§4.2-4.3 方差

§4.2-4.3 方差 引例检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命(单位:小时)如下: A: 2000 1500 1000 500 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 试比较这两批灯泡质量的好坏计算得:平均寿命分别为:A:1200 B:1200 数学期望方差观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小, 所以,B产品质量较好

1. 方差的定义 (X - EX)2 —— 随机变量X 的取值偏离平均值的情况, 是X的函数, 也是随机变量 E(X - EX)2 —— 随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度—— 数注: 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度

若X 为离散型随机变量，概率分布为 若X 为连续型随机变量，概率密度为f (x) 常用的计算方差的公式：

2. 方差的性质

3. 方差的计算 例1设 X ~ P (), 求 DX 解

解二引入随机变量 相互独立，例2设 X ~ B( n , p)，求 DX 解一仿照上例求DX 故

例3设 X ~ U( a , b)，求 DX 解

例4设 X ~ N (  ,  2), 求 DX 解

分布概率分布方差参数为p的 0-1分布 p(1-p) B(n,p) np(1-p) P()  常见随机变量的方差

分布概率密度方差区间(a,b)上的均匀分布 E() N(, 2)

σ小方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同σ2的密度曲线反映出来: f(x) σ大 0 μ x 若μ固定,σ改变,则σ越大,曲线越平坦, σ越小,曲线越陡峭

例5 证

例6已知X ,Y 相互独立，且都服从N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ) 解故

相互独立 ,且 例7设X 表示独立射击直到击中目标n次为止所需射击的次数，已知每次射击中靶的概率为 p ，求EX , DX 解令X i表示击中目标i - 1 次后到第 i次击中目标所需射击的次数，i = 1,2,…, n

例8 求 EY , DY 解

标准化随机变量 为X 的标准化随机变量. 显然，

-1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 -2 0 2 P 0.025 0.95 0.025 仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布, 例如：它们有相同的期望和方差, 但是分布却不同与

但若已知分布的类型及期望和方差，常能 确定分布例9已知X 服从正态分布, EX = 1.7, DX = 3, Y = 1 – 2 X , 求Y 的密度函数解

例10已知X 的密度函数为 其中A ,B是常数，且 EX = 0.5 • 求A ,B • 设 Y = X 2, 求EY ,DY

解(1)

(2)

作业 P169(P120) 习题四 9 11 16 17 19 21

§4.2-4.3 方差

§4.2-4.3 方差

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