1 / 59

M etóda K onečných P rvkov vo výrobných technológiach

M etóda K onečných P rvkov vo výrobných technológiach. prednáška č. 4. Obsah prednášky. Rozšírené matice elementu Vektor kódových čísiel Zostavenie matice konštrukcie Výpočet primárnych neznámych a reakcií vo väzbách Jednorozmerná sústava prútov – príklad riešenia

salome
Download Presentation

M etóda K onečných P rvkov vo výrobných technológiach

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Metóda Konečných Prvkovvo výrobných technológiach prednáška č. 4

  2. Obsah prednášky • Rozšírené matice elementu Vektor kódových čísiel • Zostavenie matice konštrukcie • Výpočet primárnych neznámych a reakcií vo väzbách • Jednorozmerná sústava prútov – príklad riešenia • Dvojrozmerná sústava prútov – príklad riešenia • Izoparametrické prvky Odvodenie matíc izoparametrického prútového prvku • Numerická integrácia

  3. Zostavenie sústavy rovníc celej konštrukcie Pri zostavení výslednej sústavy rovníc celej úlohy platí pre celkovú potenciálnu energiu sústavy Minimalizáciou potenciálnej energie vzhľadom na posunutia dostaneme výslednú sústavu algebraických rovníc.

  4. Rozšírené matice elementu • Sčítavanie potenciálnej energie prvkov a jej minimalizáciu nahradíme výpočtom matice K a vektora f pomocou rozšírených matíc prvku K* a f*. • Rozmer rozšírenej matice prvku je zhodný s rozmerom celkovej matice sústavy • Ak počet globálnych posunutí uzlov prvkov označíme n, bude rozmer celkovej matice sústavy nxn • Členy rozšírenej matice, ktoré nezodpovedajú globálnym posunutiam vybraného prvku sú nulové

  5. Rozšírené matice elementu Príklad pre dvojuzlový prvok Pre prvok s globálnymi číslami uzlov {d,m}(tzv. globálne prvkové číslo) výsledný vektor globálnych posunutí uzlov konštrukcie bude (ndof x nbn) x 1 = nbdof x 1 a = [u1 u2 ... ud ... um ... unbdof] T Potenciálna energia vybraného prvku

  6. Rozšírené matice elementu kde rozšírené matice prvku sú

  7. Rozšírené matice elementu • Pri tvorbe rozšírených matíc prvkov využívame tzv. vektor kódových čísiel • sú v ňom usporiadané čísla globálnych posunutí uzlových bodov telesa Príklad pre dvojuzlový prvok

  8. Zostavenie matice konštrukcie • Matice konštrukcie dostaneme sčítaním rozšírených matíc elementov • Výsledná matica je pásová, symetrická a pozitívne definitná

  9. Zostavenie matice konštrukcie • šírka polpásu matice sústavy • M = (R + 1) v • kde R je max. rozdiel čísiel uzlov na prvkoch modelu sústavy • v je počet globálnych stupňov voľnosti uzla prvku • minimalizácia šírky polpásu = minimalizácia R • Zásada: číslovať uzlové body tak, aby rozdiel na prvku (max. a min. číslo uzla) bol minimálny. • Pozn. • vplyv šírky polpásu na rýchlosť riešenia je závislý na použitej metóde riešenia napr. v prípade Gaussovej eliminačnej metódy. U frontálnej metódy má vplyv napr. rozdiel čísiel uzlov susedných prvkov

  10. Zostavenie matice konštrukcie Príklad vplyvu číslovania uzlových bodov na šírku polpása matice

  11. Zostavenie matice konštrukcie • vzhľadom na symetriu matice sústavy ukladáme iba nenulové členy nad diagonálou a pod tzv. profilom pása matice + diagonálne členy matice K • usporiadavajú sa do poľa pre ušetrenie miesta v pamäti počítača • pásovosť matice možno narušiť nevhodným číslovaním uzlových bodov

  12. Zostavenie matice konštrukcie

  13. Príklad - jednorozmerná úloha Vypočítajte reakcie a maximálne napätie v prúte.

  14. Zostavenie výslednej sústavy rovníc úlohy: Vektor posunutí telesa: a = [u1 u2 u3 u4] T Okrajové podmienky:u1 = u4 = 0 a) Celková potenciálna energia sústavy

  15. Minimalizáciou potenciálnej energie vzhľadom na posunutia dostaneme

  16. čo v maticovom tvare

  17. b) Matice tuhosti elementov sústavy

  18. Rozšírené matice tuhosti elementov sústavy:

  19. Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie): Pozn.noe označuje počet elementov v sústave

  20. Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie):

  21. Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie):

  22. Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie):

  23. Matica tuhosti celej sústavy (konštrukcie): Pozn. Symetria matice vyplýva z Maxwell-Bettiho vety o vzájomnosti posunutí.

