主编：吴运华高远

主编：吴运华高远 第二篇投影作图 4 基本体的投影

4.1 平面体的投影 4.2 曲面体的投影 4.3 基本体轴测图的画法目录 4 基本体的投影

4 基本体的投影 学习目标 1. 掌握基本体中平面体、曲面体的形成、分类及其投影作图方法； 2. 掌握基本体轴测投影的形成、分类和作图方法； 3. 能够识读基本体投影图和进行尺寸标注； 4. 会在基本体表面取点、取线的空间分析和投影作图。

4 基本体的投影 • 如图4.1所示的房屋是由棱柱、棱锥等组成；如图4.2所示的水塔是由圆柱、圆台等组成。我们把这些组成建筑形体的最简单但又规则的几何体，叫做基本体。图4.1 房屋形体的分析

4 基本体的投影 • 根据表面的组成情况，基本体可分为平面体和曲面体两种，任何复杂形体都是由它们所组成，这些基本体是组成复杂形体的基础。图4.2 水塔形体分析

4.1 平面体的投影 4.1 平面体的投影

4.1 平面体的投影 • 表面由若干平面围成的基本体，叫做平面体。作平面体的投影，就是作出组成平面体的各平面的投影。因此，分析组成立体各表面对投影面的相对位置及其投影特性，对正确作图是很重要的。平面体有棱柱、棱锥、棱台等。

4.1.1 棱柱的投影 4.1 平面体的投影 • 如图4.3所示，有两个三角形平面互相平行，其余各平面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些平面所围成的基本体称为棱柱。 • 两个互相平行的平面称为底面，其余各面称为侧面，两侧面的公共边称为侧棱，两底面间的距离为棱柱的高。当底面为三角形、四边形、五边形等形状时，所组成的棱柱分别为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

4.1 平面体的投影 图4.3 三棱柱

4.1 平面体的投影 图4.4所示为一横放的正三棱柱，即我们常见的两坡面屋顶。图4.4 正三棱柱的投影

4.1.2 棱锥的投影 4.1 平面体的投影 • 由一个多边形平面与多个有公共顶点的三角形平面所围成的几何体称为棱锥。这个多边形称为棱锥的底面，其余各平面称为棱锥的侧面，相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱，各侧棱的公共点称为棱锥的顶点，顶点到底面的距离称为棱锥的高。根据不同形状的底面，棱锥有三棱锥、四棱锥和五棱锥等。图4.5 正三棱锥

4.1 平面体的投影 • 现以正五棱锥为例来进行分析，如图4.6所示。图4.6 正五棱锥的投影

4.1 平面体的投影 • 正五棱锥的特点是：底面为正五边形，侧面为五个相同的等腰三角形。通过顶点向底面作垂线(即高)，垂足在底面正五边形的中心。

4.1 平面体的投影 • 用平行于棱锥底面的平面切割棱锥，底面和截面之间的部分称为棱台，如图4.7所示。棱台体是棱锥体的特例。原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面，其他各平面称为棱台的侧面，相邻侧面的公共边称为棱台的侧棱，上下底面之间的距离称为棱台的高。图4.7 四棱台

4.1 平面体的投影 • 现以正四棱台为例进行分析，如图4.8所示。图4.8 四棱台的投影

4.1 平面体的投影 • 平面体的投影特点是： • (1)平面体的投影，实质上就是点、直线和平面投影的集合。 • (2)投影图中的线条，可能是直线的投影，也可能是平面的积聚投影。 • (3)投影图中线段的交点，可能是点的投影，也可能是直线的积聚投影。 • (4)投影图中任何一封闭的线框都表示立体上某平面的投影。 • (5)当向某投影面作投影时，凡看得见的直线用实线表示，看不见的直线用虚线表示。当两条直线的投影重合，一条看得见而另一条看不见时，仍用实线表示。 • (6)在一般情况下，当平面的所有边线都看得见时，该平面才看得见。平面的边线只要有一条是看不见的，该平面就是不可见的。

4.1.3 平面体投影的画法 • (1)已知四棱柱的底面为等腰梯形，梯形两底边长为a、b，高为h，四棱柱高为H，作四棱柱投影图的方法如图4.9所示。图4.9 四棱柱投影图的画法

4.1 平面体的投影 • (2)已知六棱锥的底边长为L，高为H，作六棱锥投影图的方法如图4.10所示。图4.10 六棱锥投影图的画法

4.1 平面体的投影 • (3)已知三棱台的底边为等边三角形，其中上底边长为b，下底边长为a,高为H,作三棱台的投影图如图4.11所示。图4.11 三棱台投影图的画法

4.1.4 平面体投影图的识读 4.1 平面体的投影 • 平面体投影图的识读方法。 • (1)棱柱的三个投影，其中一个投影为多边形，另两个投影分别为一个或若干个矩形，满足这样条件的投影图为棱柱体的投影。 • (2)棱锥的三个投影，一个投影外轮廓线为多边形，另两个投影为一个或若干个有公共顶点的三角形，满足这样条件的投影是棱锥体的投影。 • (3)棱台的三个投影，一个投影为两个相似的多边形，另两个投影为一个或若干个梯形，满足这样条件的投影为棱台的投影。

