Matematická analýza

1. Matematická analýza Isaac Newton 1643 - 1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 - 1716 Klasická algebra neumí dobře pracovat s nekonečny. Vektorové prostory sice mají nekonečně mnoho prvků a mohou mít nekonečné dimenze, ale sečíst nekonečně mnoho vektorů klasickými prostředky nelze. Machrováním s nekonečny se lidé začali zabývat relativně nedávno – cca 400 let. Základy oboru, dnes nazývaného matematická analýza položili dva vědci – G. W. Leibnitz a I. Newton. Z Newtonovy strany analýza vznikla v přímé souvislosti s fyzikou. V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).

2. Achilles a želva Zeno Elejský 490 – 430 přnl. Achilles honí želvu. Protože je dobrý běžec, dá ji náskok. Než ovšem uběhne tuto vzdálenost, želva se posune o kousek vpřed. Zatímco Achilles běží tuto novou vzdálenost, želva se dále pohybuje a opět se vzdálí (nově položená vzdálenost je sice menší, ale nenulová). Na základě této pokračující série dochází Zeno k tomu, že Achilles želvu nikdy nemůže dohonit. Myšlenka je ale v příkrém rozporu s pozorováním – je to tedy paradox? Zeno Elejský byl před-sokratovský řecký filozof, člen Parmenidovy školy v jižní Itálii. Byl označen Aristotelem za zakladatele dialektiky, nicméně známější je díky svým para-doxům, například paradoxu o Achillovi a želvě.

3. Achilles a želva vZ vA vZ vA vZ vA tn , sn tn+1, sn+1 tn+2, sn+2 Čas Achilla Nová vzdálenost želvy Následující čas Achilla Čas pro chycení želvy Je tento součet nekonečné geometrické řady konečný, nebo ne?

4. Okolí bodu Definice 60. Definice 61. Věta 21. Buď a bod z R, ε z R+. Otevřený interval nazýváme ε-okolím bodu a a značíme Ha(ε), stručněji Ha. Obdobně lze definovat levé a pravé okolí : ε-okolí nekonečna definujeme jako Buď a, b dva body z R. Ha, Hb označme jejich ε-okolí. Potom platí: b a Jsou-li a, b navíc různé, platí b a

5. Limita posloupnosti Pojem limita posloupnosti se týká chování posloupnosti, pokud sledujeme prvky s indexem neomezeně rostoucím – tedy v nekonečnu. Mají prvky následujících posloupností pro velmi vysoká nějakou tendenci? neomezeně roste (nekonečná limita) blíží se k šestce (limita je 6) stále osciluje (limita neexistuje)

6. Limita posloupnosti Definice 62. a Buď an reálná posloupnost. Řekneme, že posloupnost má konečnou limitu a právě tehdy, platí-li zkráceně Tj. ať si zvolíme libovolně malé okolí bodu a, vždycky najdeme prvek posloupnosti, od nějž všechny dál do okolí spadnou. Pak píšeme, že ε ε ε ε ε ε

7. Limita posloupnosti Definice 63. Buď an reálná posloupnost. Řekneme, že posloupnost má nekonečnou limitu (kladnou, resp. zápornou) právě tehdy, platí-li zkráceně ε Pozn. : definice s okolími bodů je univerzální pro konečnou i nekonečnou limitu:

8. Limita posloupnosti Věta 22. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz provedeme sporem. Kdyby posloupnost měla dvě různé limity, třeba a a b, muselo by zároveň platit Protože ale lze zvolit dvě okolí Ha, Hb tak, aby neměly žádný průnik, nelze najít takové n0 = max (n1, n2), aby všechny prvky od něj dále ležely jak v Ha, tak v Hb. a b

9. Limita posloupnosti Definice 63. Věta 22. Buď an reálná posloupnost. Tuto posloupnost nazveme dle limity jako konvergentní divergentní neexistuje oscilující Buď an konvergentní reálná posloupnost s limitou a. Potom platí: • an je omezená (shora i zdola) • lim |an| = |a| • posloupnost anp vybraná z an má rovněž limitu a Buď an divergentní reálná posloupnost s limitou plus resp. mínus nekonečno. Potom an je omezená zdola resp. shora. Pozn. : změníme-li konečný počet členů posloupnosti jakkoliv, limita posloupnosti se nezmění.

