全數的除法國立台南大學數學教育系謝堅

全數的除法 • 國立台南大學數學教育系 • 謝堅

人們為什麼會發明除法？ • 發明除法對我們有那些幫助？ • 如何幫助學童理解並學會使用除法替代減法(相同數字)解決問題？

除法問題的語意： • 就問題語意的觀點，除法問題可以區分為等分除問題及包含除問題。

包含除問題： • 已知總量及單位量，單位數未知。 • 12(14)個蘋果，3個蘋果裝一盤，儘量裝完，可以裝成多少盤，剩下幾個蘋果？

等分除問題： • 已知總量及單位數，單位量未知。 • 12(14)個蘋果，平分裝成3盤，儘量裝完，一盤可以裝多少個蘋果，剩下幾個蘋果？

這兩種問題的題意是否相同？ • 尚未引入除法計算之前，學童解這兩種問題的解題策略是否相同？ • 為什麼這兩種問題的摘要記錄相同（都記成12÷3＝4或14÷3＝4….2）

除法問題的記錄格式： • 就記錄格式觀點，除法問題可以區分為「儘量分完」及「全部分完」兩種記法。

14塊蔥油餅，平分給3個人，每人分得幾塊？剩下幾塊？14塊蔥油餅，平分給3個人，每人分得幾塊？剩下幾塊？ • 14塊蔥油餅，每人分給3塊，可以平分給幾個人？剩下幾塊？ • 這兩個問題的題意是否明確? • 為什麼大家都能正確的算出答案?

14÷3＝3......5 • 每人分到3塊，剩下5塊。 • 這個答案，你是否會給分? • 這個答案滿足題意嗎? • 這個答案是約定俗成的共識嗎? • 這個答案是日常生活中經常出現的分法嗎?

14÷3＝4......2 • 請改寫問題，讓學童一定要寫出這個答案，否則不給分。 • 命題時，應該將題意描述清楚，或題意不必清楚，只要在課堂形成約定俗成解題的共識即可。

14塊蔥油餅，平分給3個人，每人最多分得幾塊？剩下幾塊？14塊蔥油餅，平分給3個人，每人最多分得幾塊？剩下幾塊？ • 14÷3＝4......2 • 每人最多分到4塊，剩下2塊。 • 加上最多，它就是合理的答案嗎？

14÷3＝4.5......0.5 • 每人分到4.5塊，剩下0.5。 • 14÷3＝4.6......0.2 • 每人分到4.6塊，剩下0.2塊。 • 它們的答案都比3塊更多。 • 如何修改題目，要求學童必須以前面的算式當做答案?

14÷3＝４2/3...…0 • 每人分到４又2/3塊，剩下0塊。 • 14÷3≒4.6 • 每人大約分到4.6塊。 • 它們的答案都比3塊更多。 • 如何修改題目，要求學童必須回答前面的算式當做答案?

14塊蔥油餅，平分給3個人， 「儘量分完」，每人分得幾塊？剩下幾塊？ • 14塊蔥油餅平分給3個人，每人可分得幾塊完整的蔥油餅？剩下幾塊？ • 14÷3＝4......2 • 每人分到4塊，剩下2塊。

14塊蔥油餅，平分給3個人，每人分得幾塊？剩下多少塊蔥油餅？（商數算到小數一位並寫出餘數）14塊蔥油餅，平分給3個人，每人分得幾塊？剩下多少塊蔥油餅？（商數算到小數一位並寫出餘數） • 14÷3＝4.6......0.2 • 每人分到4.6塊，剩下0.2塊。

14塊蔥油餅，平分給3個人，每人分得幾塊？剩下多少塊蔥油餅？（用四捨五入法取概數，商數算到小數一位）14塊蔥油餅，平分給3個人，每人分得幾塊？剩下多少塊蔥油餅？（用四捨五入法取概數，商數算到小數一位） • 14÷3≒4.6 • 每人大約分到4.6塊。