4.1.5 平面体表面上的点和直线 4.1 平面体的投影 • 平面体表面上点和直线的投影实质上就是平面上的点和直线的投影，不同之处是平面体表面上的点和直线的投影存在着可见性的判断问题。

4.1 平面体的投影 • 4.1.5.1 棱柱体表面上的点和直线 • 如图4.12所示，在五棱柱(双坡屋面建筑)上有M和N两点，其中点M在前平面ABCD上，点N在平面EFGH上。ABCD平面是正平面，它在正立面上的投影反映实形，为一矩形线框，在水平面和侧立面上的投影是积聚在水平投影和侧面投影的最前端的直线。因此，点M的水平投影和侧面投影都在这两条积聚线上，而正面投影在ABCD正面投影的矩形线框内。

4.1 平面体的投影 图4.12 棱柱体表面上的点

4.1 平面体的投影 • 如图4.13所示，在三棱柱体侧面ABED上有直线MN。该侧面ABED为铅垂面，其水平投影积聚为一直线，正面投影和侧面投影分别为一矩形。因此，直线MN的水平投影mn在三棱柱侧面ABED的水平投影——积聚线上，正面投影和侧面投影在ABED的正面投影和侧面投影内。由于平面ABED的侧面投影不可见，MN的侧面投影也不可见，用虚线表示。

4.1 平面体的投影 图4.13 三棱柱体表面上直线的投影

4.1 平面体的投影 • 4.1.5.2 棱锥体表面上的点和线 • 如图4.14(a)所示，在三棱锥体侧面SAC上有一点K。侧面SAC为一般位置的平面，其三面投影为三个三角形。由于点K在侧面SAC上，因此点K的三面投影必定在侧面SAC的三个投影上。作图时，为了方便，过点K作一直线SE，则点K为直线SE上的点。点K的三面投影应该在直线SE的三面投影上，如图4.14(b)所示。这种作图方法叫做辅助线法。

4.1 平面体的投影 • 当已知点K的一个投影，求作另两个投影时，可先作出辅助线的三个投影，再作点K的另两个投影。图4.14 三棱锥体表面上点的投影

4.1 平面体的投影 • 如图4.15所示，在四棱锥体侧面SAB上有一直线MN。四棱锥侧面SAB为一般位置的平面，其三面投影为三个三角形。直线MN的投影在平面SAB的同面投影内。由于点M在侧棱SA上，点M可按直线上求点的方法求得。点N的投影按一般位置平面上求点的投影方法求得(辅助线法)。然后将M、N点的同面投影连起来即可。由于SAB的侧面投影不可见，直线MN的侧面投影m″n″也不可见，用虚线表示。

4.1 平面体的投影 图4.15 四棱锥体表面上直线的投影

4.1.6 平面体的尺寸标注 4.1 平面体的投影 • 平面体只要标注出它的长、宽和高的尺寸，就可以确定它的大小。尺寸一般注在反映实形的投影上，尽可能集中标注在一两个投影的下方和右方，必要时才注在上方和左方。一个尺寸只需要标注一次，尽量避免重复。正多边形(正五边形、正六边形等)的大小，可标注其外接圆周的直径。平面体的尺寸标注如表4.1所示。

4.1 平面体的投影 表4.1 平面体的尺寸标注

4.2 曲面体的投影 4.2 曲面体的投影基本体的表面是由曲面或由平面和曲面围成的体叫做曲面体。曲面体有圆柱、圆锥、圆台和球体等。

4.2.1 圆柱体的投影 4.2 曲面体的投影 • 如图4.16所示，直线AA1绕着与它平行的直线OO1旋转，所得轨迹是一圆柱面。直线OO1称为导线，AA1称为母线，母线AA1在旋转过程中任一位置留下的轨迹称为素线，因此，圆柱面也可以看作是由无数条与轴平行且等距的素线的集合。如果把AA1和轴OO1连成一矩形平面，该矩形平面绕OO1轴旋转的轨迹就是圆柱体。

4.2 曲面体的投影 • 矩形上下两边AO和A1O1绕OO1旋转时所成的轨迹是圆平面。因此，圆柱体是由两个互相平行且相等的平面圆(即顶面和底面)和一圆柱面所围成。顶面和底面之间的距离为圆柱体的高。图4.16 圆柱体

4.2 曲面体的投影 • 图4.17所示为一圆柱体，该圆柱的轴线垂直于水平投影面，顶面与底面平行于水平投影面。图4.17 圆柱体的投影

4.2 曲面体的投影 • 在同一投影面上两个积聚投影之间的距离为该圆柱体的高。 • 圆柱面是光滑的曲面，其上所有素线都为铅垂线，因此圆柱面也垂直于水平面，其水平投影为与顶面和底面水平投影全等且同心的圆。作正立面投影时，圆柱面上最左和最右两条素线的投影构成圆柱体在正立面上投影的左右两条轮廓线，与顶面和底面在正立面上的投影构成矩形。

