Θεματική Ενότητα

1. Θεματική Ενότητα Μεταθέσεις & Συνδυασμοί

2. Σημαντικότητα • Έννοιες με εξαιρετικό ενδιαφέρον και σημασία για την Επιστήμη Υπολογιστών. • Θα αφιερώσομε τουλάχιστον δύο εβδομάδες παραδόσεων και φροντιστηρίων πάνω στην ενότητα αυτή.

3. Ορισμός • Πείραμα είναι μία φυσική διαδικασία η οποία έχει έναν αριθμό αποτελεσμάτων που μπορούν να παρατηρηθούν.

4. Παρατήρηση • Πολλές φορές ενδιαφερόμαστε για το σύνολο των αποτελεσμάτων ενός πειράματος. ή ένα υποσύνολο του, όπου τα στοιχεία του ικανοποιούν κάποιες ιδιότητες.

5. Παραδείγματα • Η ανάθεση γραφείων ενός κτιρίου στους καθηγητές ενός τμήματος • Η ρίψη δύο ζαριών • Η επιλογή δύο αντιπροσώπων από μία ομάδα φοιτητών

6. Πειράματα • Τα έξι πιθανά αποτελέσματα από την ρίψη ενός ζαριού είναι 1,2,3,4,5 και 6 • Τα δύο πιθανά αποτελέσματα από την ρίψη ενός νομίσματος είναι κορώνα και γράμματα

7. Χαρακτηριστικά δυναμοσυνόλων με πιθανό ενδιαφέρον Έστω Α ένα πεπερασμένο σύνολο μεγέθους n Συχνά θέλουμε να γνωρίζουμε • τον αριθμό των διακριτών υποσυνόλων του συνόλου Α, δηλαδή το μέγεθος του δυναμοσυνόλου του Α, P(A) Επιπλέον, είναι πιθανό να θέλουμε να μάθουμε το • πλήθοςτωνυποσυνόλων του Απου έχουν μέγεθος Κ, ή • το πλήθος τωνδιατεταγμένων συνόλων των οποίων τα στοιχεία είναι στοιχεία του Α

8. Παράδειγμα Α: το σύνολο 10 βουλευτών Ο αριθμός των υποσυνόλων στο P(A) είναι 210

9. Πιο σύνθετα πειράματα Θεωρήστε ένα σύνθετο πείραμα που «αποτελείται» από δύο πειράματα που μπορούν να εκτελεστούν με διάφορους τρόπους. Ξεχωρίστε δύο περιπτώσεις • Μονάχα ένα από τα δύο πειράματα εκτελείται. • Και τα δυο πειράματα αυτά μπορούν να εκτελεστούν μαζί. Υποθέσετε ότι το ένα πείραμα έχει m πιθανά αποτελέσματα και το άλλο έχει nπιθανά αποτελέσματα. Μας ενδιαφέρει το σύνολο των αποτελεσμάτων του σύνθετου αυτού πειράματος.

10. Quiz Πάρετε δύο πειράματα: Θεωρήστε ότι το ένα έχει m πιθανά αποτελέσματα και το άλλο έχει nπιθανά αποτελέσματα. Ξεχωρίστε δύο περιπτώσεις • Μονάχα ένα από τα δύο πειράματα εκτελείται. • Και τα δυο πειράματα αυτά μπορούν να εκτελεστούν μαζί. Μπορείτε να κατασκευάστε γενικούς κανόνες βασισμένους στα πειράματα αυτά, σύμφωνα με διαφορετικούς τρόπους που μπορούν να εκτελεστούν ?

11. Κανόνας του γινομένου • Αν ένα πείραμα έχει m πιθανά αποτελέσματα και ένα άλλο πείραμα έχει n πιθανά αποτελέσματα, τότε υπάρχουν m*nπιθανά αποτελέσματα όταν γίνονται και τα δύοαυτά πειράματα

12. Κανόνας του αθροίσματος • Αν ένα πείραμα έχει m πιθανά αποτελέσματα και ένα άλλο πείραμα έχει n πιθανά αποτελέσματα, τότε υπάρχουν m+nπιθανά αποτελέσματα όταν γίνεται ακριβώς ένα από τα δύο αυτά πειράματα