14塊蔥油餅，平分給3個人， 「全部分完」，每人分得幾塊？ • 14÷3＝４2/3...…0 • 每人分到４又2/3塊。 • 因為要全部分完，所以剩下0塊可以省略不記。

14塊蔥油餅，平分給3個人，儘量分完，每人可分得幾塊？剩下多少塊？14塊蔥油餅，平分給3個人，儘量分完，每人可分得幾塊？剩下多少塊？ • 12塊蔥油餅，平分給3個人，全部分完，每人分得幾塊？ • 有餘數的問題呈現「儘量分完」， • 沒有餘數的問題呈現「全部分完」， • 這樣的布題方式合理嗎？　

解題之前不知道有沒有剩下。 • 「儘量分完」及「全部分完」是記錄格式的要求，與除法問題的餘數是否為0無關。 • 教師必須與學童溝通「儘量分完」及「全部分完」的意義。

12（14）塊蔥油餅，平分給３個人，儘量分完，每人分得幾塊？12（14）塊蔥油餅，平分給３個人，儘量分完，每人分得幾塊？ • 12÷3＝4....0 • 14÷3＝4....2 • 剩下0塊，也是題目中必須回答的重要條件。

12（14）塊蔥油餅，平分給3個人，全部分完，每人分得幾塊？12（14）塊蔥油餅，平分給3個人，全部分完，每人分得幾塊？ • 12÷3＝4 • 14÷3＝４2/3 • 因為要全部分完，所以不會有餘數，也不必記錄餘數。

「儘量分完」的共識： • 要求同時回答商數及餘數兩個未 • 知量。 • 要求使用算式「a÷b＝q….r」來 • 記錄。 • 算式的等號只是得到答案的意思，不滿足等號的等價關係。

商數是整數，餘數要比除數小 • （當商數是小數時，餘數的限制 • 要更嚴格）。 • 剩下0個，不是沒有餘數，必須 • 將餘數是0個記下來。

「全部分完」的共識： • 只有商數一個未知量。 • 使用「ａ÷ｂ＝a/b」來記錄。 • 沒有剩下，因此不記錄餘數。

7÷3＝？ • 70÷30＝？ • 0.7÷0.3＝？　　　 • 這三個問題的答案是否相同？

題意是「儘量分完」時，答案不相同（商數相同，餘數不同）。題意是「儘量分完」時，答案不相同（商數相同，餘數不同）。 • 題意是「全部分完」時，答案相同。 • （只記錄商數，商數相同）

使用「ａ÷ｂ＝ｑ..ｒ」來記錄。 • 商數是整數，餘數要比除數小 • （當商數是小數時，餘數的限制 • 要更嚴格）。 • 當被除數、除數、商數是小數時，應注意那些事項？

當被除數、除數、商數是小數時，有那些注意事項？當被除數、除數、商數是小數時，有那些注意事項？ • □÷1.04＝1.7 ... 0.12，□＝？ • □＝1.04 × 1.7 ＋0.12＝1.888。 • 1.888是正確的答案嗎?

1.0 4 • × 1.7 • 7 2 8 • ＋1 0 4 • 1.7 6 8 • ＋0.1 2 • 1.8 8 8

1.7 1.8 • 1.04 )1.8881.04)1.888 • 1 041 04 • 848848 • 728 832 • 0.1200.016 • 為什麼驗算出來的答案不正確?

4.66 • 3 ) 14 00 14÷3=4….2 • 12 0≦ 2 < 3 • 2 0 14÷3=4.6….0.2 • 1 8 0≦ 0.2 < 0.3 • 20 14÷3=4.66….0.02 • 18 0≦ 0.02 < 0.03 • 2

ａ÷ｂ＝ｑ....ｒ， 商數ｑ是整數，0≦ｒ<ｂ • ｑ是一位小數，0≦ｒ<ｂ×0.1 • ｑ是二位小數，0≦ｒ<ｂ×0.01 • ……以此類推。

( ) ÷1.04 ＝1.7…….0.12 • 餘數大於除數的十分之一倍，也就是說，此題的數據不可能存在。 • ( ) ÷1.04 ＝1.7…….0.08 • ｑ是一位小數，0≦ｒ<ｂ×0.1此題的數據存在，算出的答案驗算時也會成立。

