Alunno: Fabio Cacioppo

1. La matematica Babilonese Alunno: Fabio Cacioppo Docente: Prof. Pietro Nastasi

2. Sommario • Cenni storici • Il sistema numerico • Le moltiplicazioni e le divisioni • I problemi • Plimpton 322 • Conclusioni

3. Cenni storici: • Il Regno di Babilonia (babilonese Babil, "porta di Dio") è un antico regno della Mesopotamia; conosciuto inizialmente come Sumer e in seguito come Sumer e Accad, si estendeva su un territorio tra il Tigri e l'Eufrate a sud dell'odierna Baghdad, in Iraq. • Sviluppatasi dal XVIII al VI secolo a.C. , la civiltà babilonese fu, come quella sumera che la precedette, una civiltà di carattere urbano. Nella regione si potevano contare più di una dozzina di città circondate da villaggi. A capo della struttura politica vi era il re, monarca assoluto che esercitava potere legislativo, esecutivo e giudiziario. Sotto di lui vi era un gruppo di governatori e amministratori. A un consiglio degli anziani della città era delegata l'amministrazione locale.

4. La cultura babilonese, complessa e articolata, influenzò quelle dei paesi confinanti, come il regno assiro (Assiria). Gli scavi archeologici hanno restituito molte tavolette d'argilla incise con caratteri cuneiformi, documenti preziosi della letteratura babilonese. • La conoscenza della matematica babilonese è relativamente recente e si basa principalmente sui lavori di Otto Neugebauer (1899-1990).I testi matematici babilonesi, incisi anch’ ‘essi su delle tavolette di creta si possono classificare in due gruppi principali: • tavolette contenti tabelle numeriche (il gruppo più numeroso) • tavolette contenenti problemi (di natura sia algebrica che geometrica)

5. Il sistema numerico: • Il sistema numerico babilonese, almeno quello scientifico (in quanto quello quotidiano usa spesso anche quello additivo per giustapposizione) presenta due caratteri originali, che non si riscontrano in alcun altro sistema antico e che sono rimasti ancor oggi nell’ uso astronomico: • il sistema numerico babilonese è un sistema posizionale . • il sistema numerico babilonese è in base sessagesimale. • La notazione posizionale è del tutto opposta a quella additiva (per giustapposizione) diffusa in tutto il mondo antico, che ritroviamo ad esempio nelle cifre romane. • Una “appropriata” spaziatura fra gruppi di cunei permetteva di distinguere posizioni che, lette da destra a sinistra, corrispondevano a potenze crescenti della base (qui potenze di 60). Ciascun gruppo di simboli cuneiformi avevano un valore locale .

6. Infatti, volendo fare un paragone, a meno dei simboli usati • per indicare i numeri della base, avremo ad esempio: • 243in base decimale • 34,8,12 1in base sessagesimale • che interpreteremo nel modo seguente: • Ma il sistema babilonese presentava un rilevante svantaggio: • quello di non essere un sistema posizionale assoluto a causa della mancanza dello zero. • Questa mancanza porta a due notevoli ambiguità: • La prima è quella di non riuscire a collocare le cifre del numero nella giusta posizione; • Per es. il numero 2 12 poteva essere interpretato senza alcuna obiezione (se non contestuale) in varie maniere, tra cui : • 1 useremo proprio il simbolo “,” • per indicare le diverse posizioni mentre il simbolo “;” • lo useremo come separatore dei numeri interi dai numeri decimali

7. La seconda è quella di non avere neanche un simbolo (funzione svolta sempre dallo zero) per indicare che in una data posizione del numero non viene considerato alcun valore. • Per esempio sempre per il numero 2 12 a causa di uno spazio più o meno vistoso si può interpretare ,erroneamente, in due maniere diverse: • E una simile ambiguità, forse non rilevante a prima vista, risulterà , come avremo la possibilità di vedere, decisiva in varie tavolette, tra cui proprio la Plimpton 322 .

