Chapter 14

1. Chapter 14 運算放大器

2. 本章重點一覽 • 14.1 原始想法 • 增益趨近無窮大 • 14.2 OP電路結構 • 輸入電流為零 • 14.3 回饋 • 正/負回饋 • 虛擬短路/接地

3. 本章重點一覽 • 14.4 OP負回饋電路 • 14.5 實際OP特性 • 有限增益 • 有限輸入/輸出電阻 • 14.6 正回饋應用電路 • 振盪器 • 14.7 結語

4. 14.1 原始想法 • Q : 有沒有一種放大器，可以讓使用者自行 決定所需要的增益，而增益值又非常的 精確 ? • 一般的放大器得考慮負載效應，於是放大器 產生的理想增益會被限制，若增益的精確度需求非常高，就必須微調元件值， 但這樣不實際，萬一所需的增益又必須改 變，又必須再大費周章微調一次元件值可不是件聰明事 !

5. 14.1 原始想法 • Ans : OP放大器 • 先做出一個增益趨近無窮大的放大器，就 像空白支票一樣，想要用多少就可以用多 少，且有正/負兩輸入端可滿足正/負增益需 求 差動放大電路。 • 利用負回饋(negative feedback)，可以做出任何不同的增益，重點是可以非常精確 !

6. I+ I Ro Vo V+ V +  AVi Ri Vi +  圖14.2 14.2 OP電路結構 • 差動放大器(如右圖)V0 = A (V+- V-) • 如果能把 Ri做的很大(MΩ以上) ，Ro非常的小，則Ri相當 於輸入端斷路，即輸入電流為 零 ! 這特性再配合負回饋，即 可獲得”虛擬短路”的特性，可 以設計出非常多有用的電路 !

7. VDD Vref Vo +  I= 0 VDD R R 圖14.3 14.3 回饋 • 負回饋(negative feedback) • 稱為負回饋是因為輸出端透過串接R將一部份輸出電壓送回反相輸入端 V_。 • 由於輸入電流為零，所以輸出電壓Vo和反向輸入端V_的關係可透過分壓定律來定義 !

8. VDD Vref Vo +  I= 0 VDD R R 圖14.3 14.3 回饋 • 負回饋(negative feedback) • 正相輸入端輸入一參考電壓 Vref，由於所選取的電阻值相等，於是可導出在穩定狀況時 : Vo = 2 VrefV_ = V ref • 此即所謂負回饋的機制 !

9. VDD Vref Vo +  I= 0 VDD R R 圖14.3 14.3 回饋 • 負回饋(negative feedback) • 不管 Vo的起始電壓為 何，最後都會達到與Vref有關的穩定狀態， 也就是說，只要Vo有 任何的超過或不足於2Vref ，負回饋機制都 會把Vo拉回2Vref 之值 ! • 注意 Vo被限制在+VDD ~ -VDD之間，因為其內部放大器會達到飽和。

10. 14.3 回饋 • 虛擬短路(virtual short) • 從之前討論就可以觀察到，當正相輸入端 輸入Vref，輸出達到穩定時，V_端的電壓 也是Vref ! 會出現這種情形的條件是 OP放 大器的增益A為理想的無窮大。就好像拿 一條金屬線將V+與V_接在一起造成短路一 樣，短路的意思就是電壓相同 ! • 若有一端電壓與地相連，則可推測出另一端的電壓值必為零，這種情形稱為虛擬接地(Virtual ground)，但不是真的與地端相接，只是剛好結果相同。

11. 圖14.5 R +VDD R +  Vo Vref VDD 14.3 回饋 • 正回饋(positive feedback) • 將回饋信號改成接至正相輸入端V+而Vref接至反向輸入端V_，與負回饋的接法剛好相反，但產生的結果卻大大不同 !

12. 圖14.5 R +VDD R +  Vo Vref VDD 14.3 回饋 • 正回饋(positive feedback) • 經由推導可發現輸出達穩態時有兩種情形發生，而這兩種情況和Vo的起始狀態有關係! 且Vo不會滿足OP的關係式 :Vo≠ A· ( V+- V_ ) • 虛擬短路的特性不復存在 !

13. 14.3 回饋 • 正回饋與負回饋 • 正負回饋的接法剛好相反。 • 負回饋情況下最後達到的穩定狀態與Vo之起始狀態無關，但正回饋時，穩定狀態會是 Vo = VDD或 Vo = -VDD，由Vo的起始狀態決定何種情形發生。 • 在負回饋情形下，且A →∞，則有虛擬短路的性質， 但正回饋不會有此特性。

14. 圖14.7 V+ Vo +  V Vi Rf R1 14.4 OP負回饋電路 • 正相放大器(non-inverting amplifier) • 將輸入信號接至“+”端，負回饋接至”-”端。 • 利用虛擬短路與OP放大器輸入電流為零的特性，可以推得此電路之增益為 : • 僅需改變電阻值即可獲得精確之增益 !

