La PROBABILITA’

1. La PROBABILITA’ è … lo studio delle caratteristiche di regolarità dei fenomeni casuali

2. Sono fenomeni casuali • Il lancio di un dado • L’estrazione di una pallina numerata da un’urna • Il lancio di una moneta • Il diffondersi di un’epidemia

3. Un fenomeno complesso che si ripete più volte può essere studiato come aleatorio, dal latino “alea”

4. Il calcolo delle probabilità permette di associare ad “eventi futuri” un modello di tipo non deterministico, uno strumento che rende razionale il comportamento dell’uomo di fronte all’incertezza: quando i fatti osservabili non sono prevedibili e si devono prendere decisioni in base ad ipotesi riguardanti le modalità di eventi futuri

5. E se gli eventi futuri ai quali sono legate le nostre decisioni .. • sono ripetibili, in condizioni che possiamo ritenere uniformi, permette di fare previsioni quantitative e di regolare il nostro comportamento in modo da ottimizzare certe situazioni, che possiamo rappresentare mediante opportune “funzioni obiettivo” ( es lancio di un dado) • NON sono ripetibili: serve a giustificare il nostro comportamento e a controllarne eventualmente la coerenza ( es: epidemie…)

6. Un modello si dice deterministico • Se tutte le informazioni relative alla situazione che si sta esaminando in un istante permettono di determinare con certezza, con leggi semplici, quale sarà la situazione dopo qualsiasi intervallo di tempo; CIOE’ • le grandezze in ingresso x i ( le condizioni iniziali) permettono di calcolare le grandezze in uscita y i

7. La funzione associata ad un modello deterministico è f x0 y0

8. Un modello si dice non deterministico • se non è possibile determinare a priori con certezza il valore della variabile in uscita y i, ma si sa che essa assumerà uno dei valori di un insieme di eventi, chiamati eventi casuali

9. In un fenomeno aleatorio: • Tutti i possibili risultati sono punti dello spazio campione W • Ogni evento è un sottoinsieme dello spazio W • L’evento certo è lo spazio W • L’evento impossibile è F, l’insieme vuoto • E’ un evento il risultato di qualsiasi operazione tra i sottoinsiemi di W

10. Esempio: Lancio di un dado W • W Spazio campione • Evento:” uscita di un numero pari” • L’evento: “uscita di un numero pari”può essere considerato come unione di eventi singoli 1 5 3 2 4 6

11. Evento - risultato • Nel lancio del dado l’evento: “uscita di un numero pari” ha come risultato x, un valore tra i tre possibili: 2 4 X= 6

12. X: variabile casuale • Si chiama variabile causale una variabile x che può assumere uno tra gli n valori possibili. x1 x2 … X= xm

13. La variabile casuale x Può variare tra un insieme di punti dello spazio campione: • Finito • Infinito numerabile • Infinito non numerabile che sono distribuiti in un dato intervallo in modo continuo o discreto

14. La funzione P: A P(A) Associa ad ogni sottoinsieme A di W , l’insieme di punti-evento, un numero reale, che soddisfa ai seguenti assiomi:

15. Assiomi: • A1 : • A2 : • A3 : Se Ai e Aj sono eventi incompatibili, cioè allora

16. I simboli… • W Insieme punti-evento • F = {A1, A2, …, An} successione finita o no, di eventi a due a due incompatibili • P Numero reale • Spazio di probabilità

17. Teorema 1 • Se valgono A1 : e A2 : Allora la probabilità è un numero compreso tra zero e uno dim-th1.ppt

18. Teorema 2probabilità dell’evento impossibile La probabilità dell’evento impossibile è zero dim-th2

19. Teorema 3probabilità dell’evento complementare Un evento A e il suo complementare riempiono lo spazio campione Può essere formulato: • P(A) + P( )=1 oppure: • P(A B) + P(B ) = P(B)

20. W A B Teorema 4probabilità di eventi non disgiunti • Se A e B sono eventi:

21. Eventi indipendenti Definizione: Gli eventi A e B sono indipendenti se:

22. Teorema 5probabilità di eventi indipendenti Gli eventi A, B, C sono indipendenti se e solo se: • Sono indipendenti a due a due

23. Probabilità condizionata P(A|H) Definizione: Dato uno spazio di probabilità e due eventi H (che chiamiamo ipotesi o condizione), tale che P(H) 0, e A, la probabilità condizionata di A dato H è:

24. Eventi indipendenti Due eventi A e B sono indipendenti se il conoscere che uno si è verificato non altera la probabilità del verificarsi dell’altro. In questo caso le tre leggi sono equivalenti:

25. Teoremi della probabilità condizionata

26. Teoremi della probabilità condizionata • Legge del condizionamento ripetuto • Legge delle alternative • Legge condizionata delle alternative • Legge delle probabilità composte • Legge di Bayes o probabilità delle cause

27. Legge del condizionamento ripetuto

28. Legge delle alternative Un insieme di alternative è una partizione dell’insieme (incompatibilità) (esaustività) per ogni indice i

29. Legge condizionata delle alternative • Gli eventi H sono un insieme di alternative per H quando: (incompatibilità) • (esaustività) • per ogni indice i

30. Legge delle probabilità composte

31. Legge di Bayes o probabilità delle cause