Nerovnic e

1. Nerovnice • Čo sú to nerovnice • Riešenie kvadratickej a bikvadratickej nerovnice • Riešenie lineárnych nerovníc Marek Balušík 3.B 2010/2011 Koniec

2. Nerovnice sútvorenédvomamatemaickýmivýrazmi, ktorésú spojené znakmi: <,>,≤ alebo ≥. Nerovnica je algebraická úloha, priktorejsahľadajúvšetky čísla danej množiny, ktoréspĺňajúdanúnerovnosť. Prinerovniciachsa často používa grafické riešenie, pretožeje názorné. Riešiťnerovnosť znamená nájsť množinu všetkých jej riešení. Čo je to nerovnica? Začiatok Späť Ďalej Koniec

3. Ekvivalentné úpravy nerovníc: • vzájomnávýmenastrán nerovnice sosúčasnouzmenou znaku nerovnosti na obrátený; • nahradenieľubovoľnej strany nerovnice výrazom, ktorýsa jej rovná v celom obore riešenia nerovnice, pričom znak nerovnosti sanezmení; • pripočítaním toho istého čísla alebo výrazu s neznámou, ktorý je definovaný v celom obore riešenia, k obom stranám nerovnice, pričom znak nerovnosti sanemení; • vynásobenieobochstrán nerovnice kladným číslomalebovýrazom s neznámou, pričom znak nerovnosti sanemení; • vynásobenieobochstrán nerovnice záporným číslom nebo výrazom s neznámou, pritom znak nerovnosti sazmení v obrátený; • umocnenieobochstrán nerovnice prirodzenýmmocniteľom, aksúobe strany nerovnice nezáporné, pritom znak nerovnosti sanemení; • odmocnenieobochstrán nerovnice prirodzenýmodmocniteľom, aksúobe strany nerovnice nezáporné, pričom znak nerovnosti sanemení; • zlogaritmovaní obochstrán nerovnice pri tom istom základe väčšomako 1, aksúobe strany nerovnice kladné, pritom znak nerovnosti sanemení. Začiatok Späť Ďalej Koniec

4. Majmenerovnicu: 3x2 – 7x + 4 ≤ 0 • V prvomrade si zistímekorenekvadratickej rovnice 3x2 – 7x + 4 = 0. • Dostávame: x1= 1 a x2 = 4/3 • Z týchtokoreňov dostaneme nerovnicu 3*(x – 1)*(x – 4/3) ≤ 0 Riešenie kvadratickej • Z prvej časti dostávameriešenie x1 <1, 4/3>. Riešenímdruhej časti je prázdna množina. Zjednotenímtýchtodvochintervalovdostávameriešenietejto nerovnice a je to: x <1, 4/3>. Začiatok Späť Ďalej Koniec

5. tabuľka • Korenevyššieuvedenej rovnice nám rozdelia interval riešenia na tri časti, • t.j.: 1. x (- ∞, 1), 2. x (1, 4/3) a 3. x (4/3, ∞) Začiatok Späť Ďalej Koniec

6. Bikvadratická nerovnica • x4 – 5x2 + 4 < 0 • Metóda nulových bodov: • Koreňmitejto rovnice sú čísla -2; -1; 1; 2. Tieto nám rozdelia interval na 5 častí: • x (- ∞, - 2), 2. x (-2, - 1), 3. x (- 1, 1), 4. x (1, 2) a 5. x (2, ∞) • Z jednotlivých intervalovboli vybrané čísla (postupneakoidú intervaly) -3; -1.5; 0; 1.5; 3. Riešenie je zobrazené v tabuľke: Začiatok Späť Ďalej Koniec

7. Sústavalineárnychnerovníc s jednou neznámou • 5x – 3 ≤ 3x + 1 < 5x • Rozdelíme si nerovnicu na dve časti a riešímesamostatne: • Výsledné rišeniedostávameprienikomčiastkovýchriešení (intervalov). To si zakreslíme graficky: • Riešením je žltovyšráfovaná plocha, a teda: x  (1/2 , 2> Riešením je žltovyšráfovaná plocha, a teda: x  (1/2 , 2> Začiatok Späť Koniec

8. Majmenerovnicu: (2x – 3) / (3x – 7) > 0 Akoprvúvec, ktorúpririešenínerovníc spravíme je to, že zistíme D(f) nerovnice.  Výsledný hľadaný interval dostávame spojením čiastkovýchintervalov. Teda: x = x1x2= (-∞ , 3/2)(7/3,∞ ) Lineárne nerovnice s jednou neznámou a metóda nulových bodov • Tento istýpríklad si terazvyriešimemetódou nulových bodov: • 1. Celúnerovnicu si upravíme do takého tvaru, aby na jej pravejstrane bola nula, tzn. všetko, čo je na pravejstrane úpravami prehodíme na stranu ľavú (našanerovnica je už do takéhoto tvaru upravená, preto to robiť nemusíme) •  2. Prirovnámemenovateľa aj čitateľa k nule a vyriešime: • 2x – 3 = 0 → x = 3/2 • 3x – 7 = 0 → x = 7/3 Začiatok Späť Koniec

9.  3. Toto riešenie nám celý interval rozdelí na podintervaly: 1. (- , 3/2), 2. (3/2, 7/3) a 3. (7/3, ) •  4. Pre každý jeden interval určíme, či je menovateľ a čitateľ kladný alebo záporný. To spravíme tak, že si vyberiemenejakú hodnotu z daného intervalu a dosadíme do nerovnice, napríklad z prvého intervalu si vezmem „-1“ • 2*(-1) – 3 = -5 • 3*(-1) – 7 = -10 •  5. Riešenia si preprehľadnosť zapíšeme do tabuľky: Začiatok Späť Koniec

10. Pririešení nerovnice s dvomi neznámymi stačí upraviť rovnicu na tvar y <ax + b napríklad y 2x – 5 potom to jednoducho znázorníme graficky na osi. V tomto prípade je výsledok vyznačený ružovou farbou a je to rovina ktorá ide do nekonečna. Začiatok Späť Koniec

11. túto nerovnosť riešime takou istou metódou ako kebz sme riešili rovnicu 4. stupňa : Po dosadzovaní získame 1 koreň rovnice x1=2 Týmto sa nám podarilo znížiť stupeň rovnice o 1 dostali sme kubickú rovnicu: Druhý koreň je: x2=3 ):(x-3)= +4x+3 = =x3= -1 x4= -3 • Riešenienerovnice s 1 neznámou = 0 Začiatok Späť Ďalej Koniec

12. (x-2).(x-3).(x+1).(x+3)≥0 • (x-3).(x-2).(x+1).(x+3) ≥0 • (x+3).(x+1).(x-2).(x-3) ≥0 • (-∞-3>,(-3,-1>, (-1,2>,(2,3),<3,∞) • x€(- ∞,-3> (-1,2> <3, ∞) Začiatok Späť Koniec

13. Ďakujem za pozornosť