** 系统的稳定性

**系统的稳定性基本概念：系统在初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零--系统稳定。否则，系统为不稳定。

系统的稳定性

系统稳定的充要条件 系统特征方程的根全部具有负实部。即：系统闭环传递函数的极点全部位于[s]平面的左半平面。

劳斯（Routh）稳定判据 基于方程式根与系数的关系---代数判据系统的特征方程稳定的充分必要条件：劳斯表中第一列各元素均为正值，且不为零。

劳斯（Routh）稳定判据 系统的特征方程

劳斯（Routh）稳定判据举例

举例

劳斯（Routh）稳定判据举例 K>0.5

Nyquist 稳定判据 利用开环Nyquist图，判断系统闭环后的稳定性--几何判据。

米哈伊洛夫定理

米哈伊洛夫定理 假定n阶特征方程D(jω)有p个根在[s]平面的右半平面，则当ω由－∞变到＋∞时，向量D(jω)的相角变化为

Nyquist稳定判据

Nyquist稳定判据 开环传递函数G(s)H(s)在[s]的右半平面有p个极点，当ω从0变化到＋∞时，其开环频率特性G(jω)H(jω)逆时针方向包围（－1，j0）点p/2次，则闭环系统稳定；反之，闭环系统就不稳定。

Nyquist稳定判据举例 开环P=0的系统

Nyquist稳定判据举例 P=1 开环不稳定而闭环稳定

含有积分环节的Nyquist 开环系统的零根作为左根处理

含有积分环节的Nyquist举例 P=0，包围（-1，j0）两次，闭环不稳定

具有延时环节的系统稳定性 不改变幅频特性，仅使相频特性滞后增加。 τ越大，滞后越多。

Nyquist稳定判据应用举例 开环传递函数 P=0，不包围（-1, j0）,闭环稳定

Nyquist稳定判据应用举例 开环传递函数闭环稳定

Nyquist稳定判据应用举例 开环传递函数 P=0， 1--T4小，闭环不稳定 2--T4大，闭环稳定

应用Nyquist图判断稳定性 K=1,7.8,20 输入程序

Bode稳定判据 Nyquist图与Bode图之间的对应关系：

穿越的概念

多个剪切点 取最大剪切点来判断稳定性

Bode稳定判据 如果开环系统在[s]的右半平面有p个极点，则闭环系统稳定的充要条件是：在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性曲线在－180º线上正负穿越次数之差为p/2。

Bode稳定判据 如果p=0，则闭环稳定的充要条件：在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性曲线不超过－180º线。

Bode稳定判据举例 a P=0, 正负穿越之差0次，闭环稳定。 b P=1, 半次正穿越，闭环不稳定。

Bode稳定判据举例 c P=2, 正负穿越之差-1次，闭环不稳定。 d P=2, 正负穿越之差1次（P/2），闭环稳定。

系统的相对稳定性

相位裕度γ 正相位裕度：γ>0, 在－180º线以上，闭环系统稳定；负相位裕度：γ<0 , 在－180º线以下，闭环系统不稳定。

幅值裕度Kg 正幅值裕度: Kg(dB)>0，Kg(dB) 在0dB线以下，闭环系统稳定; 负幅值裕度: Kg(dB)<0，Kg(dB) 在0dB线以上，闭环系统不稳定;

举例求：K=10时的相位裕度和幅值裕度

求稳定裕度 输入程序

举例求：K=100时的相位裕度和幅值裕度

求稳定裕度 输入程序

例：已知一单位反馈系统的开环传递函数为 试求：（1）K=1时，系统的相位裕度和幅值裕度；（2）要求调整增益K，使系统的幅值裕度20lgKg=20dB，相位裕度γ≥40°。