8. Le moltiplicazioni e le divisioni • Abbiamo già detto che la maggior parte delle tavolette arrivateci sono tavole numeriche,e spesso erano di due tipi: • tavole di moltiplicazione (fatte da 2 colonne: m, m x n) • tavole di inversi (fatte anch’esse da due colonne: n, 1/n) • Questo deriva proprio dal fatto che le divisioni dei babilonesi, almeno quelle per i numeri “regolari” 2,venivano fatte in due tempi; • L’operazione m:n veniva infatti fatta, come avrebbe detto uno scriba babilonese al suo alunno, così: • cerca l’ “inverso” di n nella tavola degli inversi • moltiplica il numero trovato per m • 2 La definizione di numero “regolare” data da Neugebauer è data nelle pagine seguenti

9. Uno scriba babilonese per moltiplicare ad esempio 12 per 12 userebbe la tavola del 12,trovando immediatamente il risultato 2,24. • Per dividere 12 per 5 saprebbe, da una tavola di reciproci, che 1/5 corrisponde a 0,12 (infatti 1/5 = 12/60). Pertanto l’operazione 12 x 1/5 porta ancora a trovare il valore di 12 x 12, a meno della posizione, ovvero 2;24. • Quindi il procedimento babilonese evitava completamente regole speciali per il computo di frazioni (siano queste unitarie, come quelle egizie, o no), ed esige che si ricordi correttamente il valore posizionale di ciascun numero che interviene nel computo (proprio come facciamo noi ad esempio nel calcolare la virgola decimale). • Un’ ulteriore osservazione, riguardo il calcolo dei reciproci, è che la divisione dell’unità per un numeron è un’operazione semplice se i fattori di n sono, a meno di esponenti, quelli della base del sistema di numerazione.

10. Come nel nostro sistema decimale la divisione dell’unità è immediata per un numero nella forma con2x ∙5y con x, y naturali, analogamente lo è nel sistema sessagesimale per un numero nella forma 2x ∙3z ∙5y con x, z, y naturali. Neugebauer ha chiamato questi numeri “regolari”. • Quindi possiamo dire sinteticamente che i babilonesi, sfruttando al meglio la flessibilità offerta dal loro sistema di numerazione, tramite la combinazione di tavole di moltiplicazione e di reciproci, riuscivano a calcolare “tutti” i prodotti a x 1/b. • Dire che riuscivano a calcolare “tutti i prodotti” tramite le loro tavole non significa che queste erano perfettamente complete: oltre a essere naturalmente finite (troviamo tavole che vanno da 2 a 1,21), presentano chiaramente delle lacune. • Infatti nelle tavole dei reciproci non troviamo il reciproco di 7, 13,14…. Ma riflettendoci un momento la ragione è evidente: • In realtà, fissata una base del sistema numerico, se l’unità viene divisa per numeri diversi da quelli regolari, il risultato non può essere espresso con un numero finito di posti

11. Base decimale (i numeri regolari sono nella forma 2x ∙5y con x, y naturali) • Per es. prendiamo i numeri 25 e 9 • Base sessagesimale (i numeri regolari sono nella forma 2x ∙3z ∙5y con x, z, y naturali) • Infatti per esempio se vogliamo esprimere 1/9 in sessagesimale, essendo 9 regolare, basta fare dei semplici passaggi: + = = = = =

12. Un’ ultima osservazione rilevante è la presenza di diverse espressioni frazionarie: 1/2, 1/3, 2/3, 5/6. L’impiego di tali frazioni è un fatto originale per la cultura preclassica, in cui era diffuso l’uso delle frazioni unitarie.

13. I problemi • In questo paragrafo riportiamo alcuni dei problemi che ho ritenuto interessanti nel mio studio. • Spesso in una stessa tavoletta, di cui riporterò l’etichetta all’inizio di ogni problema (per esempio YBC 4652), vengono affrontati problemi di un’ uguale tipologia: infatti, quando ciò accade, svilupperò solo uno dei problemi della tavoletta, indicandone il numero che lo identifica. • Ecco allora alcuni degli esercizi, inediti nel nostro corso, che ci preparano anche ad affrontare l’argomento più vasto della tavoletta Plimpton 322.

14. YBC 4652 • Ho trovato una pietra, (ma) non l’avevo pesata; (dopo) ho sottratto un sesto (e) aggiunto un terzo di un ottavo, ho pesato (essa): 1 ma-na. • Qual era (il peso) originale della pietra? (Il peso) originale della pietra era 1 ma-na, 9 gin, 21 ½ ŝe , e un decimo di ŝe. • Problema 21 • Cerchiamo di portare il problema in un linguaggio più idoneo al nostro. • Il peso della pietra è la nostra incognita x. • ho sottratto un sesto …. loro non intendono x-1/6 ma intendono • ho sottratto a x un sesto di x. • (e) aggiunto un terzo di un ottavo naturalmente sono un terzo di un ottavo di “qualcosa”… • potremmo interpretare un terzo di un ottavo di x ovvero • ma in realtà, sulla falsa riga degli esercizi precedenti della tavoletta ( il numero 19 e 20), bisogna interpretare ciò come

