MECÂNICA - DINÂMICA

1. MECÂNICA - DINÂMICA Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido: Força e Aceleração Cap. 17

2. Objetivos • Introduzir os métodos utilizados para calcular o momento de inércia de massa de um corpo • Desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico • Discutir aplicações destas equações para corpos em movimento de translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral

3. 17.1 Momento de Inércia Movimento de translação: F = m a Movimento de rotação: M = I a onde I é o momento de inércia. O momento de inércia é uma resistência do corpo à aceleração angular enquanto que a massa mede a resistência do corpo à aceleração

4. 17.1 Momento de Inércia O momento de inércia é obtido pelo cálculo do segundo momento de massa em relação a um eixo: r é o braço de momento ou a distância perpendicular do eixo considerado até o elemento de massa dm.

5. 17.1 Momento de Inércia Para um corpo de densidade variável r, dm = rdV e: E para r constante:

6. Exemplo 17.1 Determine o momento de inércia do cilindro mostrado em relação ao eixo z. Considere a densidade do material constante.

7. Exemplo 17.1 - Solução Usando o elemento de casca cilíndrica:

8. Exemplo 17.1 - Solução

9. 17.1 Momento de Inércia Teorema dos Eixos Paralelos onde: IG = momento de inércia em torno do eixo z’ passando pelo centro de massa G m = massa do corpo d = distância perpendicular entre os dois eixos

10. 17.1 Momento de Inércia Raio de Giração Observe-se a semelhança com a equação do diferencial do momento de inércia:

11. 17.1 Momento de Inércia Corpos compostos Usa-se o Teorema dos Eixos Paralelos Portanto para uma somatória de corpos:

12. Exemplo 17.3 Determine o momento de inércia da placa em relação ao eixo z perpendicular a placa passando pelo ponto O. A placa possui densidade constante de 8000 kg/m3 e espessura 10 mm.

13. Exemplo 17.3 - Solução A placa consiste de duas partes, um disco sólido e um furo: Portanto para uma somatória de corpos:

14. Exemplo 17.3 - Solução Disco:

15. Exemplo 17.3 - Solução Furo:

16. Exemplo 17.3 - Solução Placa:

17. Objetivos • Introduzir os métodos utilizados para calcular o momento de inércia de massa de um corpo • Desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico • Discutir aplicações destas equações para corpos em movimento de translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral

18. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Nosso estudo será restrito para corpos rígidos que possuem simetria em relação a um plano de referência. Assim todas as forças (e momentos) atuantes no corpo poderão ser projetadas neste plano e o movimento a ser estudado será planar.

19. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Translação: Esta equação define que a soma de todas as forças atuantes no corpo é igual a massa do corpo vezes a aceleração do seu centro de massa G.

20. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação Planar do Movimento de Translação:

21. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: Diagrama de corpo livre da partícula Diagrama cinético da partícula

22. 16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo Movimento do Ponto P Resumo:

23. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: Desenvolvendo o produto vetorial, usando os componentes cartesianos do momento e aceleração:

24. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação Integrando sobre toda a massa do corpo:

25. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: SMP representa somente momentos externos desde que os momentos internos se anulam.

26. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: A primeira integral é a ordenada do centro de massavezes a massa

27. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: • segunda integral é a coordenada do centro de massa vezes a massa

28. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: A terceira integral é o momento de inércia de massa do corpo.

29. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação:

30. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: Se o ponto P coincide com o centro de massa G: ou seja: a soma de todos os momentos externos atuantes no corpo, calculados em relação ao centro de massa G é igual ao produto da aceleração angular do corpo pelo momento de inércia em relação a um eixo que passa por G.

31. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação escrita em função do momento de inércia em relação ao centro de massa G: Diagrama de corpo livre Diagrama cinético

32. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotaçãoescrita de uma forma geralemfunção do momentocinético:

33. 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Resumo:

34. Problema 17.A 2.00 1.00 0.25 0.30 1.20

35. Problema 17.A - Solução Diagrama de Corpo Livre a=4 m/s2 g=9.81 m/s2 2.00 1.00 0.25 BX 0.30 CG xCG 1.20 PC AX PE AY

36. Problema 17.A - Solução