15. 圖14.8 Rf R1 I Vo  + Vi 14.4 OP負回饋電路 • 反相放大器(inverting amplifier) • 負回饋信號與輸入信號皆送至”-”端。 • 因為”+”端接地，於是有虛擬接地之特性，再因輸入電流為零，可推得輸出增益為 : • 只需要控制電阻值即可獲得精確增益。

16. Rf C I  + Vo Vi 圖14.9 14.4 OP負回饋電路 • 微分器 • 與反相放大器非常類似，差別在於以一顆電容取代原本的R1。 • 由virtual ground得知V_為零，於是可推得 : • Vo與Vi對時間的微分成比例。

17. C R1 I  + Vo Vi 圖14.10 14.4 OP負回饋電路 • 積分器 • 與積分器的差別在於電容與電阻的位置對調即可。 • 由 virtual ground，可推得 : • Vo與Vi隨時間的積分成比例。

18. R1 V1 Rf If R2 V2 Vo  + R3 V3 圖14.11 14.4 OP負回饋電路 • 加法電路(summation circuit) • 主要是利用 virtual ground使得V_ = 0，且由重疊定理可依次推得個別輸入之增益再總加，得 : • R1 ~ R3的電阻值意義即為加法中所謂的權重，而欲加的項數由輸入信號的數目決定。

19. RS +  Vo 10K 圖14.13 VS RL 100 14.4 OP負回饋電路 • 單位增益放大器(unit gain amplifier) • 直接將Vo接至Vi ，由virtual short可知G=1 。 • 也稱緩衝放大器(buffer amplifier)，因為OP放大器的輸入電阻非常高而輸出電阻非常小所致，可推得信號源透過緩衝放大器可將信號損失減至最小，使負載達到最大功率。

20. VA sinwt VA sinwt +  振盪器 外部電路 圖14.14 14.4 OP負回饋電路 • 單位增益放大器(unit gain amplifier) • 也可作為隔離電路，如右圖所示。 • 若把振盪器與外部電路直接連接，則振盪器的穩定度可能會受到外部電路影響而變差，接上此隔離電路， A →∞保證振盪器運作不受影響，虛擬短路特性則保證振盪信號完整傳至外部電路。

21. R2 R1 I V1  + Vo R3 V2 R4 圖14.15 14.4 OP負回饋電路 • 差分放大器(difference amplifier) • 此電路輸出電壓等於兩個輸入電壓乘上一放大倍率，其精神在於利用R3與R4決定V+，再利用虛擬短路之特性可推得 :Vo = (R2 / R1) · (V2 - V1) • 差分增益為 R2 / R1 。

22. V1 +  V1' R2 R1  + Vo R1 V2 +  R2 V2' 圖14.16 14.4 OP負回饋電路 • 差分放大器(difference amplifier) • 信號源之輸出電阻會影響差分增益，而這缺點可由前述之緩衝電路完美解決 !

23. I R  + +  Vm 圖14.17 14.4 OP負回饋電路 • 電壓表 • 利用OP高輸入阻抗和虛擬短路的特性，可輕易做出如圖之電壓表。 • 圖中之指針式電表其指針偏轉幅度與電流I呈正比，利用這性質與虛擬短路，便可讓待測電壓與電流成正比例關係，選擇正確電阻值即可正確顯示電壓 !

24. D0 D1 D2 D/A converter VA 圖14.18 14.4 OP負回饋電路 • 數位對類比轉換器(D/A converter) • 將輸入的數位信號(例如0110)轉換成類比電壓VA，其輸入輸出關係式為 : • 直接用電壓來設計D/A轉換器並不容易，所以轉換一個角度用電流來設計，之後再轉成相對應電壓即可。

25. VDD II1 I2 4R 2R R D0 D1 D2 R/2 RA I Vo  + 圖14.19  + Vo' RA 14.4 OP負回饋電路 • 數位對類比轉換器(D/A converter) • 利用Virtual ground特性即可轉為電壓。

26. 14.5 實際OP特性 • 理想中OP放大器的特性 • Ri→ ∞，使得輸入電流為零。 • Ro等於零。 • A → ∞，配合負回饋產生虛擬短路特性。 • 實際OP放大器和理想OP只有輸出/輸入電阻特性相近，A的差異性受頻率影響非常大。

27. (dB) |A(f)| 0 f f3dB ft 圖14.20 14.5 實際OP特性 • 有限增益 • 實際OP的增益為有限值，且是頻率的函數，一般表示式為 : • |A(f)|=1(0dB)時，對應的頻率(ft)稱為 :unit-gain frequency

