Mental Imagery in Teaching & Learning Mathematics

1. Imágenes mentales en la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas Mental ImageryinTeaching & Learning Mathematics GranadaApril 2005

2. Aspects of Imagery • Fundamental Human Power • Imagining & Expressing • Making Use of imagery • Guiding & Directing Activity • Preparation

3. Aspectos de las Imágenes • Poder fundamentalmente humano • Imaginando y expresando • Haciendo uso de imágenes • Guiando y direccionando la actividad • Preparación

4. Imagining & Expressing • Imagery & Action • Imagery & Speech • Imagery & Diagram • Imagery & Symbol

5. Imaginando y Expresando • Imágenes y acción • Imágenes y discurso • Imágenes y diagramas • Imágenes y símbolos

6. Imágenes visceralesVisceral Imagery

7. Imagery & Diagrams • What proportion of the whole is the shaded area? In how many different ways can you demonstrate that? What did you dowith your self to answer these questions? What aspects could you vary or alter to generalise?

8. Imágenes y diagramas • ¿Qué proporción del total es la zona sombreada? ¿De cuántas formas diferentes puedes demostrarlo? ¿Qué has hecho contigo mismo para responder a estas cuestiones? ¿Qué aspectos puedes variar o alterar para generalizar?

9. Imagine a … Quadrilateral with one pair of parallel sides and one pair of perpendicular sides which are opposite (not adjacent)

10. Imagina un … Cuadrilátero Con un par de lados paralelos Y un par de lados perpendiculares Que son opuestos (no adyacentes)

11. Imagine a … • 29-sided regular polygon with all its chords • 30-sided regular polygon with all its chords What is the Same & What is different? Say What You See

12. Imagina un … • Polígono regular de 29 lados con todas sus cuerdas • Polígono regular de 30 lados con todas sus cuerdas ¿Qué es igual yqué es diferente? Di lo que ves

13. Imagery & Symbols (n + 1)2 - (n – 1)2 ( (n + 1) + (n – 1) ) ( (n + 1) – (n – 1) ) (n2 + 2n + 1) – (n2 – 2n + 1) 2n + 2n Paulo Boero: anticipation effective and fluent symbol manipulation depends upon imagery

14. Imágenes y Símbolos (n + 1)2 - (n – 1)2 ( (n + 1) + (n – 1) ) ( (n + 1) – (n – 1) ) (n2 + 2n + 1) – (n2 – 2n + 1) 2n + 2n Paulo Boero: anticipación La manipulación eficaz y fluida de los símbolos depende de las imágenes

15. ¿Imagen reflejada?Mirror Image?

16. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 La recta numérica se mueveNumber Line Moves Imagina una recta numérica que se prolonga de izquierda a derecha con el cero en el centro Imagine a number line stretching from left to right with zero in the centre.

17. Fuentes escocesas

18. BotelleroWine Rack

21. Imagery & Speech • I see what you say; I hear what you say • Need to • Say what you see/hear/perceive/conceive Learning to express in words, diagrams and symbols is about becoming aware of how you can direct the attention of others through being aware of the direction of your own attention

22. Imagen y discurso • Veo lo que quieres decir; Oigo lo que dices • Necesidad de • Decir lo que ves/oyes/percibes/concibes Aprender a expresarse con palabras, diagramas y símbolos consiste en llegar a ser consciente de como dirigir la atención de otros a través de ser consciente de la dirección de tu propia atención

23. Imagen didáctico: Imagen como metáforaDidactic imagery: Image as metaphor ¿De cuántas formas se puede disponer una secuencia de cuatro poleas de modo que el efecto global sea invertir la dirección? In how many ways can you arrange a sequence of four pulleys so that the overall effect is to reverse the direction?

24. Haciendo uso de imágenesMaking Use of Imagery • Dirigiendo la atención Directing attention • Revelando dónde y cómo es dirigida la atención Revealing where and how attention is directed

25. Importance of Mental Imagery The fundamental power which humans possessfor making sense of the world: Imagining & Expressing Used when Planning, Preparing, Anticipating, Expecting Reflecting, Linking, …

26. Importancia de las Imágenes mentales El poder fundamental que los humanos poseen para comprender el mundo: Imaginando y Expresando Usado cuando Se planea, se prepara, Se anticipa, se supone, se reflexiona, se establecen conexiones,…

27. Preparation • Imagining yourself in a situation, acting as you would wish to act [acting as if : James] • Fill out the image: as richly and fully as possible: behaviour, affect, cognition • Reflect back on event, • locate moments of choice and reinforce them • Locate moments of missed opportunities and re-imagine them as you might have wished

28. Preparación • Imagínate en una situación, actuando como desearías actuar [actuando como si: James] • Completa la imagen: tan completa y detalladamente como sea posible: comportamiento, emociones, cognición • Reflexiona de nuevo sobre el suceso, • Localiza los momentos de elección y refuérzalos • Localiza los momentos de pérdida de oportunidades y vuelve a imaginarlos como hubieras deseado

29. Introducing a concept:imagine a … (context, object, …) Developing a concept:moving from using apparatus moving from diagrams and pictures internalising operations on objects Problem Solving (including modelling): Imagining situation in order to identify relevant variables, relationships, … Thinking mathematicallyseeing possibility of expressing & using generality Uses of Mental Imagery

30. Introduciendo un concepto:imagina un … (contexto, objeto …) Desarrollando un concepto:moviéndose desde el uso de aparatos moviéndose desde los diagramas y dibujos Internalizando operaciones en objetos Resolución de Problemas (incluyendo la modelización): Imaginando situaciones para identificar variables relevantes, relaciones… Pensando matemáticamenteviendo posibilidades de expresión y uso de generalización Usos de las Imágenes Mentales

31. Uses of Mental Imagery for Self Imagining details of a lesson: organisation, expectations from learners, … Imagining questions to ask, activity of learners: what will they be imagining? what will they be attending to, and how? Imagining what learners can then do what will they be ‘seeing’ differently?

32. Uso de Imágenes Mentales por uno mismo Imaginando detalles de una lección: organización, expectativas sobre los alumnos, … Imaginando cuestiones a preguntar, la actividad de los alumnos: ¿Qué estarán imaginando? ¿A qué estarán prestando atención y de qué manera? Imaginando lo que pueden hacer entonces los alumnos ¿Qué estarán ‘viendo’ de forma diferente?

33. The Power to Imagine is: • always available; • a source of energy and motivation; • based on the power to Stress & to Ignoreand so to Distinguish, Select, and Generalise

34. El poder de Imaginar: • está siempre disponible • es una fuente de energía y motivación; • está basado en el poder de Enfatizar e Ignorary de ese modo Distinguir, Seleccionar y Generalizar

35. AutoimagenSelf-Image • Identidad, sentido de uno mismo, agency1,… Identity, sense of self, agency, … • Carole Dweck: dos epistemologías 1 El alcance que tiene una persona para realizar acciones y hacer que las cosas ocurran

36. ¡Feliz imaginación!Happy Imagining! Deseo agradecer a Marta por traducir mis diapositivas

37. ¡Feliz imaginación!