5.5 平行四边形的判定（ 2 ）

1. 5.5平行四边形的判定（2）

2. A D B C Ⅰ.边: Ⅱ.角: Ⅲ.对角线: 温顾知新 平行四边形有哪些性质？ a.平行四边形两组对边分别平行. b.平行四边形两组对边分别相等. 平行四边形两组对角分别相等. 平行四边形对角线互相平分. 我们学过平行四边形有哪些判定方法？ 两组对边分别平行 从边看: 的四边形是平行四边形 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 从角看: 两组对角分别相等 问题：判定一个四边形是平行四边形是否还有其它的方法？

3. C D A O B 合作探究 定理3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 已知：在四边形ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ， 且ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ, 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明：在△AOD与△COB中 ∵ AO=CO，DO=BO，∠AOD=∠COB ∴△AOD≌△COB 同理：AB=CD ∴ AD=CB ∴四边形ABCD是平行四边形 （两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

4. D C O B A 平行四边形判定定理3： 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言： 如图∵OA=OC，OB=OD ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形 （对角线互相平分的四边形是平行四边形）

5. 例1、已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF求证：四边形AECF是平行四边形。 在 ABCD中，BO=DO， AO=CO A D F E B C O 证明: 连结AC,交BD于点O （平行四边形的对角线互相平分） ∵AB∥CD （平行四边形的定义） ∴∠ABE=∠CDF 又∵∠BAE=∠CDF，AB=CD ∴△ABE≌△CDF ∴BE=DF ∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO ∴四边形AECF是平行四边形 （对角线互相平分的四边形是平行四边形）

6. 变1:已知：如图，在 ABCD中，Ｅ，Ｆ是对角线ＢＤ上的两点，且BＥ＝ＤＦ．求证：四边形AECF是平行四边 A D F E B C O 讨论：根据现有条件，说说你准备选用哪种方法证明？ 大概的步骤是怎样的？

7. 变2:已知：如图,在 ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F。求证：四边形AECF是平行四边形。 A D F E B C

8. 变3:已知：如图,在 ABCD中，E,F是对角线BD上的两点,且BE=DF.M,N分别是AD和BC边上的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形。 A M D F E B C N

9. α 练一练 2、已知线段a，b，∠α（如图），请用直尺和圆规作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于线段a，b，两条对角线的夹角等于∠α

10. 例2、已知在直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为：例2、已知在直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为： 四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明. 解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下： y C D 1 ∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ 连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ o -1 1 x -1 B ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形 A

11. F D C A B E 做一做 1、已知：如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，延长AC至F，反向延长AC至E，使AE=AF， 求证：四边形EBFD是平行四边形

12. E A D H O G B F C 2、已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，直线EF，GH过点O，分别交AD，BC，AB，CD于E，F，G，H；求证：四边形GFHE是平行四边形

13. A B D C 发现：三角形一条边上的中线的2倍小于另两条边的和。 探究活动 任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么?再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗?试证明你的发现。 已知：如图，AD是⊿ABC的中线， 求证：2AD<AB+AC 证明： 如图，延长AD至E,使ED=AD.连结BE,EC. ∵BD=CD, E ∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 ∴AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。 ∵AC+CE>AE, ∴AB+AC>2AD, 即2AD<AB+AC.

14. 回顾 平行四边形的性质定理和判定定理 1 两组对边平行且相等 四边形是平行四边形 2 四边形是平行四边形 对角线互相平分 1 一组对边平行并且相等 四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等 四边形是平行四边形 3 对角线互相平分 四边形是平行四边形 性质：平行四边形的对角相等 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形的两组对边分别平行

15. 如图：在 ABCD中，E,F是对角线AC上的两个点； G,H是对角线B,D上的两点.已知AE=CF,DG=BH, 求证：四边形EHFG是平行四边形. D C G F O 证明： 在　　ＡＢＣＤ中， ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ ∵ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ ∴ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ ∴四边形EHFG是平行四边形 E H A B 练习1

16. O A A D D O B B O C C E E F F 2： 已知：如图 ，E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，并且 AE=CF。 求证：四边形BFDE是平行四边形。 延长线 上的两点,且E.F是OA.OC的中点. 上的两点,且DE⊥OA.BF⊥OC. 证明：连结BD，交AC于点O ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO ，BO=DO ∵AE=CF ∴EO=FO ∵BO=DO ∴四边形BFDE是平行四边形 (对角线互相平分 的四边形是平行四边形)

17. 本节课你学到什么？