PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA MÉTODO SIMPLEX

1. PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA MÉTODO SIMPLEX Professor: D.Sc. Dalessandro Soares Vianna dalessandrosoares@yahoo.com.br dalessandro@ucam-campos.br dalessandro@pesquisador.cnpq.br

2. Agradecimentos • O material apresentado durante este curso é baseado nas notas de aula dos professores: • Edwin Benito MitaccMeza e • Fermín Alfredo TangMontané, • professores do programa de Mestrado em Pesquisa Operacional e Inteligência Computacional da Universidade Candido Mendes - Campos.

3. Solução de Modelos de PL Método Gráfico Método Simplex Método Simplex Dual

4. Método Simplex

5. Método Simplex É um procedimento iterativo que permite ir melhorando a solução de um PPL a cada passo. O processo termina quando não é possível seguir melhorando uma determinada solução.

6. Método Simplex É um procedimento iterativo que permite ir melhorando a solução de um PPL a cada passo. O processo termina quando não é possível seguir melhorando uma determinada solução. Caminha pelos vértices até encontrar uma solução que não possua soluções vizinhas melhores que ela Parte do valor da F.O. de um vértice qualquer que pertença a o espaço de soluções viáveis.

7. Método Simplex • A solução ótima pode não existir: • Quando não há uma solução viável (restrições incompatíveis); • Quando não há um valor máximo (ou mínimo) da F.O. (1 ou mais variáveis tendem ao infinito e as restrições continuarem sendo satisfeitas).

8. Fundamentos O modelo de um PPL pode ser resolvido pela solução de um sistema de equações lineares Transformação de um PPL em um sistema de equações equivalentes FORMA CANÔNICA FORMA PADRÃO

9. Procedimentos (forma canônicaforma padrão) 14 8 Para restrições de desigualdade “”: A conversão é feita adicionando à equação uma variável artificial fj0. Para restrições de desigualdade “”: A conversão é feita subtraindo à equação uma variável artificial fj0.

10. Procedimentos (forma canônicaforma padrão) FORMA CANÔNICA FORMA PADRÃO Variáveis: n=5 O problema se transformou em encontrar uma solução de um sistema de equações lineares que maximize a F.O. Restrições: m=3 n > m

11. Método de Enumeração das Soluções Básicas Analisando, podemos dizer que atribuir zero a uma variável significa não produzir um dos produtos ou utilizar toda a disponibilidade de recursos. (n-m) variáveis iguais a zero  solução básica O número de soluções básicas possíveis soluções básicas possíveis

12. Método de Enumeração das Soluções Básicas Variáveis não básicas: São as variáveis zeradas, igual a (n-m) variáveis. Variáveis básicas: São as variáveis cujos valores são calculados pelo sistema de equações. 1ª Combinação: Variáveis Não Básicas: Variáveis Básicas: Solução Básica: Solução Viável !!!

13. Método de Enumeração das Soluções Básicas 2ª Combinação: Variáveis Não Básicas: Variáveis Básicas: Não existe Base Associada !!!! Solução Básica: Não existe !!! 3ª Combinação: Variáveis Não Básicas: Variáveis Básicas: Solução Básica: Solução Viável !!! 4ª Combinação: Variáveis Não Básicas: Variáveis Básicas: Solução Básica: Solução Inviável !!! Continuar .......

14. Método de Enumeração das Soluções Básicas

15. Método de Enumeração das Soluções Básicas

16. Método de Enumeração das Soluções Básicas No problema vimos que n=5 (número de variáveis) e m=3(número de restrições) tem soluções básicas possíveis No caso de n=10 e m=5teremos: No caso de n=20 e m=10teremos: Problemas de grande porte

17. Desenvolvimento do Método Simplex Método gráfico e enumeração Problemas Reais Inviável Simplex!!! Sistemática? • Qual o sistema de equações que deve ser resolvido; • Qual é o próximo sistema a ser resolvido que fornecerá uma solução melhor que os anteriores; • Como identificar uma solução ótima, uma vez que tenhamos encontrado.

18. Método Simplex - Passo 1 Transformar o PPL da sua forma Canônica para sua forma Padrão. FORMA PADRÃO FORMA CANÔNICA

19. Método Simplex - Passo 2 Montar um quadro para ordenarmos as operações, colocando neles apenas os coeficientes das variáveis. A solução inicial será sempre obtida fazendo as variáveis originais do modelo iguais a zero e achando o valor das demais. Quadro Inicial

20. Método Simplex - Passo 3 Quadro Inicial 4/0= 12/2=6 18/2=9 • Das variáveis não básicas na primeira solução, qual deve-se tornar positiva ? • Das 3 variáveis básicas na primeira solução, qual deverá ser anulado? Deve ser a variável que MAIS CONTRIBUI para o lucro Entra: x2 Será aquela associada à linha que tiver o menor quociente entre o elemento da última coluna e o correspondente elemento da coluna de entrada. Sai: f2

21. Método Simplex - Passo 3 Quadro Inicial EquaçãoPivô Pivô Para a mudança da base (na busca por outra solução) emprega-se 2 operações de cálculo: Na equação do Pivô: Nas demais equações incluindo Z: Gera uma nova solução básica

22. Método Simplex - Passo 3

23. Método Simplex - Passo 3

24. Método Simplex - Passo 3

25. Método Simplex - Passo 3

26. Método Simplex - Passo 3 Quadro I Como nos elementos da ÚLTIMA LINHA (Equação do Z) existe ainda um NÚMERO NEGATIVO, significa que NÃO CHEGAMOS AINDA À SOLUÇÃO ÓTIMA do PPL. Temos que REPETIR o processo.

27. Método Simplex - Passo 3 Quadro I 4/1=4 6/0= 6/3=2 Quadro II

28. Método Simplex - Passo 3 Quadro II Como todas as VARIÁVEIS NA ÚLTIMA LINHA tem COEFICIENTES POSITIVOS foi encontrado a SOLUÇÃO ÓTIMA. SOLUÇÃO ÓTIMA