第四章静态场中的边值问题

第四章 静态场中的边值问题

解边界值问题的方法： 1、理论计算方法 ◆ 解析法 ◆ 近似计算法数值计算法图解法 2、场的实验研究方法： ◆ 直接测量法 ◆ 电模拟法

4.1 问题的分类 一、分布型问题 • (1) 已知场源分布，求解电场或磁场。 • (2) 已知电场（或电位）、磁场分布，反推场源。二、边值型问题 • 边值型问题究竟是什么？ • 边值型问题都有哪些类型？ • 怎样保证边值型问题有且仅有惟一解？（惟一性定理）

静态场边值型问题：已知场量（或其位函数）在场域边界上的值（含法向导数），求解场域内部任一点的场量。静态场边值型问题：已知场量（或其位函数）在场域边界上的值（含法向导数），求解场域内部任一点的场量。 • 定解条件=泛定方程+边界条件+初始条件。 • 衔接条件：在场域内，媒质参数必须是已知的，但允许它们突变（即存在不同媒质的分界面）或渐变（是空间坐标的函数）。在不同媒质分界面的两侧，场量（或其位函数）应满足边值关系，在偏微分方程定解问题中常被称为衔接条件。

静态场边值问题解满足3个条件： • (1)对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面上的点）泛定方程成立； • (2)在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边值关系（衔接条件）成立； • (3)对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合给定的边界条件。

边值型问题的分类方法 （以电位函数的泊松方程为例） • 第一类边值问题的特征：已知全部边界上任一点的电位。为狄里赫利问题（Dirichlet）。 • 第二类边值问题的特征：已知全部边界上任一点的电位的法向导数。称为诺埃曼问题(Neumann)。 • 第三类边值问题的特征是：已知部分边界上任一点的电位和另一部分边界上任一点的电位的法向导数。称为混合边值问题(Robbin)。

4.2 惟一性定理 • 惟一性定理：在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解唯一【反证法】假如存在两个满足相同边界条件的不同解和令在场域内，u满足拉普拉斯方程在边界上，要么（第一类边值问题），要么（第二类边值问题）。令格林第一恒等式（1-157）中的，即

因为，并且u（或u的法向导数）沿 处处等于0，上式简化为即u梯度等于0。故在场域内，u=常数。对于第一类边值型问题，电位不可跃变，故在场域内，u=0，从而。 • 故对于第一类边值问题，电位的解惟一 • 对于第二类边值型问题，u未必是0，可以是任一常数，但对于电场强度和电位移矢量来说，解仍然是惟一的，因为常数的梯度恒等于0。

说明： ① 第一、二、三类边值问题是适定的因为它们对边界条件提出的要求既是充分的也是必要的。求解时先判断问题的边界条件是否足够，当满足必要条件时，则可断定解是唯一的。用不同方法得到的形式上不同的解是等价的。 ② 定理说明：只要能够找一个满足边界条件的位函数，且这个位函数又满足拉普拉斯方程，则这就是所求的解。

4.2 直角坐标中的分离变量法 ◆分离变量法：通过偏微分方程求解边值问题。 ◆基本思想： 1.要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合，或者至少分段地与坐标面相合； 2.在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，其中的每个函数分别仅是一个坐标的函数。 3.通过分离变量将偏微分方程化为常微分方程求解。

◆ 二维问题的分离变量过程： • 若边界面形状适合用直角坐标表示，则在直角坐标系中求解，以二维的拉普拉斯方程为例，求解电位函数，设，电位函数满足（4-1） • 待求的电位函数用二个函数的乘积表示为（4-2）将式（4-2）代入式（4-1），得

用除上式，得 （4-3） • 上式成立的唯一条件是二项中每项都是常数，故有（4-4）（4-5） • 为分离常数，是待定的常数，须满足（4-6 ）

1.当时 方程（4-4）和(4-5)的解为方程（4-1）的解为 (4-7) • 2.当 , 时, 方程（4-5）和(4-6)的解为 (4-8) (4-9a）或

所以 (4-10a) 或 (4-10b) • 3.当 , 时，同理可得（4-11a）（4-11b） • 综上所述： a：当时，偏微分方程（4-1）的通解为

(4-12a） 或（4-12b） • b.当时，偏微分方程（4-1）的通解为（4-13a）

或（4-13b） • 拉普拉斯方程的解：然后根据所给定的边界条件定出满足所有边界条件的具体问题的解（包括待定常数和分离常数）。

4.3 圆柱坐标系中的分离变量法 • 对二维平面场，即与无关的情形，拉普拉斯方程变为（4-25）设解具有，代入上式化简（4-26） • 要上式对所有的r、值成立，须每项都等于常数。令第一项等于（），得