13. Quiz Εάν υπάρχουν 52 τρόποι για να επιλεγεί ένας αντιπρόσωπος από την τάξη των τριτοετών και 49 τρόποι για να επιλεγεί ένας αντιπρόσωπος από την τάξη των τεταρτοετών • Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να επιλεγούν οι δύο αντιπρόσωποι των δύο αυτών τάξεων; • Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να επιλεγεί ένας αντιπρόσωπος που θα προέρχεται από την μία ή την άλλη τάξη;

14. Γενίκευση για ακόμη πιο σύνθετα πειράματα ... • Μ πειράματα • Το κάθε ένα με ν1, ν2, ..., νm αποτελέσματα αντίστοιχα. • Εκτέλεση σύμφωνα με τις προηγούμενες περιπτώσεις... • Γενίκευση των δύο κανόνων ...

15. Ορισμός • Όταν λέμε ότι μεταθέτουμεrαπό nδιακριτά αντικείμεναεννοούμε ότι διατάσσουμεrαπό τα nαυτά αντικείμενα με κάποια σειρά. • Η διάταξη rαπό n αντικείμενα ανάγεται στην πλήρωση rθέσεων με rαπό n αντικείμενα

16. Ορισμός (συνέχεια) Υπάρχουν • n επιλογές αντικειμένου για την πρώτη θέση η πρώτη θέση λοιπόν δεσμεύεται από ένα αντικείμενο από το βήμα 1 • n- 1 επιλογές αντικειμένου (από τα υπόλοιπα n-1 αντικείμενα) για τη δεύτερη θέση η δεύτερη θέση λοιπόν δεσμεύεται από ένα άλλο αντικείμενο από το βήμα 2 (οπότε μέχρι τώρα δύο συνολικά αντικείμενα έχουν τοποθετηθεί) . . . • n – r +1επιλογές αντικειμένου (από τα υπόλοιπα n -r + 1 αντικείμενα)για τη θέση r. η r-th θέση λοιπόν δεσμεύεται από ένα άλλο αντικείμενο από το βήμα r (οπότε μέχρι τώρα r συνολικά αντικείμενα έχουν τοποθετηθεί) .

17. Ορισμός (συνέχεια) • Συνεπώς υπάρχουν n * (n - 1)*…*(n – r + 1) τρόποι για τη διάταξηrαπό nαντικείμενα στη σειρά. Ο αριθμός των τρόπων για να μετατεθούν rαπό τα nαντικείμενα είναι n* (n-1) * … * (n –r +1) = n! / (n-r)!

18. Παράδειγμα Υποθέστε ότι θέλουμε να τοποθετήσουμε rδιαφορετικάβαμμένες μπάλες σε nδιαφορετικά αριθμημένα κουτιά με την προϋπόθεση ότι ένα κουτί μπορεί να χωρέσει μόνο μίαμπάλα 

19. Παράδειγμα(συνέχεια) Αφού • η πρώτη μπάλα μπορεί να τοποθετηθεί σε οποιοδήποτε από τα nκουτιά, • η δεύτερη μπάλα σε οποιοδήποτε από τα n -1 κουτιά και • η r-οστή μπάλα σε οποιοδήποτε από τα εναπομείναντα (n –r +1)κουτιά, ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν οι μπάλες θα είναι n*(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1) = n! / (n-r)!

20. Quiz • Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να μετακινηθούν δύο από τα τρία αντικείμενα a,b,c; a b (c) a c (b) b c (a) b a c a c b

21. Παράδειγμα • Πόσοι είναι οι τετραψήφιοι δεκαδικοί αριθμοί που δεν περιέχουν επαναλαμβανόμενα ψηφία;

22. Παράδειγμα(συνέχεια) • Αφού αυτό είναι ένα πρόβλημα διάταξης 4 από τα 10 ψηφία 0,1,2,..,9, θα έχουμε 5040 Προσέξετε όμως: από αυτούς τους 5040 αριθμούς κάποιοι έχουν μηδενικό στην πρώτη θέση. Αυτούς πρέπει να τους αφαιρέσομε μια και ψάχνομε τετραψήφιους αριθμούς. Αυτοί είναι συνολικά 9 * 8 * 7 = 504. Συνεπώς, 5040 – 504 = 4536 από αυτούς δεν έχουν μηδενικό στην πρώτη θέση ούτε επαναλαμβανόμενα ψηφία