4.2.2 圆锥体的投影 4.2 曲面体的投影 • 如图4.18所示，直线SA绕与它相交的另一直线SO旋转，所得轨迹是圆锥面，SO称为导线，SA称为母线，母线在圆锥面上任一位置的轨迹为圆锥面的素线，如SB。图4.18 圆锥体

4.2 曲面体的投影 • 圆锥面也可看作由无数条相交于一点并与导线SO保持一定角度的素线的集合。如果把母线SA和导线SO连成一直角三角形SOA，该平面绕直角边SO旋转，它的轨迹就是正圆锥体。正圆锥体的底面为直线AO绕O点旋转所形成的平面圆。从顶点S到底面圆的距离为圆锥体的高。

4.2 曲面体的投影 • 如图4.19所示，正圆锥体的轴与水平投影面垂直，即底面平行于水平投影面，分析如何作其投影。图4.19 圆锥体的投影

4.2 曲面体的投影 • 圆锥被垂直于轴线的平面所截，所得截面为一圆，该圆与底面圆之间的部分称为圆台，圆台是圆柱体的特例。如图4.20所示，分析如何作其投影：图4.20 圆台的投影

4.2.3 球体的投影 4.2 曲面体的投影 • 如图4.21(a)所示，圆周曲线绕着它的直径旋转，所得轨迹为球面，该直径为导线，该圆周为母线，母线在球面上任一位置时的轨迹称为球面的素线，球面所围成的立体称为球体。 • 球体的投影为三个直径相等的圆。 • 水平投影是看得见的上半个球面和看不见的下半个球面投影的重合。该水平投影也是球面上平行于水平面的最大圆周的投影，该圆周的正面投影和侧面投影分别为平行于OX轴和OY轴的线，长度为球体的直径，构成正面投影和侧面投影的中心线，用单点长画线表示。

4.2 曲面体的投影 • 正面投影是看得见的前半个球面和看不见的后半个球面投影的重合。 • 侧面投影是看得见的左半个球面和看不见的右半个球面投影的重合。图4.21 球的投影

4.2.4 曲面体投影图的画法 4.2 曲面体的投影 • 作曲面体的投影图时，应先用细单点长画线作出曲面体的中心线和轴线，再作其投影。 • (1)圆柱体投影图的画法，如图4.22所示。图4.22 圆柱投影图的画法

4.2 曲面体的投影 • (2)圆锥体投影图的画法，如图4.23所示。图4.23 圆锥投影图的画法

4.2 曲面体的投影 • (3)圆台投影图的画法，如图4.24所示。图4.24 圆台投影图的画法

4.2 曲面体的投影 • (4)球体投影图的画法，如图4.25所示。图4.25 球体投影图的画法

4.2.5 曲面体投影图的识读 4.2 曲面体的投影 • (1)圆柱体的三个投影图分别是一个圆和两个全等的矩形，且矩形的长度等于圆的直径。满足这样三个投影图的立体是圆柱。 • (2)圆锥体的三个投影图分别是一个圆和两个全等的等腰三角形，且三角形的底边长等于圆的直径，满足这样要求的投影图是圆锥体的投影图。 • (3)球体的三个投影都是圆，如果满足这样的要求或者已知一个投影是圆且所注直径前加注字母“S”则为球体的投影。

4.2.6 曲面体表面上的点和线 4.2 曲面体的投影 • 曲面体表面上的点和平面体表面上的点相似。为了作图方便，在求曲面体表面上的点时，可把点分为两类： • (1)特殊位置的点，如圆柱和圆锥的最前、最后、最左、最右、底边及球体上平行于三个投影面的最大圆周等位置上的点，可直接利用线上点的方法求得。 • (2)其他位置的点可利用曲面体投影的积聚性、辅助素线法和辅助圆等方法求得。

4.2 曲面体的投影 • 4.2.6.1 圆柱体表面上的点和线 • 如图4.26所示，在圆柱体表面上有A、B两点，点A在圆柱体的右前方，该点的水平投影a在圆柱面水平投影积聚圆周上，正面投影在圆柱正面投影矩形的右半边，为可见。侧面投影在圆柱侧面投影的右半边，不可见。图4.26 正圆柱体表面上点的投影

4.2 曲面体的投影 • 点B在圆柱的最左边素线上，因此点B的三面投影在该素线三面投影上，即水平投影在圆柱水平投影圆周的最左边，正面投影在圆柱正面投影矩形的左边线上，侧面投影在圆柱侧面投影的中心线上。 • 如果已知圆柱体表面上点A和点B的正面投影，其作图方法如图4.26(b)所示。 • 作圆柱体表面上线段投影时，可先作出线段首尾点和中间若干点的三面投影，再用光滑曲线连接起来，分析可见性即可。

主 编：吴运华 高 远