1 / 15

Cours 7 Problèmes d’ordre 2 en temps : Analyse modale

Cours 7 Problèmes d’ordre 2 en temps : Analyse modale. Domaines d’application Calcul des modes propres et fréquences propres Application Décomposition modale. www.otua.org/acier/seisme/. Protection séisme. www.dt.insu.cnrs.fr. Vibration - acoustique. «Tacoma narrows bridge  ».

shamus
Download Presentation

Cours 7 Problèmes d’ordre 2 en temps : Analyse modale

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Cours 7Problèmes d’ordre 2 en temps :Analyse modale • Domaines d’application • Calcul des modes propres et fréquences propres • Application • Décomposition modale NF04 - Automne - UTC

  2. www.otua.org/acier/seisme/ Protection séisme www.dt.insu.cnrs.fr Vibration - acoustique «Tacoma narrows bridge  » www.cnes.fr Ouvrage génie civil Couplage fluide-structure Intérêts « industriels » … NF04 - Automne - UTC

  3. Deux approches possibles … • Approche modale : domaine fréquentiel • Recherche des fréquences propres et modes de déformés associés • Acoustique • Approche instationnaire « pas-à-pas » : domaine temporel • Crash-tests • Dynamiques rapides (choc …) • Analyse de transitoire (démarrage moteur …) • Propagations d’ondes (airbag …) Approche qualitative ! www.netcar.co.il Approche quantitative ! NF04 - Automne - UTC

  4. Problèmes de dynamiques La forme générale d’un système d’équations au 2ème ordre en temps s’écrit : Avec : • [M ] : matrice globale de masse • [C ] : matrice globale d’amortissement ( =[0] en NF04 !) • [K ] : matrice globale de rigidité (voir précédents cours de NF04) • {F } : vecteur global des sollicitations (idem) Particularités de l’analyse modale : • On considère toujours {F } = {0} ! • Analyse modale = approche qualitative : conditions aux limites inutiles ! NF04 - Automne - UTC

  5. U2(t) U1(t) k1 k2 m1 m2 X (m) Application : système à 2 masses et 2 ressorts Modèle physique : Equations du mouvement : Modèle discret : NF04 - Automne - UTC

  6. 1 2 X (m) 3 1 2 Application : cas d’une barre élastique Maillage : deux éléments finis linéaires Forme forte : Forme faible : F(t) E : module de Young [N/m2] r : masse volumique [kg/m3] A : section [m2] u(x,t) : déplacement [m] NF04 - Automne - UTC

  7. Modèle éléments finis Matrices élémentaires : telles que : avec : Assemblage : (L(1) = L(2) = Le) Condition de Dirichlet : Elimination ligne et colonnes . NF04 - Automne - UTC

  8. Analyse modale Objectifs : déterminer les fréquences propres de vibration ainsi que les modes de déformées propres associés Méthode : calcul de valeurs et de vecteurs propres associés « Ingrédients » : matrices de masse [M] et de rigidité [K] NF04 - Automne - UTC

  9. Ecriture d’un problème aux valeurs propres Forme générale « temporelle » : On pose une solution de la forme : Ce qui conduit à : Ecriture générale d’un problème au valeur propre ! (au sens mécanique du terme) NF04 - Automne - UTC

  10. Calcul des valeurs propres Le calcul des valeurs propres s’obtient par la recherche des solutions non triviales de : soit à vérifier : Sur le plan pratique (Matlab) : >> [V, D]=eig(vkg,vmg) Matrice de rigidité Matrice de masse Matrice diagonale des valeurs propre Matrice des vecteurs propre NF04 - Automne - UTC

  11. Application : système 2 masses et 2 ressorts Simplifications : m1=m2=m, k1=k2=k Soient : Equation caractéristique : Calcul des racines : Calcul des vecteurs propres : k=1, m=1 NF04 - Automne - UTC

  12. 1 1.62 Mode 1 1 -0.62 Mode 2 Interprétations graphiques • VALEURS PROPRES : • VECTEURS PROPRES = MODES PROPRES DE DEFORMEE NF04 - Automne - UTC

  13. Propriétés d’orthogonalisation des vecteurs Les modes propres (c-à-d les vecteurs propres) sont définis à une constante près en raison de : Cette condition stipule que l’inverse de la matrice n’est pas unique ! Une constante pour les modes propres peut être déterminée par les conditions d’orthogonalisation : Utilité : permettre la comparaison des résultats entre différentes équipes, outils … M-orthonormalisation K-orthogonalisation NF04 - Automne - UTC

  14. Application : décomposition modale (1) Idée : utiliser les propriétés d’orthogonalisation des vecteurs propres pour diagonaliser le système couplé : Principe : les vecteurs propres sont tous indépendants et par conséquent, ils définissent une base au sens mathématique du terme. On note la base des vecteurs propres : On applique le changement de variables : NF04 - Automne - UTC

  15. Application : décomposition modale (2) Injection des formes dans le système d’équations : Multiplication « par la gauche » par [X ]T : Pour aboutir à N équation différentielles « scalaires découplées » : Résolution classique ! Application du changement de variables aux deux conditions initiales telles que : Coefficients de participation modale des efforts Quels modes sont sollicités ? NF04 - Automne - UTC

More Related