复变函数 第 8 讲

1. 复变函数第8讲

2. §4 原函数与不定积分

3. 定理一 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则积分 与连接起点及终点的路线C无关. C2 B B C1 z1 z2 C1 z1 z2 C2

4. 由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积分只与起点z0和终点z1有关, 如图所示, 我们有 C2 B B C1 z1 z2 C1 z1 z2 C2

5. 固定z0, 让z1在B内变动, 令z1=z, 则积分 对这个函数我们有 定理二 如果f(z)在单连通域B内处处解析, 则函数F(z)必为B内的一个解析函数, 并且 F '(z)=f(z). • 在B内确定了一个单值函数

6. [证] 从导数的定义出发来证. 设z为B内任意一点, 以z为中心作一含于B内的小圆K, 取|Dz|充分小使z+Dz在K内. 于是由(3.4.1)得 z+Dz z z K z0

8. 则任给e>0, 存在d>0, 当|z-z|<d即|Dz|<d时, 总有 |f(z)-f(z)|<e, 因此

9. 定义 如果函数j(z)在区域D内的导数等于f(z), 即j '(z)=f(z), 则称j(z)为f(z)在区域B内的原函数. • f(z)的任何两个原函数相差一个常数. 设G(z)和H(z)是f(z)的两个原函数, 则 • [G(z)-H(z)]'=G '(z)-H '(z)=f(z)-f(z)=0. • 所以 G(z)-H(z)=c, c为任意常数.

10. 因此, 如果函数f(z)在区域B内有一个原函数F(z), 则它就有无穷多个原函数, 而且具有一般表达式F(z)+c, c为任意常数.跟在微积分学中一样, 定义: f(z)的原函数的一般形式F(z)+c(其中c为任意常数.)为f(z)的不定积分, 记作

11. 定理三 如果f(z)在单连通域B内处处解析, G(z)为f(z)的一个原函数, 则 • 这里z0, z1为域B内的两点. • [证] 因为 也是f(z)的原函数, 所以

12. 当z=z0时, 根据柯西-古萨基本定理, c=-G(z0) • 有了原函数, 不定积分和积分计算公式(3.4.2), 复变函数的积分就可用微积分学中类似的方法去计算.

13. 例1 求积分 的值 • [解] 函数zcos z在全平面内解析, 容易求得它有一个原函数为zsin z+cos z. 所以

14. 例2 试沿区域Im(z)0, Re(z)0内的圆弧|z|=1, 计算积分 • [解] 函数 在所设区域内解析.

16. §5 柯西积分公式

18. 既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同. 则取以z0为中心, 半径为d的很小的圆周|z-z0|=d(取其正向)作为积分曲线C. 由于f(z)的连续性, 在C上的函数f(z)的值将随着d的缩小而逐渐接近于它在圆心z0处的值, 从而使我们猜想积分 的值也将随着d的缩小而接近于

19. 其实两者是相等的, 即 • 我们有下面的定理. • 定理(柯西积分公式) 如果f(z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则

20. [证] 由于f(z)在z0连续, 任给e>0, 存在d(e)>0, 当|z-z0|<d时, |f(z)-f(z0)|<e. 设以z0为中心, R为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部, 且R<d. D R z z0 C K

22. 这表明不等式右端积分的模可以任意小, 只要R足够小就行了, 根据闭路变形原理, 该积分的值与R无关, 所以只有在对所有的R积分为值为零才有可能, 因此, 由(3.5.2)即得要证的(3.5.1)式.

23. (3.5.1)式称为积西积分公式.如果C是圆周z=z0+Reiq, 则(3.5.1)式成为 • 即, 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.

24. 例 求下列积分(沿圆周方向)的值: • [解] 由(3.5.1)得

25. §6 解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.

26. 定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为: • 其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.

27. [证] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即 • 因此就是要证

28. 按柯西积分公式有

29. 因此

30. 现要证当Dz0时I0, 而 C z0 D d

31. f(z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有|f(z)|M. d为z0到C上各点的最短距离, 则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|<d/2, C z0 D d

32. 因此, L是C的长度

33. 这就证得了当Dz0时,I0, 也就证得了 • 再利用同样的方法去求极限: 这里已经证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.

34. 依此类推, 用数学归纳法可以证明: • 此公式可以这样记忆: 把柯西积分公式(3.5.1)的两边对z0求导数, 右边求导在积分号下进行, 求导时把被积函数看作是z0的函数, 而把z看作常数. • 高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.

35. 例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: |z|=r>1. • [解] 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cospz在C内却是处处解析的. 根据(3.6.1)有

36. y C C1 i O x -i C2

37. 根据复合闭路定理, y C C1 i O x -i C2

38. 由(3.6.1)有

39. §7 解析函数与调和函数的关系

40. 如果二元函数j(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯(Laplace)方程如果二元函数j(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯(Laplace)方程 则称j(x,y)为区域D内的调和函数. 调和函数在诸如流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要的应用. 下面的定理说明了调和函数与解析函数的关系.

41. 定理 任何在区域D内解析的函数, 它的实部和虚部函数都是D内的调和函数.[证] 设w=f(z)=u+iv为D内的一个解析函数, 则 则 根据解析函数高阶导数定理, u与v具有任意阶的连续偏导数, 所以

42. 从而 同理 因此u与v都是调和函数. [证毕]

43. 设u(x,y)为区域D内给定的调和函数, 把使u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数. 换句话说, 在D内满足柯西黎曼方程 的两个调和函数中, v称为u的共轭调和函数. 因此, 上面的定理说明: 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.

44. 应当指出, 如果已知一个调和函数u, 那末就可以利用柯西-黎曼方程(3.7.1)求得它的共轭调和函数v, 从而构成一个解析函数u+iv. 下面举例说明求法. 这种方法可以称为偏积分法.例1证明u(x,y)=y3-3x2y为调 和函数, 并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数.[解] 1) 因为 所以

45. 2) 由 由

46. 从而得到一个解析函数w=y3-3x2y+i(x3-3xy2+c)这个函数可以化为w=f(z)=i(z3+c)从而得到一个解析函数w=y3-3x2y+i(x3-3xy2+c)这个函数可以化为w=f(z)=i(z3+c)