10. Výpočty limit posloupnosti Jaké limity mají základní posloupnosti? ε ε ε ε ε ε Tyto jednoduché limity je třeba dokázat z definice.

11. Výpočty limit posloupnosti Platí pro a > 0. Pro a < 0 se výsledná znaménka otáčejí. Pro potřeby limitních výrazů definujeme : Výrazy vychází přímo z definic limity a platí pro všechny posloupnosti nezávisle na konkrétní podobě an.

12. Výpočty limit posloupnosti Následující výrazy jsou neurčité – hodnota limity závisí na konkrétní podobě posloupnosti (tvaru an):

13. Výpočty limit posloupnosti Věta 23. Buď an , bn dvě reálné posloupnosti, c reálné číslo a nechť limity obou posloupností existují. Za předpokladu, že výrazy napravo mají smysl, platí:

14. Výpočty limit posloupnosti Věta 24. O dvou policajtech : Buď an , bn a cn tři reálné posloupnosti, nechť platí 1) 2) . Potom platí, že n0

15. Výpočty limit posloupnosti Příklad Vypočítejte

16. Výpočty limit posloupnosti Příklad Vypočítejte

17. Výpočty limit posloupnosti Příklad Ukažte, že Využijte přitom tvrzení, že pro posloupnost nenulových reálných čísel platí Pozn. : z příkladu je vidět, že výraz n! roste nesmírně rychle – rychleji, než libovolná exponenciála!

18. Zajímavosti Definice 64. Eulerovo číslo a další podobná jsou definována pomocí limit: Pomocí limit posloupnosti je definována obecná mocnina: Buď an konvergentní racionální posloupnost, tj. pro kterou platí buď x reálné číslo. Obecnou mocninu xadefinujeme jako Pozn. : k této definici je samozřejmě třeba ukázat, že tato limita existuje a že se neliší pro různé posloupnosti an se stejnou limitou a.

19. Nekonečné řady Definice 65. Buď an posloupnost reálných čísel. Nekonečnou řadou o členech an rozumíme formální výraz Pozn. : nutnost přesné definice „sčítání donekonečna“ je zřejmá z následujícího příkladu. Sečtěte řadu čísel Na problém můžeme nahlédnout různými způsoby: Který je asi „pravdivější“ ?

20. Součet nekonečné řady Definice 66. Buď an posloupnost reálných čísel. Výraz Nazveme n-tým částečným součtem příslušné řady. {Sn} rovněž tvoří posloupnost reálných čísel. Definujeme, že nekonečná řada má součet (konverguje), právě když Definujeme, že řada má nekonečný součet (diverguje), právě když Definujeme, že řada nemá nekonečný součet (osciluje), právě když neexistuje

21. Součet geometrické řady Tedy pro q < 1. Připomeňme si, co je geometrická posloupnost: Částečný součet

22. Součet nekonečné řady Věta 24. Nutná podmínka konvergence řady : Nechť řada konver-guje. Potom Jinými slovy toto je základní kritérium konvergence. Na to, abychom vůbec mohli uvažovat o tom, že řada má konečný součet, musí být limita jejích členů nulová (nutná podmínka). Podmínka ale není dostačující – je-li limita členů nulová, neznamená to automaticky, že řada má konečný součet!