15. Quindi in conclusione la nostra equazione è • che svolgendo le operazioni, possiamo scrivere • La parte finale del testo ci dice che • (Il peso) originale della pietra era 1 ma-na, 9 gin, 21 ½ ŝe , e un decimo di ŝe. • Ora,tenendo presente, sempre dai due problemi precedenti, che 1 ma-na = 60 gin, dobbiamo riuscire a scoprire quanto sia per loro un ŝe. • Dopo aver ottenuto 1 ma-na più 19/125 di ma-na portiamo quest’ultima frazione in sessantesimi

16. (Il peso) originale della pietra era 1 ma-na, 9 gin, 21 ½ ŝe, e un decimo di ŝe. • ovvero otteniamo i nove gin più 3/25 gin • e quindi, stando sempre al testo dello scriba, dovrà essere che ŝe gin • dove facendo delle semplici operazioni otteniamo che • 1 gin = 180 ŝe.

17. YBC 4186 • Una vasca era 10 GAR quadrati, 10 GAR profondi. • Ho fatto uscire [?] l’acqua che conteneva: con quest’ acqua quanto campo posso irrigare ad una profondità di 1 ŝu-si? • Metti (da parte) 10 e 10 che formano il quadrato. • Metti (da parte) 10, la profondità della vasca. • E metti (da parte) 0;0,10 la profondità dell’acqua che irrigava il campo. • Prendi il reciproco di 0;0,10 la profondità dell’acqua che irrigava il campo, e (il risultato) 6,0 moltiplicalo per 10, la profondità della cisterna, (e il risultato è) 1,0,0. • 1,0,0 tienilo a mente. • (Il quadrato[?]) 10, che forma il quadrato, (e il risultato è) 1,40. • Moltiplica 1,40 per 1,0,0 che avevi tenuto a mente. Ho irrigato 1,40,0,0 (SAR) di campo.

18. Il testo assume una vasca di forma cubica, e la sua lunghezza L, larghezza B, e profondità H sono 10 GAR ciascuno. • Il problema posto richiede il calcolo dell’area A del campo irrigato ad una profondità HA di 1ŝu-si dall’acqua contenuta nella vasca. • Dopo la trasformazione di • HA = 1 ŝu-si = 0;0,10 GAR • i calcoli vengono fatti in base alla formula H B L • Andiamo ad esaminare la “ricetta” per risolvere il problema data dallo scriba • Prendi il reciproco di 0;0,10 la profondità dell’acqua che irrigava il campo, • vogliamo calcolare il reciproco di 0;0,10 • (0;0,10)R in base sessagesimale = (10∙60-2)R in base decimale • (10∙60-2)R in base dec. = 10-1∙602 =(1/6∙60)-1∙602 = (6·60-1)·602 = 6∙601= 6,0 in base sessag.

19. e (il risultato) 6,0 moltiplicalo per 10, la profondità della cisterna, (e il risultato è) 1,0,0. H B L • 6,0·10 = 1,0,0 • Non abbiamo fatto altro che calcolare della formula generale • Ora dobbiamo moltiplicare questo per L e per B , ovvero come dice il testo • 1,0,0 tienilo a mente. • (Il quadrato[?]) 10, che forma il quadrato, (e il risultato è) 1,40. • Moltiplica 1,40 per 1,0,0 che avevi tenuto a mente. • Quindi • 1,0,0 ·10·10 = 10,0,0 · 10 = 1,40,0,0 • Che concorda con il risultato dato dallo scriba • Ho irrigato 1,40,0,0 (SAR) di campo.

20. YBC 4608 • Un triangolo. 6,30 è la lunghezza, (11,22),30 l’area; Non conoscevo (la sua [?]) larghezza. 6 fratelli lo hanno diviso. La parte di un fratello eccedeva (su quella) degli altri, ma di quanto eccedeva non lo sapevo. Di quanto eccede la parte di questo fratello sulle altre? • Quando effettui (i calcoli), moltiplica l’area per due, (e il risultato è) 22,45,0. Il reciproco di 6,30 non è ottenibile. Quanto devo apporre a 6,30 affinché mi dia 22,45,0 ? Poni 3,30, (che è) la larghezza superiore. Prendi il reciproco di 6, i fratelli, (e moltiplica il risultato) 0;10 per 6,30 e ( il risultato) 1,5 (è) la lunghezza che ogni (…) • 35 GAR è la larghezza. 35 (da 3,30 …) • 35 da 2,5(5…) • 35 da 2,2(0…) • 35 da 1,4(5…) • sottrai 35 da 1,10 (…) • sottrai 35 , e la lunghezza [?] (…)

