特殊与一般思想

1. 初三数学专题 特殊与一般思想 张家港市崇实初级中学 冉博

2. 特殊与一般思想 人们认识世界总是从特殊到一般，再由一般到特殊，数学研究也不例外，由特殊到一般，再由一般到特殊的基本认识过程，就是数学研究中的特殊与一般思想.

3. 思考： 解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想 = ; （2）证明你猜想的结论； （3）求和： 从特殊性结果归纳出一般性结论 1.（2011山东济宁）观察下面的变形规律：

4. 从特殊性结果归纳出一般性结论 2.(2011湖北黄石)平面上不重合的两点确定一条直线，不在同一直线上的三点最多可确定 3条直线，则： 不在同一直线上的四点最多可确定条直线， 不在同一直线上的五点最多可确定条直线， 不在同一直线上的 n点最多可确定条直线， 若不在同一直线上的n个点最多可确定21条直线．则n的值为. 6 10 7 n=7或n=﹣6（舍去）

5. D C O A B 从特殊性结果归纳出一般性结论 3.已知四边形ABCD两条对角线分别为a和b， 如图所示： （1）当四边形ABCD为正方形时，S=；

6. D C A O B 从特殊性结果归纳出一般性结论 3.已知四边形ABCD两条对角线分别为a和b， 如图所示： （1）当四边形ABCD为正方形时，S=； （2）当四边形ABCD为菱形时，S=；

7. D C O A B 从特殊性结果归纳出一般性结论 3.已知四边形ABCD两条对角线分别为a和b， 如图所示： （1）当四边形ABCD为正方形时，S=； （2）当四边形ABCD为菱形时，S=； （3）当四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形时， S=；

8. 从特殊性结果归纳出一般性结论 3.已知四边形ABCD两条对角线长分别为a和b， 如图所示： （1）当四边形ABCD为正方形时，S=； （2）当四边形ABCD为菱形时，S=； （3）当四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形时， S=； （4）猜想：当四边形时， 面积=； （5）证明你的结论. 对角线互相垂直 对角线乘积的一半

9. C D O A B 从特殊性结果归纳出一般性结论

10. D A C O B 从特殊性结果归纳出一般性结论 当四边形对角线AC⊥BD，且DB平分AC时， 得到的图形叫做“筝形”.

11. 1 O A B C E 用特殊化方法解决一般性问题 1.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，且∠CAE=∠B. （1）试说明AE与⊙O相切于点A； ∴AE与⊙O相切于点A

12. 用特殊化方法解决一般性问题 1.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，且∠CAE=∠B. （1）试说明AE与⊙O相切于点A； （2）若AB是⊙O非直径的弦， 且∠CAE=∠B，AE还与⊙O相切于点A吗？试画出图形，并说明理由.

13. B O O A A B E C E C 图3 图2 用特殊化方法解决一般性问题 （2） △ABC内接于⊙O，AB是⊙O非直径的弦， 且∠CAE=∠B，AE还与⊙O相切于点A吗？画出图形，说明理由. D D

14. C’ D’ C’ D C C C A’ A B A B B D A (A’) 图1 图2 用特殊化方法解决一般性问题 2.（2011盐城）将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A’C’D’，如图1所示.将△A’C’D’的顶点A’与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A’）、B在同一条直线上，如图2所示. 观察图2可知，与BC相等的线段是，∠CAC’=. A’D’ 90°

15. E P Q F A B C G 图3 用特殊化方法解决一般性问题 如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E，F作射线GA的垂线，垂足分别为P，Q.试探索EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

16. E H F A M N B C G 图4 用特殊化方法解决一般性问题 如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB，AC为一向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF.试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

17. 归纳总结 “特殊与一般”是初中数学的一种重要的数学思想和方法，在解决问题时，以特殊问题为起点，抓住数学问题的特点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，揭示规律，并由此推广到一般，从解决特殊问题的规律中，寻求解决一般问题的方法和规律，又用以指导特殊问题的解决，从而进一步加深对特殊问题与一般问题相互联系的认识和理解.

18. 如图所示，在△ABC中，∠A=90°，点D在线 段BC上，∠EDB= ∠C，BE⊥DE ，垂足为E， DE与AB相交于点F. （1）当AB=AC时，如图（a）所示； ①∠EBF=； A E F C B D 图（a） 课后思考 22.5° 45° 45° 22.5°

19. （1）当AB=AC时，如图（a）所示； ②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明； A G H E F C B D 图（a）

20. （2）当AB=kAC时，如图（b）所示，求的 值（用含k的式子表示） A E F C B D 图（b）

21. D A E O B C （a） 思维发散 1.（1）如图中的图（a）所示，在△ABC中，分别以AB、AC为边，向△ABC外作等边三角形，BE、CD相交于点O. ①如图（a）所示，求证：△ABE≌△ADC； ②探究：∠BOC=； 120°

22. D F E O A G C B （b） 如图（b）所示，若向△ABC外作正方形， 探究：∠BOC=， 90°

23. F D E O G H A I B C （c） 如图（c）所示，若向△ABC外作正五边形， 探究：∠BOC=， 72°

24. O D E A C B （d） （2）如图（d）所示，已知：AB、AD是以AB为边向△ABC外作正n边形的一组邻边；AC、AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边.BE、CD的延长线相交于点O. ①猜想：∠BOC=. （用含n的式子表示）； ②证明你上述的猜想.

25. F D C E O A B 思维发散 2.如图所示，（1）如图（a）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°，求证：BE=CF； 图（a）

26. F D C H O G B A E （2）如图（b），在正方形ABCD中，点E、H 、F、G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O， ∠FOH=90°，EF=4，求GH的长； 图（b）

27. F D C H O G A B E （3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O， ∠FOH=90°，EF=4.直接写出下列两题的答案： ①如图（c），矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长； 图（c）

28. F D C H G O B A E （3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O， ∠FOH=90°，EF=4.直接写出下列两题的答案： ②如图（d），矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长（用n的代数式表示）； 图（d）

29. E F M A B C D 思维发散 3.如图所示，抛物线E： 交x轴于A、B两点，交y轴于点M，抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点. （1）求抛物线F的解析式； 3 -3 -1 3 1

30. （3）若将抛物线E的解析式改为 ， 试探索问题（2）. 3.如图所示，抛物线E： 交x轴于A、B两点，交y轴于点M，抛物线E关于轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点. （2）在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C、 M 、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由. E F 3 M N’ N -3 -1 3 1 - 4 A B C D 4

31. 思维发散 4.（2011浙江金华）在平面直角坐标系中，如图，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C. （1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；

32. （2）当n＝2时，如图，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（2）当n＝2时，如图，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式； （2,1）

33. y x （3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O， ①试求出当n=3时a的值； ②直接写出a关于n的关系式.

34. 思维发散 5.（2011湖北潜江）如图，已知直线l： ， 过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线 交y轴于点A2；…； 按此作法继续下去， 则点A4的坐标为， 点An的坐标为. OA=1 OB=2 OA1=4 OB1=8 OA2=16 OB2=32 OA3=64 OB3=128 OA4=256 256 1