23. Bolzanovo-Cauchyovo kritérium Věta 24. Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence : Buď an číselná posloupnost. Platí, že an je konvergentni, právě když Bolzanovo-Cauchyovo kritérium je nutnou a postačující podmínkou konvergence reálných (i komplexních) posloupností. Pozn. : posloupnosti, které splňuje tuto podmínku se říká Cauchyovská. Věta platí pouze na úplných prostorech, například Cauchyovská posloupnost v prostoru racionálních čísel limitu mít nemusí. Kritérium lze samozřejmě použít i na konvergenci řad. Dosadíme-li místo anSn, pak Věta říká, že na to, aby posloupnost konvergovala, se musí se členy posloupnosti k sobě neomezeně blížit s rostoucím n. U řad pak platí, že součet libovolného počtu členů musí být neomezeně malý s rostoucím n.

24. Součet harmonické řady Pomocí B.-C. kritéria ukažme, že řada je divergentní, a to i přes to, že . Tato důležitá řada se nazývá harmonická. Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že řada B.-C. kritérium splňuje, a pro libovolně zvolené ε absolutní hodnota součtu p členů od n0 výše je menší než toto ε. Zvolme například ε = ½. Pak existuje n0 takové, že pro všechny n>n0 a pro všechny p platí Zvolmen = p a zkoumejme, co to udělá: n-krát Tedy jsme došli ke sporu:

25. D’Alambertovo kritérium Věta 25. D’Alembertovo kritérium konvergence : Buď an číselná posloupnost. Nechť existuje limita Potom je-li nelze o konvergenci řady tímto kritériem rozhodnout

26. Raabeovo kritérium Věta 26. Raabeovo kritérium konvergence : Buď an číselná posloupnost. Nechť existuje limita Potom je-li nelze o konvergenci řady tímto kritériem rozhodnout Pozn. : všiměte si, že oproti D’Alambertovu kritériu jsou nerovnítka obráceně! Toto kritérium ukazuje konvergenci všech řad se členy typu 1/n2, 1/n3, 1/n4, …

27. Součty nekonečných řad Příklad Pokládejte na stůl libovolný počet hracích karet na sebe tak, aby se navzájem přesahovaly. Jak daleko můžete dosáhnout za okraj stolu, než se celá stavba zřítí? l = ?

28. Limita funkce Definice 67. Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné. Říkáme, že funkce f má v bodě a limitu c, právě když platí značíme

29. Limita funkce K čemu se blíží hodnota funkce, „lezeme-li“ po definičním oboru k číslu 4? nehledě na to, zda je funkce v bodě 4 definována či nikoliv.

30. Limita funkce Definice 67. Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné. Říkáme, že funkce f má v bodě a limitu c, právě když platí značíme Limita vyjadřuje chování funkce v blízkém okolí bodu a bez ohledu na to, zda je bod a v definičním oboru či nikoliv! Pozn.: Body a a c mohou klidně být i nekonečna – definice okolí nekonečna je jasná. Pozn.: Stejně jako limita posloupnosti je limita funkce jednoznačná – buď neexistuje, nebo je právě jedna (pro pevně daný bod).

31. Limita funkce

32. Výpočty limit funkcí Věta 27. Buď f , g dvě reálné funkcí, c reálné číslo. Nechť v bodě x, který je z definičního oboru f i g existují limity obou funkcí. Za předpokladu, že výrazy napravo mají smysl, platí:

33. Spojitost Lze funkci „nakreslit jedním tahem“? Zde funkce není spojitá Zde funkce je spojitá

34. Heineova věta Věta 27. Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné bod a buď z definičního oboru. Pak právě tehdy, když pro každou posloupnost xn s vlastnostmi je limita Najdeme-li byť jen jedinou posloupnost výše uvedených vlastností, pro kterou výraz f(xn) nemá limitu c, limita funkce v bodě a neexistuje.

35. Výpočty limit funkcí Příklad Ukažte, že

36. Shrnutí • Okolí bodu • Limita posloupnosti • Výpočty limit posloupností • Součty nekonečných řad • Výpočty součtů, kritéria • Limita funkce • Výpočty limit funkcí • Spojitost funkce • Heineova věta