分三個階段引入除法運算： • 第一階段：引入除法算式之前。 • 第二階段：引入除法算式。 • 第三階段：引入除法算式以後。

第一階段：引入除法算式之前。 • 教學的重點是： • 理解題意。 • 有用加、乘、減等方法成功解題 • 　的經驗。 • 逐漸形成除法數學模型。

第二階段：引入除法算式。 • 教學的重點是： • 形成除法數學模型。 • 掌握除法算式的意義。 • 掌握除法算式填充題（問題記錄） • 的意義。

第三階段：引入除法算式以後。 • 教學的重點是： • 提升解題效率。 • 引入除法算則。 • 何謂除法算則？

第一階段：引入除法算式前。 • 引入除法算式前，包含除問題與等分除問題是兩種不同的數學模型（解題活動類型）。

包含除問題： • 14個蘋果，3個蘋果裝一盤，儘量裝完，可以裝成多少盤，剩下幾個蘋果？ • 學童可能有那些解題策略？ • 學童如何把做法記錄下來？

累加策略： • 3＋3＝63×2＝6 • 6＋3＝93×3＝9 • 9＋3＝123×4＝12 • 14－12＝214－12＝2 • 3×4＝12 • 14－12＝2

累減策略： • 14－3＝113×4＝12 • 11－3＝814－12＝2 • 8－3＝5 • 5－3＝2

「3×4＝12，14－12＝2」 • 累加及累減策略中都有這種記法，這兩種相同記法的解題方式是否相同，它們記錄了什麼？ • 累加策略是由部份往整體運算。 • 累減策略是由整體往部份運算，把要減的數累積起來，再一次減去。

等分除問題： • 14個蘋果，平分裝成3盤，儘量裝完，一盤可以裝幾個蘋果？剩下多少個蘋果？ • 學童可能有那些解題策略？ • 學童如何把做法記錄下來？

「逐１」分策略： • 　　　甲　　乙　　丙 • 「○」「○」「○」　 • 　　「○」「○」「○」 • 　　「○」「○」「○」 • 　　「○」「○」「○」 • 　　「○」「○」

學童只注意每一次分掉的那１個蘋果，不宜要求學童使用算式記錄解題過程。學童只注意每一次分掉的那１個蘋果，不宜要求學童使用算式記錄解題過程。 • 14－1＝13，13－1＝12， • 12－1＝11，…，上述記法沒有意義。

一次一盤分１個策略： • 　　甲　乙　　丙　　　 • 　「○　　○　　○」　 • 　　「○　　○　　○」　 • 　　「○　　○　　○」 • 　　「○　　○　　○」 • 　　「○」「○」

學童注意到每1次所分掉的那3個蘋果，可以要求使用減法算式記錄解題過程。學童注意到每1次所分掉的那3個蘋果，可以要求使用減法算式記錄解題過程。 • 14－3＝11 • 11－3＝8 • 8－3＝5 • 5－3＝2 • 題目中是3盤，算式中是3個。

一次一盤分一個策略涉及單位量及單位數角色的轉換，對低年級學童而言相當困難，必須透過經常練習，才能掌握其意義。一次一盤分一個策略涉及單位量及單位數角色的轉換，對低年級學童而言相當困難，必須透過經常練習，才能掌握其意義。

嘗試錯誤策略： • 學童先猜一盤有幾個蘋果，再判斷猜的蘋果數是否滿足題意。 • 3×3＝9 • 4×3＝12 • 5×3＝15 • 4×3＝12 • 14－12＝2

「4×3＝12，14－12＝2」 • 它描述了解題活動的過程嗎? • 它只說明答案是正確的嗎? • 它算是解題活動的記錄嗎?

全數的除法 國立台南大學數學教育系 謝 堅