21. L = 6,30 B1 = ? AT = 11,22,30 • Affrontiamo il problema passo passo: • Un triangolo. 6,30 è la lunghezza, (11,22),30 l’area; Non conoscevo (la sua [?]) larghezza. B2 B6 B5 B1 B3 B4 L • 6 fratelli lo hanno diviso. • La parte di un fratello eccedeva (su quella) degli altri, ma di quanto eccedeva non lo sapevo. Di quanto eccede la parte di questo fratello sulle altre? • Seguiamo la ricetta dello scriba: • Quando effettui (i calcoli), moltiplica l’area per due, (e il risultato è) 22,45,0. • Il reciproco di 6,30 non è ottenibile. Quanto devo apporre a 6,30 affinché mi dia 22,45,0 ? Poni 3,30, (che è) la larghezza superiore

22. L = 6,30 B1 = ? AT = 11,22,30 B2 B6 B5 B1 B3 B4 L • Ovvero sta usando la formula inversa dell’area del triangolo • Infatti 2AT = 2·11,22,30 = 22,45,0 • Poiché il reciproco di 6,30 non lo trova nelle tavole, si domanda: • Quanto devo apporre a 6,30 affinché mi dia 22,45,0 ? • Ovvero “per quante volte devo moltiplicare 6,30 affinché mi dia 22,45,0 ?”, • non sta facendo altro che una divisione come l’inverso della moltiplicazione! • Proviamo ad effettuarla con il nostro algoritmo …

23. Proviamo a controllare effettivamente • quanto fa 6,30 x 30 • ( 6,00 x 30 ) + ( 30 x 30 ) = ( {6 x 60} x {½ x 60} ) + {900} = • Applicando semplicemente la proprietà distributiva, e indicando in parentesi graffa la notazione decimale, si ha: • ( {6 x ½} x {602} ) + 15,00 = 3,00,00 + 15,00 = 3,15,00 • Effettivamente allora abbiamo trovato quante volte devo moltiplicare 6,30 affinché mi dia 22,45,0: • lo devo moltiplicare per 3,30 volte. • Poni 3,30, (che è) la larghezza superiore. • Possiamo ora continuare il problema.

24. L = 6,30 B1 = ? AT = 11,22,30 L = 6,30 B1 = 3,30 AT = 11,22,30 L = 6,30 B1 = 3,30 AT = 11,22,30 L1= 1,5 B2 B6 B5 B1 B3 B4 L • Il testo prosegue L1 • Prendi il reciproco di 6, i fratelli, (e moltiplica il risultato) 0;10 per 6,30 e ( il risultato) 1,5 (è) la lunghezza che ogni (…) • Non è che la banale divisione della base L del triangolo per 6, il numero dei fratelli • (6)R = 0;10 • 6,30·0;10 = 6;30·10 = (6·10) + (0;30·10) = 1,0 + ( ½ · 10) = 1,5 • A questo punto il passo successivo ci dice • 35 GAR è la larghezza. 35 (da 3,30 …)

25. D L = 6,30 B1 = 3,30 AT = 11,22,30 L1 = 1,5 B6 = 35 L = 6,30 B1 = 3,30 AT = 11,22,30 L1= 1,5 B1 B2 B6 B5 B3 B4 L1 L F • Svolgendo il problema, anche in maniera autonoma, si trova che 35 è proprio B6 e il testo sembra dire che 35 si ricava da 3,30 che ormai sappiamo essere B1 C O E • Allora usando la similitudine dei triangoli OCD e OEF si ha la seguente proporzione • L1 : L = B6 : B1 • 35 da 2,5(5…) • 35 da 2,2(0…) • 35 da 1,4(5…) • sottrai 35 da 1,10 (…) • sottrai 35 , e la lunghezza [?] (…)

26. 35 da 2,5(5…) 35 da 2,2(0…) 35 da 1,4(5…) sottrai 35 da 1,10 (…) sottrai 35 , e la lunghezza [?] (…) D L = 6,30 B1 = 3,30 AT = 11,22,30 L1 = 1,5 B6 = 35 F C O E B1 B2 B6 B5 B3 B4 L1 L H • Per trovare i restanti B5 B4 B3 e B2 basta continuare ad usare la similitudine, questa volta tra OCD e OGH: e otteniamo • 2L1 : L = B5 : B1 G • Ed alla stessa maniera si trova