23. Ορισμός Στα πλαίσια της μετάθεσης αντικειμένων, λέμε ότι αν υπάρχουν nδιακριτά είδη αντικειμένων με άπειρη προμήθεια από κάθε είδος, τότε υπάρχουν n r τρόποι να διαταχθούν rαντικείμενααπό τα nαυτά είδη αντικειμένων, γιατί υπάρχουν nεπιλογές αντικειμένου για την πρώτη θέση, nεπιλογές αντικειμένου για τη δεύτερη θέση, …, και nεπιλογές αντικειμένου για τη θέση r.

24. Παράδειγμα • Αν κάθε κουτί μπορεί να χωρέσει όσες μπάλες θέλουμε, πόσοι τρόποι υπάρχουν για να τοποθετήσουμε rέγχρωμες μπάλες σε n αριθμημένα κουτιά, θεωρώντας ότι η κάθε μπάλα θεωρείται διαφορετική από τις άλλες, έχουμε δηλαδή διακριτά αντικείμενα? n rτρόποι. Διακρίνετε τα πειράματα που εκτελούνται και τον κανόνα εφαρμόζετε.

25. Ορισμός Στα πλαίσια της μετάθεσης αντικειμένων, λέμε ότι υπάρχουν κ!/ (q1!q2!...qν!) τρόποι για να διατάξουμε κ αντικείμενα, από τα οποία q1είναι ενός πρώτου είδους, q2είναι ενός δεύτερου είδους,… , και qν είναι ενός ν-οστού είδους .

26. Παράδειγμα Έστω ότι θέλουμε να τοποθετήσουμε τέσσερις μπάλες, δύο κόκκινες, μία μπλε και μία άσπρη σε 10 αριθμημένα κουτιά. Υποθέτουμε ότι αλλοιώνουμε ελαφρώς το χρώμα μίας εκ των δύο κόκκινων μπαλών ώστε αυτές να ξεχωρίζουν. Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός των τρόπων τοποθέτησης των 4 μπαλών στα 10 κουτιά είναι P(10,4) =5040.

27. Παράδειγμα (συνέχεια) • Ανάμεσα σε αυτές τις 5040 τοποθετήσεις ας θεωρήσουμε • την τοποθέτηση στην οποία η ανοιχτή κόκκινη μπάλα είναι στο πρώτο κουτί, η σκούρα κόκκινη μπάλα στο δεύτερο κουτί, η μπλε στο τρίτο και η άσπρη στο τέταρτο • καθώς και την τοποθέτηση στην οποία η σκούρα κόκκινη μπάλα είναι στο πρώτο κουτί, η ανοιχτή κόκκινη μπάλα είναι στο δεύτερο, η μπλε στο τρίτο και η άσπρη στο τέταρτο. • Αν δεν ξεχωρίζουμε τις δύο αποχρώσεις του κόκκινου, οι δύο αυτοί τρόποι τοποθέτησης στην πραγματικότητα γίνονται ένας.

28. Παράδειγμα(συνέχεια) Πράγματι οι 5040 μεταθέσεις μπορούν να ζευγαρωθούν με έναν παρόμοιο τρόπο, ώστε κάθε ζεύγος τοποθετήσεων να γίνεται μία, όταν δεν ξεχωρίζουμε τις αποχρώσεις του κόκκινου. • Άρα συνολικοί τρόποι τοποθέτησης δύο κόκκινων, μιας μπλε και μιας άσπρης μπάλας σε 10 αριθμημένα κουτιά 5040/2 = 2520

29. Παράδειγμα(συνέχεια) • Αν στο ίδιο πρόβλημα είχαμε τρεις κόκκινες μπάλες τότε οι συνολικοί τρόποι τοποθέτησης θα ήταν P(10,5)/3! = 5040

30. Γενικότερα • Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν rμπάλες του ίδιου χρώματος σεnαριθμημένα κουτιά είναι • Η ποσότητα συμβολίζεται επίσης και C(n,r)

31. Παράδειγμα • Έστω ότι θέλουμε να τοποθετήσουμε τρεις μπάλες όλες βαμμένες κόκκινες, σε 10 κουτιά που είναι αριθμημένα1,2,3…,10. • Θέλουμε να γνωρίζουμε τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν οι μπάλες, αν κάθε κουτί μπορεί να χωρέσει μόνο μία μπάλα. • Απάντηση 10 * 9 * 8/ 3!