（4-27） （4-28） • 1.当时，（4-27）的解为 • 2.当时，（4-27）的解为 • 如果所讨论的空间包含从0→2，因为必须是单值的，即，（4-29）

（4-28）式变为 （4-30）即（4-31） • 式（4-31）为欧拉方程，场与无关。 • 1.当时，（4-31）式的解为 • 2.当时，（4-31）式的解为（4-32）

圆柱坐标中二维场的的通解 （4-33） • 由于（K为整数），所以（4-33）式中的

4.4 球坐标系中的分离变量法 • 讨论场问题与坐标无关时：与坐标无关的拉普拉斯方程为（4-47）令，代入上式得

得到关于和的常微分方程： （4-48）（4-49） • 引入一个新的自变量，有式（4-49）可变为（4-50）这是勒让德方程。

对于x的变化范围从1到-1的情况，勒让德方程有一个有界解对于x的变化范围从1到-1的情况，勒让德方程有一个有界解（4-51）称为勒让德多项式。方程（4-48）是欧拉方程，其解为 • 方程（4-47）的通解为（4-52） • 该式的系数由问题的边界条件确定。

勒让德多项式的前几项： • 勒让德多项式具有正交性

4.5 镜像法 ◆ 镜像法的基本思想： 1.电场区域外某个位置上，有一假想镜像电荷。 2.电荷的引入不改变所求电场区域的场方程，镜像电荷产生的电场与导体面(或介质面)上的感应电荷(或极化电荷)产生的电场等效。 3.镜像电荷代替导体面(或介质面)上的感应电荷(或极化电荷)后：首先所求电场区域内的场方程不变，其次给定的边界条件仍满足，

由静电场的惟一性定理：用镜像电荷代替后所解得 的电场必是唯一正确的解。 ◆ 镜像法的实质：将静电场的边值问题转化为无界空间中计算电荷分布的电场问题。 • 在区域外的假象电荷（或电流）称为镜像电荷（或电流），大多是一些点电荷或线电荷（二维平面场情况）。 • 镜像法往往比分离变量法简单，容易写出所求问题的解，但它只能用于一些特殊的边界情况。

应用镜像法求解的关键： 如何确定像电荷镜像电荷的确定应应遵循以下两条原则：（根据唯一性定理） • (1) 所有的镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中。 • (2) 镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小由满足场域边界上的边界条件来确定。

一、静电场中的镜像法 • 1. 平面边界的镜像法 • 【例4-6】设在无限大导体平面( )附近有一点电荷，与平面距离为，导体平面是等位面，假设其电位为零，如图4-6所示。求上半空间中的电场。（a）（b）图4-6 平面边界的镜像法

【解】 1.在的上半空间内，除点电荷外，电位满足拉普拉斯方程； 2.由于导体接地，所以在处，。 3.设导体平面不存在，在平面与点电荷对称地放置一点电荷(相反电荷)，则平面仍为零电位面。 4.在的上半空间内，图4-6（a）和图4-6（b）具有相同的电荷分布。根据唯一性定理，图4-6（a）中上半空间的电位分布与图4-6（b）的上半空间电位分布相同。可用和其像电荷()构成的系统来代替原来的边值问题。上半空间内任意点的电位为

（4-66） • 由（4-66）式，可求出平面导体上的感应电荷密度为（4-67） • 导体平面上总的感应电荷为（4-68） • 可见：导体平面上总的感应电荷恰好等于所设置的镜像电荷。

【例4-7】如图4-7所示， 为无限大接地的导电（平面（电壁），在处有一无限长均匀带电的细直导线，导线与y轴平行且经过直角坐标（0，0，h）点，求上半空间（）场的电位函数。图4-7 线电荷的平面镜像

【解】电壁的作用可以等效为：镜像位置 处的镜像线电荷（线电荷密度不变，但极性相反）。设细直导线的电荷密度为，则镜像线电荷密度为。这时，带电体系在空间的电位为式中 • 不能选为无穷远点。同样

