§7 理想

1. §7 理想 • 7.1 定义及例子 • 7.2 理想的交与和 • 7.3 除环的理想 • 7.4 生成理想

2. 定义 环R的一个非空子集I叫做一个理想子环， 简称理想，假如 （ⅰ） （ⅱ） (强闭合性) 7.1 定义及例子 在这一节里我们要讨论到一种特别重要的子 环，就是理想子环,简称为理想(Ideal). 理想在环论 里的地位同不变子群在群论里的地位类似。

3. 注1：理想一定是一个子环. 由（ⅰ），一个理想 是一个加群，由于（ⅱ）， 对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个子环。但（ⅱ）不仅要求 的两个元的乘积必须在 里，而且进一步要求， 在一个任意元同R的一个任意元的乘积都必须在 里,所以称为强闭合性。 注2：可以定义左(右)理想, p113, ex6. 注3：一个环R至少有以下两个理想： 1. 只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想； 2. R自己，这个理想叫做R的单位理想。 两个通称为平凡理想.

4. 例 1看整数环R。那么一个整数 ，n的所有 倍数 作成一个理想。 例 2 看一个环R一元多项式环 。那么所有多项式 作成 的一个理想。 我们举两个例。

5. 命题1 设 是R的两个理想,那么 (i) 仍然是理想 (ii) 仍然是理想, 称为和. 注4： 一般不是理想. 是包含 的最小 理想. 7.2 理想的交与和

6. 证明 假定 是R的一个非零理想。那么 ， 由理想的定义， ，因而R的任意元 这就是说， 证完。 注5：在一个有单位元1的环中, 如果理想 包含一个可逆元, 那么 是单位理想. 注6：定理1的逆命题不成立(p119, ex.4). 7.3 除环的理想 定理 1 一个除环R只有两个理想，就是零理想和单位 理想。

7. 设 是R里一个元，利用 我们作一个集合 ， 包 含所有可以写成 形式的元。那么 7.4 生成理想 给了一个环R，我们可以用以下方法做一些R的理想,称为生成理想. • 一个元素生成的理想—主理想

8. [1] 是R的一个理想。因为：两个这种形式的元相减显然还是一个这种形式的元；用R的一个元r从左边去乘 一个元也得到一个这种形式的元，就是 用r从右边去乘的元 情形一样。 [2] 显然是包含 的最小的理想。 定义2上面 的叫做由元 生成的主理想。这个理想我们用符号 来表示。

9. 以下用到最多的理想就是主理想。 一个主理想 的元的形式并不是永远象上面那样复杂。 [1] 当R是交换环时， 的元显然都可以写成 的形式 [2] 当R有单位元的时候， 的元都可以写成 的形式，因为这时，

10. [3] 当R既是交换环又有单位元的时候， 的元的形 式特别简单，这时它们都可以写成 因此, 这时 也可以写出aR。 例3.例1里的理想就是由n生成的主理想 。 注7：如果R=2Z, (4)的元素形如: ???

11. 在环R里任意取出m个元 , 主理想的概念容易加以推广。 定义3 m个主理想 的和, 叫做 生成的理想。这个理想我们 用符号 来表示。 注8： 是包含 的最小理想。 • 多个元素生成的理想

12. 例 5 在一些环中, (a,b) 不可以简化为主理想 假定 是整数环R上的一元多项式环。我们看 的理想 。因为 是有单位元的交换环， 由所有的元 例4 在Z中, (a,b) 可以简化为主理想. 我们举一个例

13. 作成：换一句话说，2刚刚包含所有多项式 （1） 我们证明， 不是一个主理想。 假定 ，那么 ，因而 但 这样， 。但 都不是（1）的形式，这是一个矛盾。 作业 P113: 1,5