  24. Výsledná sústava rovníc celejkonštrukcie pre neupevnené teleso: Matica K je singulárna. Po dosadení okrajových podmienok a do vektora uzlových síl

  25. Redukovaná sústava rovníc celejkonštrukcie má tvar Výsledné posunutia uzlov 2 a 3

  26. Vynechané rovnice pre výpočet reakcií Napätia v elementoch sústavy

  27. Príklad - dvojrozmerná prútová sústava Vypočítajte reakcie a sily v prútoch sústavy.

  28. matice tuhosti prútov v LSS vektory posunutí uzlov v LSS vektory uzlových síl v LSS

  29. rozšírené matice tuhosti prútov v LSS rozšírené vektory posunutí uzlov v LSS rozšírené vektory uzlových síl v LSS

  30. Transformácia uzlových posunutí a síl medzi LSS a GSS

  31. Pre dvojuzlový prutový element potom Podobne sú transformované uzlové sily

  32. Matice prúta v 2-D priestore rovnovážne rovnice v LSS rozšírené rovnice v LSS * Ke je globálna symetrická matica 4x4

  33. transformácia matíc do GSS Prút 1: vektor globálnych posunutí uzlov prvku vektor globálnych uzlových síl transformačná matica

  34. globálna matica tuhosti prvku rozšírená matica tuhosti prvku

  35. transformácia matíc do GSS Prút 2: vektor globálnych posunutí uzlov prvku vektor globálnych uzlových síl transformačná matica

  36. globálna matica tuhosti prvku rozšírená matica tuhosti prvku

  37. transformácia matíc do GSS Prút 3: vektor globálnych posunutí uzlov prvku vektor globálnych uzlových síl transformačná matica

  38. globálna matica tuhosti prvku rozšírená matica tuhosti prvku

  39. globálny vektor posunutí konštrukcie globálny vektor uzlových síl konštrukcie

  40. vzhľadom na okrajové podmienky Pozn. multipoint constraint podobne pre sily

  41. Celková globálna matica tuhosti konštrukcie

  42. Výpočet primárnych neznámych a reakcií vo väzbách Výslednú sústavu rovníc celejkonštrukcie upravíme do tvaru kde: aa sú neznáme zložky uzlových posunutí ab sú známe zložky uzlových posunutí fa sú známe (zaťažujúce) sily v uzloch fb sú neznáme reakcie vo väzbách

  43. Potom neznáme uzlové posunutiaaa vypočítame z rovníc a neznáme reakcie fb Úloha sa výrazne zjednoduší ak ab = 0 t.j. v uzloch sú tuhé upevnenia

  44. Izoparametrické prvky • Dôvody zavedenia a používania izoparametrických elementov: • modelovanie zložitých telies so zakriveným povrchom, • problémy s integráciou cez objem a povrch zložitých telies • Princíp IE: • využívajú vlastnosti a možnosti transformácie bodov oblasti (objemu) na iný jednoduchší (normalizovaný) tvar, • objemová, resp. plošná integrácia sa potom vykonáva na tejto normalizovanej tzv. jednotkovej oblasti, • transformácia musí byť pritom jednojednoznačná (každému bodu pôvodnej oblasti jednoznačne prislúcha jeden bod normalizovanej oblasti a naopak).

  45. Izoparametrické prvky Pre transformáciu súradníc ľubovolného bodu platí teda kde Ni() sú tvarové funkcie vyjadrené v prirodzených súradniciach

  46. Izoparametrické prvky ktoré musia spĺňať okrajové podmienky Ak  = 1 x() = x3  = 1 y() = y3  = 0 x() = x9  = 0 y() = y9 : : atď....

  47. Izoparametrické prvky Izoparametrický prútový prvok pre ľubovolný bod prvku

  48. Izoparametrické prvky pre posunutia uzlových bodov potom posunutie ľubovolného bodu prvku

More Related