27. 35 da 2,5(5…) 35 da 2,2(0…) 35 da 1,4(5…) sottrai 35 da 1,10 (…) sottrai 35 , e la lunghezza [?] (…) D L = 6,30 B1 = 3,30 AT = 11,22,30 L1 = 1,5 B6 = 35 L = 6,30 B1 = 3,30 AT = 11,22,30 L1 = 1,5 B6 = 35 B5 = 1,10 B4 = 1,45 B3 = 2,20 B2 = 2,55 H F C O G E B1 B2 B6 B5 B3 B4 L1 L • Ci si domanda come invece lo scriba abbia ottenuto i risultati in ordine inverso. Basta verificare che • Risultato già trovato ma che ci fa notare che allora • E quindi possiamo ottenere i risultati proprio nell’ordine dell’autore

28. YBC 6967 • L’ “igibum” supera l’ “igum” di 7. • Quanto (sono l’igum e) l’igibum ? • Quanto a te – dimezza 7, di cui l’igibum supera l’igum, e (il risultato è) 3;30.Moltiplica insieme 3;30 con 3;30, e (il risultato è) 12;15. A 12;15 , che hai come risultato, aggiungi ( 1,0,il prodotto,) e ( il risultato è) 1,12;15.Qual è (la radice quadrata di 1,)12,15? (Risposta:) 8;30.Metti da parte (8;30 e) 8;30, il suo uguale,e dopo sottrai 3;30, il “takiltum”, da uno, aggiungi (questo) all’altro.Uno è 12. l’altro 5. • 12 è l’igibum, 5 l’igum. • Il problema qui trattato appartiene ad una ben nota classe di equazioni di secondo grado caratterizzate dai termini accadici “igibum” ed “igum”. Questi termini si riferiscono ad una coppia di numeri che oltre ad avere una relazione numerica che li lega sono uno il reciproco dell’altro, più in generale numeri il cui prodotto è una potenza di 60. • Prima di affrontare tale problema dobbiamo ricordare che i babilonesi avevano una maniera ben precisa di risolvere questo tipologia di problemi.

29. Loro se conoscevano la somma s e il prodotto p di due numeri x e y oppure se conoscevano la differenza d e il prodotto p usavano le formule a) b) • Da dove hanno ricavato tali formule? • Si pensa dalle formule del completamento del quadrato c) d) • infatti dalla c) ad esempio si ricava • da cui

30. e invece con lo stesso tipo di passaggi dalla d) si ricava • Risultati che ci ricordano, e in effetti sono casi particolari, la nostra formula per la soluzione delle equazione di secondo grado • dove infatti • Torniamo al nostro problema.

31. Possiamo seguire passo passo la ricetta dello scriba… • effettivamente è come se egli avesse la formula davanti Quanto a te – dimezza 7, di cui l’igibum supera l’igum, e (il risultato è) 3;30. Moltiplica insieme 3;30 con 3;30, e (il risultato è) 12;15. A 12;15 , che hai come risultato, aggiungi ( 1,0,il prodotto,) e ( il risultato è) 1,12;15. Qual è (la radice quadrata di 1,)12,15? (Risposta:) 8;30. Metti da parte (8;30 e) 8;30, il suo uguale, e dopo sottrai 3;30, il “takiltum”, da uno, aggiungi (questo) all’altro. Uno è 12. l’altro 5. 12 è l’igibum, 5 l’igum. Ed ecco risolto il problema, avendo seguito le indicazioni dello scriba. Gli stessi calcoli, a meno dell’estrazione di radice, risultano molto semplici.