32. Παράδειγμα • Υποθέστε ότι μια οικονόμος ενός σπιτιού θέλει να προγραμματίσει τρεις φορές την εβδομάδα μακαρόνια για βραδινό. Φανταστείτε τα μακαρόνια για βραδινό ως τρεις μπάλες και τις επτά ημέρες της εβδομάδας ως επτά κουτιά. • Τότε ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γίνει το πρόγραμμα είναι 7!/ 3!4! = 35

33. Ορισμός Το πρόβλημα της επιλογής • r αντικειμένων από nδιαφορετικά αντικείμενα, • όταν επιτρέπονται επαναλαμβανόμενες επιλογές, μπορεί να το δει κανείς όπως αυτό της • τοποθέτησης r σημαδιών σεnδιαφορετικά αντικείμενα, • με τη δυνατότητα κάθε αντικείμενο να μπορεί να σημαδευτεί οσεσδήποτε φορές.

34. Ορισμός (συνέχεια) • Γι’ αυτό ο αριθμός επιλογών rαντικειμένων από n διαφορετικά αντικείμενα όταν επιτρέπονταιεπαναλαμβανόμενες επιλογές, είναι

35. Παράδειγμα • Υποθέστε ότι θέλουμε να τοποθετήσουμε rμπάλες του ίδιου χρώματος σε nαριθμημένα κουτιά, επιτρέποντας να μπουν σε κάθε κουτί όσες μπάλες θέλουμε. Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να τοποθετήσουμε τις μπάλες είναι

36. Παράδειγμα(συνέχεια) • Ένας εύκολος τρόπος για να καταλήξουμε σε αυτό το αποτέλεσμα, είναι να θεωρήσομε το πρόβλημα στο οποίο διατάσσουμε n + 1 άσσους και rμηδενικά, όταν τοποθετούμε έναν άσσο στην αρχή και έναν στο τέλος κάθε διάταξης. • Αν θεωρήσουμε τα 1 ως εσωτερικές διαμερίσεις των κουτιών και τα 0 ως μπάλες, κάθε τέτοια διάταξη αντιστοιχεί σε έναν τρόπο με τον οποίο τοποθετούμεrμπάλες του ίδιου χρώματος σε nαριθμημένα κουτιά.

37. Παράδειγμα(συνέχεια) • Για παράδειγμα, αν n =5 και r =4, η ακολουθία 1011001101 μπορεί να θεωρηθεί ως μία τοποθέτηση τεσσάρων μπαλών σε πέντε κουτιά, όπου έχουμε μία μπάλα στο πρώτο κουτί, καμία μπάλα στο δεύτερο κουτί, δύο μπάλες στο τρίτο κουτί, καμία μπάλα στο τέταρτο κουτί και μία μπάλα στο πέμπτο κουτί.

38. Παράδειγμα(συνέχεια) • Ο αριθμός λοιπόν των τρόπων διάταξης rμηδενικών και n + 1άσσων, με άσσους και στα δύο άκρα της διάταξης είναι:

39. Γενικά Σχόλια Όταν πρόκειται να λύσετε ένα πρόβλημα συνδυαστικής, χρειάζεται να προσέξτε • Εάν έχετε συλλογή από διακριτά αντικείμενα ή εάν τα αντικείμενα είναι όμοια • Εάν η συλλογή αποτελείται από άπειρα αντικείμενα • Εάν για την κατασκευή του ζητούμενου ενδιαφέρει η σειρά (κατάταξη, συγκεκριμένη θέση) των αντικειμένων ή όχι. • Εάν επιτρέπονται οι επαναλήψεις αντικειμένων ή όχι • Εάν ναι, ελέγχετε εάν στο σύνολο που έχετε δημιουργήσει υπάρχουν επαναλήψεις που θα πρέπει να αφαιρεθούν