序列模型预测 • 设平稳时间序列 是一个ARMA(p,q)过程，即 • 本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观察值 ，我们将用已知的观察值对时刻t后的观察值 进行预测，记为 ，称为时间序列 的第 步预测值。 上海财经大学统计学系

  2. §7.1 最小均方误差预测 • 考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，一个很自然的思想就是预测值 与真值 的均方误差达到最小，即设 预测值 与真值 的均方误差 我们的工作就是寻找 ，使上式达到最小。 • 下面我们证明最小均方误差预测就是 上海财经大学统计学系

  3. 条件无偏均方误差最小预测 设随机序列 ，满足 ，则 • 如果随机变量 使得 达到最小值，则 • 如果随机变量 使得 达到最小值，则 上海财经大学统计学系

  4. 因为 可以看作为当前样本和历史样本 的函数，根据上述结论，我们得到，当 时， 使得 达到最小。 • 对于ARMA模型，下列等式成立： 上海财经大学统计学系

  5. ARMA模型的预测方差和预测区间 • 如果ARMA模型满足因果性，则有 • 所以，预测误差为 上海财经大学统计学系

  6. 由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下， 是 当前样本 和历史样本 已知条件下得到的条件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长 有关，而与预测起始点t无关。当预测步长 的值越大时，预测值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预测步长 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间序列分析只适合做短期预测。 上海财经大学统计学系

  7. 进一步地，在正态分布假定下，有 • 由此可以得到 预测值的95%的置信区间为 或者 上海财经大学统计学系

  8. §7.2 对AR模型的预测 • 首先考虑AR(1)模型 当 时，即当前时刻为t的一步预测为 当 ，当前时刻为t的 步预测 上海财经大学统计学系

  9. 对于AR(p)模型 当 时，当前时刻为t的一步预测为 当 ，当前时刻为t的 步预测 上海财经大学统计学系

  10. 例7.1 • 设平稳时间序列 来自AR(2)模型 已知 ，求 和 以及95%的置信区间。 解： 上海财经大学统计学系

  11. 根据第三章，可以计算模型的格林函数为 • 所以 的95%的置信区间为（－1.076，3.236） 的95%的置信区间为（－2.296，3.952） 上海财经大学统计学系

  12. 例7.2 • 已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位：万元/月) 2006年第一季度该商场月销售额分别为：101万元，96万元，97.2万元。求该商场2006年第二季度的月销售额的95%的置信区间。 上海财经大学统计学系

  13. 求第二季度的四月、五月、六月的预测值分别为 上海财经大学统计学系

  14. 计算模型的格林函数为 • 四月、五月、六月的月销售额的95%的置信区间分别为 四月：（85.36，108.88） 五月：（83.72，111.15） 六月：（81.84，113.35） 上海财经大学统计学系

  15. §7.3 MA模型的预测 • 对于MA(q)模型 我们有 • 当预测步长 ， 可以分解为 • 当预测步长 ， 可以分解为 上海财经大学统计学系

  16. MA(q)模型预测方差为 上海财经大学统计学系

  17. 例7.3 • 已知某地区每年常住人口数量近似的服从MA(3)模型（单位：万人） 2002年—2004年的常住人口数量及1步预测数量见表 上海财经大学统计学系

  18. 预测未来5年该地区常住人口数量的95%的置信区间。预测未来5年该地区常住人口数量的95%的置信区间。 上海财经大学统计学系

  19. 上海财经大学统计学系

  20. §7.4 ARMA模型的预测 • 关于ARMA模型 有 上海财经大学统计学系

  21. 上海财经大学统计学系

  22. 例7.4 • 已知ARMA(1, 1)模型为 且 ，预测未来3期序列值的95%的置信区间。 上海财经大学统计学系

  23. 首先计算未来3期预测值 • 计算模型的格林函数为 上海财经大学统计学系

  24. 计算预测方差 • 计算 得到未来3期序列值的95%的置信区间 上海财经大学统计学系

  25. §7.5 预测值的适时修正 对于平稳时间序列的预测，实际就是利用已有 的当前信息和历史信息 对于序列未来某个时期 进行预测。预测的 步长值越大，预测精度越差。 随着时间的向前推移，在原有时间序列观测值 的基础上，我们会不断获得新的观测值。显然，如 果把新的观测值加入历史数据，就能够提高对的预 测精度。所谓预测值的修正就是研究如何利用新的 信息去获得精度更高的预测值。 上海财经大学统计学系

  26. 例7.2续 • 假设一个月后已知四月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值及95%的置信区间。 • 因为 根据上述公式可以计算五月、六月的修正预测值如下： 上海财经大学统计学系

  27. 修正预测方差为 • 步预测销售额的95%的置信区间 上海财经大学统计学系

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