第 5 章 中心力场

1. 第 5 章 中心力场

2. 5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 中心力场的特征： 中心力场是球对称场，势V(r). 几种特殊中心力场： • 万有引力场 • 库仑场 －后者在原子结构中占有特别重要的地位 • 各向同性谐振子场 • 无限深球方势阱 －两者在原子核结构中常用

3. 中心力场中运动粒子的特征： 角动量守恒 即 但 彼此不对易，由此得出： 能级必是简并的（角动量为零的态除外）

4. 在经典力学中，在中心力场V(r)中运动的粒子（质量在经典力学中，在中心力场V(r)中运动的粒子（质量 为m）,角动量 是守恒量.因为 5.1.1 角动量守恒与径向方程 • 一、角动量守恒

5. 二、径向方程 设质量为m的粒子在中心势V(r)中运动，则 Hamilton量表示为 对易关系 （2） （角动量守恒）

6. 在球坐标系下，能量本征方程可写成 离心势能项 构成守恒量的完全集合 的共同本征态  取为

7. 则 满足 代入方程（1），得到径向方程 令 不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于 径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定. 一般说来，中心力场中粒子的能级是（2l+1）重简并.

8. ,代入（9）式得 在正则奇点r=0邻域，设 5.1.2 径向波函数在r→0邻域的渐进行为 假定V(r)满足 此条件下，当r→0时，方程（5）渐近地表示成 (10) 解得 (11) 即 当r→0时，

9. ，则要求 当r →0时，若 r →0处只有 满足 按照波函数的统计解释，在任何体积元中找到 粒子的概率都应为有限值 解必须抛弃. 因此，当l≥1时， 的解才是物理上可以接受的. 等价地，要求径向方程(7)的解 （12）

10. 5.1.3 两体问题化为单体问题 实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题. 设二粒子的质量分别为m1和m2，相互作用势为 二粒子体系的能量本征方程为

11. 引入质心坐标R及相对坐标r (14) 可证明 (15) 其中 M = m1+m2（总质量） （约化质量）

12. 这样，方程（13） 化为 (16) 令 （17） 代入（16）式，分离变量后，得 （18） ----描述质心运动 ----描述相对运动