28. 14.5 實際OP特性 • Unit-gain frequency (unit-gain bandwidth) • 頻率等於ft時已喪失放大信號的功能，所以輸入信號頻率需遠小於ft以確保A→∞的特性。 • 在直流或低頻的信號下，實際OP和理想OP特性接近，但愈往高頻，增益值愈下降(使得虛擬短路特性不復存在)，誤差愈大。一般設計下會刻意壓低f3dB，這樣ft的範圍就拉的很遠，即可避免此問題。

29. 圖14.8 (重複) Rf R1 I Vo  + Vi 14.5 實際OP特性 • 例1.假定圖14.8反相放大器的R1 = 1k，Rf = 100 k，OP的A0 = 106，f3dB= 10Hz。若輸入信 號頻率(1) f = 1kHz；(2) f = 100kHz，請估算 其對應的增益。

30. V+ Vo +  V Vi Rf R1 圖14.7 (重複) 14.5 實際OP特性 • 例2.圖14.7的正相放大器假定R1 = 1k，Rf = 100 k，OP之A0 = 106，f3dB = 10Hz，若輸入信 號頻率(1) f = 100Hz；(2) f = 1MHz，請估算其 對應之增益。

31. 圖14.21(重複) Rf R1 Ix Vo  + Vx 14.5 實際OP特性 • 例3.假定圖14.21中R1 = 1k，Rf = 100k，OP的A0 = 105，f3dB = 10Hz。若輸入信號頻率f=10 kHz，請估算其對應的輸入阻抗。

32. 14.5 實際OP特性 • 有限輸入電阻 • 實際OP的Ri為有限值，所以Ii≠0，經詳細推導可得 : • 實際情況下Ri都是MΩ等級且A非常大，所以在實際應用中Ii=0是合理的假設。

33. Rf i1 i2 Ro R1 Ix  + A(V+V) +  Vx 圖14.23 14.5 實際OP特性 • 有限輸出電阻 • 利用一理想信號源加至反相放大器的輸出端來估算其等效輸出電阻(輸入皆接地) ，可推得 : • 1+Aβ在回饋電路中是個重要的factor!

34. 圖14.8 (重複) Rf R1 I Vo  + Vi 14.5 實際OP特性 • 例4.圖14.8的反相放大器中，假定R1 = 1k，Rf = 100k，OP的Ro = 75，A = 105﹔請估算此 電路的等效輸出阻抗。

35. 14.5 實際OP特性 • 其他特性 • 尚能考慮的參數還有擺動率(slew rate)，輸入漂移電壓(input offset voltage)，輸入偏壓電流(input bias current)。 • 這些參數只有在要求更高的精確度，例如測量儀器上才用得到，從整體上著眼，仍以 A(f) 的影響最為重要 !

36. 14.6 正回饋應用電路 • OP利用負回饋所產生virtual short特性可以完成種類繁多的電路功能，大部分的數學運算功能都包含其中。 • 正回饋應用至OP上無法產生virtual short特性，所以無法應用這麼廣泛，但它卻可以做出在實用電路中非常重要的振盪器 !

37. R2 VDD R1 +  Vo VDD +  圖14.24 R VC C 14.6 正回饋應用電路 • 方波產生器(square-wave generator) • 以兩顆電阻(R1,R2)將輸出信號回饋至”+”端，另以一顆電阻及電容(R,C)回饋至”-”端，利用電容充放電與OP的特性，經詳細推導可得 :f = ，β =

38. 圖14.24(重複) R2 VDD R1 +  Vo VDD +  R VC C 14.6 正回饋應用電路 • 例5.請如圖14.24設計一個方波產生器以得到1KHz的 方波。

39. R2 C' R1 +  R'  + R C square-wave generator integrator Vx R2 C R1 +  R Vo  + Vo' 圖14.26 圖14.27 14.6 正回饋應用電路 • 三角波產生器 • 數學上可直觀得到，方波積分得到三角波，於是可聯想到將方波產生器輸出端加上一個積分器即成三角波產生器。而兩個電路中皆重複使用RC電路，可以巧妙合在一起以節省元件:

40. - - - T1 T2 圖14.28 14.6 正回饋應用電路 • 三角波產生器 • 只要控制電阻與電容值即可精確獲得所需頻率和完美波形 !

41. R2 C' R1 +  R'  + R C square-wave generator integrator Vx R2 C R1 +  R Vo  + Vo' 圖14.26 圖14.27 14.6 正回饋應用電路 • 例6.利用圖14.27設計 一個1kHz的三角 波產生器。

42. C R Vo +  R C Rf R3 圖14.29 14.6 正回饋應用電路 • 弦波產生器(sine-wave generator) • Wien-bridge oscillator • 利用OP配合RC電路 • 第十六章有完整說明