32. YBC 4662 • Una ki-lá. 7 ½ SAR è l’area, 45 SAR il volume; 3un settimo di quanto la lunghezza eccede sulla larghezza è uguale a ½ . • Quali sono la lunghezza, la larghezza e la sua profondità? • Quando effettui (i calcoli), prendi il reciproco di 7 ½ SAR, l’area, (moltiplica per) 45, (il volume, e) tu otterrai la sua profondità. Dimezza 4il sette che è stato assunto prima , (e) otterrai 3;30. Prendi il reciproco della sua profondità, (e) otterrai 0;10. Moltiplica 0;10 per 45 (SAR), il volume, (e) otterrai 7;30. Dimezza 3;30, (e) otterrai 1;45 : 5moltiplica insieme 1;45 con 1;45, (e) otterrai 3;3,45. Aggiungi 7;30 a 3;3,45, (e) otterrai 10;33,45 : così per 10;33,45, (prendi) la sua radice quadrata, (e) otterrai 3;15 : opera con 3;15 (per due volte): aggiungi 1;45 all’uno, sottrai 1;45 all’altro, (e) otterrai la lunghezza e la larghezza. 5 GAR è la lunghezza; (1 ½ GAR è la larghezza). • Problema 21 3 era tradotto “un settimo di quello per cui la lunghezza eccede la larghezza è la sua profondità.” 4 era tradotto “l’un settimo” 5 era tradotto “moltiplica insieme 1;45 volte 1;45”

33. Una ki-lá. 7 ½ SAR è l’area, 45 SAR il volume; 3un settimo di quanto la lunghezza eccede sulla larghezza è uguale a ½ . • Quali sono la lunghezza, la larghezza e la sua profondità? • Sviluppiamo il problema come al solito seguendo le indicazioni dello scriba • Lo scriba continua • Quando effettui (i calcoli), prendi il reciproco di 7 ½ SAR, l’area, (moltiplica per) 45, (il volume, e) tu otterrai la sua profondità. A • Non sta facendo altro che usare la formula • A = 7 ½ • V = 45 • a = ? • b = ? • p = ? • A = 7 ½ • V = 45 • a = ? • b = ? • p = 6 V p (7 ½ )R = (7 + 0;30)R p = V·AR = 45·(7;30)R = 6 b a

34. A V p b a 7:2 = 3;30 (p)R = (6) R = 0;10 V·(p)R = 45·0;10 = 7;30 = a·b = A • Dimezza 4il sette che è stato assunto prima , (e) otterrai 3;30. Prendi il reciproco della sua profondità, (e) otterrai 0;10. Moltiplica 0;10 per 45 (SAR), il volume, (e) otterrai 7;30. • Effettivamente questi due ultimi passaggi sembrano inutili, in quanto il prodotto a·b = A lo conosceva già! Si tratta forse di una svista dello scriba. • A = 7 ½ • V = 45 • a = ? • b = ? • p = 6 • Dal prossimo passaggio lo scriba utilizza la formula, a noi ormai nota,con una certa variante, • Infatti egli non conosce d = a – b ma sa che 3un settimo di quanto la lunghezza eccede sulla larghezza è uguale a ½ .

35. A V p b a Dimezza 3;30, (e) otterrai 1;45 : 5moltiplica insieme 1;45 con 1;45, (e) otterrai 3;3,45. Aggiungi 7;30 a 3;3,45, (e) otterrai 10;33,45 : così per 10;33,45, (prendi) la sua radice quadrata, (e) otterrai 3;15 : opera con 3;15 (per due volte): aggiungi 1;45 all’uno, sottrai 1;45 all’altro, (e) otterrai la lunghezza e la larghezza. 5 GAR è la lunghezza; (1 ½ GAR è la larghezza). • Allora procede nel seguente modo • A = 7 ½ • V = 45 • a = ? • b = ? • p = 6 • A = 7 ½ • V = 45 • a = 5 • b = 1;30 • p = 6 • Una volta fatta un po’ di pratica non è più necessario imbattersi in conti manuali in sessagesimale. Quindi conviene, per controllare, riportarsi i conti in decimale

36. BM 13901 Problema 10 • Ho messo insieme le superfici di due miei quadrati: 21;15. Il lato di uno è un settimo meno dell’altro. • Annota 7 e 6. Tu moltiplica 7 e7: 49. Tu moltiplica 6 e 6. Tu somma 36 e 49: 61,25. Il reciproco di 1,25 non può essere trovato. Per cosa devo moltiplicare io 1,25 per darmi 21;15? 0;15. 0;30 il lato. • Tu moltiplica 0;30 per 7: 3;30 il primo lato. • Tu moltiplica 0;30 per 6: 3 il secondo lato. I dati del problema sono semplicemente: Vediamo che tecnica di risoluzione adotta seguendo, ancora una volta, le istruzioni dello scriba … 6 era trascritto, per ogni sua occorrenza nel testo, come 1;25.