式中， • 所以

2. 角形区域的镜像法 图4-9所示为相交成直角的两个导体平面AOB附近的一个点电荷的情形，也可以用镜像法求解。图4-9 点电荷对角形区域的镜像

q在OA面的镜像为在 点的-q，又q在OB面的镜像为在点的-q，这样并不能使OA和OB平面成为等位面。若在点处再设置一个电荷q，则一个原点电荷和三个像电荷共同的作用将OA和OB保持相等电位能满足原来的边界条件，故所求区域内任一点的电位函数 • 不仅相交成直角的两个导体平面间的场可用镜像法求解，所有相互成的两块半无限大接地导体平面间的场都可用镜像法求解，像电荷个数为。例如，两块半无限大接地导体平面角域内点电荷的像电荷，如图4-10所示。

图4-10 夹角为两块半无限大接地导板的镜象

3. 球面边界的镜像法 • 基本思想：当一个电荷位于导体球面附近时，导体球面上会出现感应电荷，球外任一点的电位由点电荷和感应电荷共同产生。这类问题仍用镜像电荷来代替分界面的感应电荷对电位的贡献，出发点仍是在所求解区域内，电位函数满足方程和边界条件。

【例4-9】设一点电荷与半径为a的接地导体球心相距，如图4-11所示。试推导球外的电位函数。【例4-9】设一点电荷与半径为a的接地导体球心相距，如图4-11所示。试推导球外的电位函数。图4-11 点电荷对接地导体球的镜像

【解】: 接地后，球上只剩下同异号的感应电荷。球面上感应电荷分布在面对的一侧密度较大，设想在点有一个镜像电荷，点是在OP1线上偏离球心的一点，设与球心距离为。 • 根据镜像法，将原导体球移去，及像电荷在原球面上任一点处产生的电位应为零。即 • 在球面上取两特殊点，上式转化为

由以上两个方程解得 • 球外任意点的电位为式中，

这样可求得电场的分量为 • 时，球面上的感应电荷密度为

球面上总感应电量为 导体上总的感应电荷量等于像电荷的电荷量。 • 在上述问题中，若导体球不接地，球面上除了分布有感应负电荷外，还分布有感应正电荷，且球面的净电荷为零，此时导体球的电位不为零，为保持球面是等位面还需在球上再加上一个镜像电荷；且此必须放在球心处，如图4-12所示。

图4-12 点电荷对不接地导体球的镜像 • 这种情况下球外任意点的电位为此时球的电位等于在球面上产生的电位 • 它等于球不存在时在O点时产生的电位。

4. 柱面边界的镜像法 【例4-10】线电荷密度为的无限长带电直线与半径为a的接地无限长导体圆柱的轴线平行，直线到圆柱轴线的距离为，如图4-13所示。求圆柱外空间的电位函数。图4-13 线电荷对接地导体球的镜像

【解】导体圆柱在线电荷的电场作用下，柱面上会出现感应电荷。柱外空间任一点的电位等于线电荷和感应电荷分别产生的电位的迭加。显然，柱面上感应电荷在离线电荷近的一侧多，离线电荷远的一侧少，且其分布具有对称性。假设在与圆柱轴线的距离为，且平行于轴线方向上放置一条镜像线电荷，密度为，可由边界条件确定之。 • 圆柱外空间一点电位为 • 由于圆柱接地，圆柱面上电位为零，设图4-13中的，则

上式对任意值均成立，在上式两端对 求导可得比较等式两端相应项的系数，可得 • 联解以上两式可得后一组解不合理，应舍去。

圆柱外任一点的电位为 • 由时，可求得 • 圆柱面上的感应电荷密度为 • 圆柱面上单位长度的感应面电荷为

二、静磁场中的镜像法 • 静磁场的边值问题也可用镜像法求解。【例4-11】设分界面为平面的两个半无限大空间中，分别充满磁导率为和的两种均匀介质，在介质1中存在一平行于分界面的长直线电流I，与分界面的距离为d，试求空间的磁场。【解】采用直角坐标系，取分界面为平面，电流沿y方向流动，如图4-14(a)所示。求解上半空间的磁场时，以分界面为对称面，在原电流的对称位置上用一镜像电流代替分界面上的磁化电流。这样，可以为整个空间充满磁导率为的

均匀介质，如图4-14(b)所示。因此，区域1内任一点P的矢量磁位为均匀介质，如图4-14(b)所示。因此，区域1内任一点P的矢量磁位为图4-14 电流的镜像

求解上半空间的磁场时，也可用镜像电流来等效地代替分界面上的磁化电流。根据镜像法，镜像电流只能在区域1内，如图4-14 (c )所示。区域2内任一点P的矢量磁位为 • 镜像电流和可由边界条件确定，在分界面（）上 • 从而得到

第四章 静态场中的边值问题