37. 6 7 7·7 = 49 6·6 = 36 36 + 49 = 1,25 • Annota 7 e 6. Tu moltiplica 7 e7: 49. Tu moltiplica 6 e 6. Tu somma 36 e 49: 6 1,25. Il reciproco di 1,25 non può essere trovato. Per cosa devo moltiplicare io 1,25 per darmi 21;15? 0;15. • (1,25)R = ? n·1,25 = 21;15 ↔ 21;15 : 1,25 = n , • ovvero n = 0;157 0;30 il lato. • 0;15, per come è stato ottenuto, ha dimensione di un quadrato. Il suo lato è allora Tu moltiplica 0;30 per 7: 3;30 il primo lato. Tu moltiplica 0;30 per 6: 3 il secondo lato. • 0;30·7 = 3,30 = y • 0;30·6 = 3,00 = x 7Ormai i calcoli li effettuiamo col calcolatore solo come controllo

38. Per capire meglio il procedimento che ha seguito, osserviamo come ha ottenuto ad esempio y • Ovvero non ha fatto altro che una sostituzione dove • Ugualmente si ricava x dalla formula

39. Plimpton 322 • La denominazione è dovuta al fatto che la tavoletta porta il numero "322" nel catalogo della collezione di G.A. Plimpton della Columbia University. La tavoletta risale ad un periodo imprecisato tra il 1900 e il 1600 a.C. ( probabilmente al periodo del grande Hammurabi, 18° secolo a.C. ). • La tavoletta è mutila e il suo bordo sinistro, danneggiato, porta tracce di colla, segno che la tavoletta si è rotta dopo che era stata riportata alla luce e che, incollata, le due parti si sono successivamente separate. • Forse la parte mancante, giace da qualche parte in qualche museo.

40. Come molte altre simili tavolette, è stata interpretata inizialmente come un inventario od un registro. • Proviamo innanzitutto a sfatare questa superficiale interpretazione della tavoletta. • La parte restante della tavoletta, quella destra della tavoletta più ampia, contiene 4 colonne. • Indicheremo le prime 3 colonne (la quarta non indica altro che il numero della riga) rispettivamente con A, B,C. • Alla colonna A, nonostante i buchi dovuti all’erosione, sembrano appartenere numeri in ordine decrescente. Si notano numeri di lunghezza sia corta che lunga, apparentemente a caso. • Invece i numeri della colonna B e C sono piuttosto corti, e non si notano forme di monotonicità. • Traduciamo i numeri in notazione arabica per incominciare a trovare qualche modello

41. Notiamo che • Tranne che in due casi (riga 13 e 15) i numeri di colonna B sono più piccoli di quelli di C • La colonna B contiene esattamente un numero primo (541) mentre la C ben 8 primi • Nei primi 20.000 interi ci sono circa 2.300 primi (pressappoco il 10%). • Se ci riflettiamo in una colonna di 15 interi ci aspettiamo 1, 2 primi, non certo 8! Questo ci dice subito che la tavoletta è di tipo matematico e non soltanto aritmetica. • Stimolati da ciò continuiamo a cercare altri modelli, combinando ad esempio i valori di B e di C. • Proviamo a sommare e sottrarre i valori creando le colonne C+B e C-B.

42. Troviamo subito che in molti casi i numeri delle colonne create sono il doppio di quadrati perfetti. • Infatti se C+B = 2a2 e C-B = 2b2 allora B = a2 - b2 e C = a2 + b2. • Sembra allora che i numeri della colonna B e C della tavoletta Plimpton siano generati da delle coppie (a,b). • Riscriviamo le due colonne B e C con le relative coppie (a,b) nei casi in cui è possibile.

43. Notiamo di essere sulla giusta via in quanto le coppie sono “buoni” sessagesimali, ovvero fattorizzabili in potenze di 2 3 e 5. • In 5 casi il modello fallisce e non esistono le coppie. • Possiamo allora cominciare a ipotizzare errori dello scriba che ha prodotto tale tavoletta. • Studiamo i 5 casi di incompatibilità sul modello, ipotizzando almeno uno dei due valori (di B o di C) corretto.

44. Riga 9: • B = 541, che è il solo primo nella colonna B. • Perciò consideriamo B sbagliato e C corretto. • Considerando C = 769 = a2 + b2,l’unica soluzione è la coppia (25,12) • Così B = a2 - b2 = 481. • C’è una possibile spiegazione per l’errore compiuto? • Si: • {481} = 8;1 mentre {541} = 9;1… sembra un semplice errore di copiatura. • Riga 13: • B = 25921 > C = 289 • Perciò consideriamo B sbagliato e C corretto. • Considerando C = 289 = a2 + b2,l’unica soluzione “buona” è la coppia (15,8). • Così B = a2 - b2 = 161. • C’è una possibile spiegazione per l’errore compiuto? • Una risposta parziale è immediata: • (161)2 = 25921… sembra che lo scriba registri, per non sappiamo quale motivo, il valore del quadrato di B piuttosto che di B.

45. Riga 15: • B = 56 > C = 53 • Non sappiamo quale dei due sia sbagliato. • Se consideriamo C corretto allora da C = 53 = a2 + b2 otteniamo l’unica soluzione (7,2). • Scartiamo questa ipotesi non essendo 7 un “buon” sessagesimale. • Allora B = a2 - b2 = 56. Questa equazione ha due soluzioni (15,13) e (9,5). • Prendiamo, naturalmente la seconda coppia (9,5). • Così C = a2 + b2 = 106. • C’è una possibile spiegazione per l’errore compiuto? • Una risposta parziale è immediata: • 160:2 = 53… sembra che lo scriba registri, per non sappiamo quale motivo, il valore dimezzato di B piuttosto che di B.

46. Riga 2: • B = 3367, C = 11521 • Non sappiamo quale dei due sia sbagliato. • Se consideriamo C corretto allora da C = 53 = a2 + b2 otteniamo due soluzioni (100,39) e (89,60). • Scartiamo questa ipotesi non essendo né 39 né 89 “buoni” sessagesimali. • Allora B = a2 - b2 = 3367. Questa equazione ha quattro soluzioni (1684,1683), (244,237), • (136,123), (64,27). • Possiamo accettare l’unica coppia “buona” (64,27). • Così C = a2 + b2 = 4825. • C’è una possibile spiegazione per l’errore compiuto? • Non esiste una spiegazione immediata, e non sembra nemmeno un errore di copiatura , essendo {4825} = 1,20,25 e 11521 = 3,12,1.

47. Riga 11: • B = 45, C = 75 • Non sappiamo quale dei due sia sbagliato. • È l’unico caso in cui B e C non sono primi fra loro. • Neugebauer interpreta ciò arbitrariamente: • Ricordiamo che C+B = 120 e C-B = 30 • Ma in notazione sessagesimale C+B = {120} = 2,0 valore doppio di 1,0 che si può scrivere pure come 1, quadrato perfetto. • Ugualmente C-B = {30} = 30 = 2·15 . A sua volta se scriviamo 15 come 0;15 = ¼ ,quadrato perfetto di ½ . • Ma a parer mio possiamo interpretare • B = {45} = 45 = 45,0 = 2700 (in quanto il sistema babilonese non è posizionale assoluto) • C = {75} = 1,15 = 1,15,0 = 4500 • Tutto torna al suo posto, poiché C = a2 + b2 e B = a2 - b2 allora

48. Ecco allora la tabella corretta per le colonne B e C • Affrontiamo ora un'altra domanda cruciale: qual è lo scopo della tavoletta? • Varie interpretazioni si sono date alla tavoletta Plimpton 322. Incominciamo a chiederci se i numeri nella forma a2 + b2 , a2 - b2 hanno qualche proprietà. • Una relazione piuttosto suggestiva ci viene data dalla formula • (a2 - b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2 • (formula euclidea per la generazione di terne pitagoriche)

49. Quindi se noi introduciamo la colonna D = 2ab, D sarà insieme ad A e B, la colonna dei numeri tali che B2 + D2 = C2, ovvero la tavoletta si configura come una serie di triplette pitagoriche, generate dalle coppie di interi (a,b). C = a2+b2 B =a2-b2 C B D • Non ci sono informazioni che mostrano che questa formula era conosciuta al tempo in cui venne scritta la tavoletta, benché la loro algebra aveva già dominato le soluzioni delle equazioni quadratiche.

50. Se la tavoletta effettivamente è connessa a questa interpretazione, la colonna A deve avere una certa relazione col triangolo retto dato da B C e D. • Il passo successivo sarà allora procedere come prima e tentare differenti combinazioni di C B e D, nella speranza che una approssimi i valori della colonna A. • Dopo un po’ di tentativi si trova che A = (B / D)2. C = a2+b2 B =a2-b2 A = (B/D)2 θ C B D • Infatti la ricostruzione è stata difficoltosa soprattutto perché la colonna A è quella che ha risentito di più dell’erosione. • Anche qui si riscontrano errori minori di copiatura: • Per esempio troviamo: