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第六章 非线性微分方程

第六章 非线性微分方程. 6.1 自治系统与非自治系统. 6.2 稳定性的基本概念. 6.3 判定稳定性的 Liapanov 函数法. 6.4 由线性近似系统判定稳定性. 为什么要研究微分方程的定性理论 ?. 由于大多数微分方程 , 即使是低阶线性方程 , 它的解一般也难以求 得对于非线性微分方程 ( 组 ), 除了极少数特殊情况之外 , 要想用衽初等 方法去求解 , 往往是不可能的 . 这就迫使人们去寻找其它的研究途径 , 本章 4.3 节中所介绍的 幂级数解法 就是途径之一 , 另一种重要的途径

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第六章 非线性微分方程

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Presentation Transcript

  1. 第六章 非线性微分方程 6.1 自治系统与非自治系统 6.2 稳定性的基本概念 6.3 判定稳定性的 Liapanov 函数法 6.4 由线性近似系统判定稳定性

  2. 为什么要研究微分方程的定性理论? 由于大多数微分方程,即使是低阶线性方程,它的解一般也难以求 得对于非线性微分方程(组),除了极少数特殊情况之外,要想用衽初等 方法去求解,往往是不可能的.这就迫使人们去寻找其它的研究途径, 本章4.3节中所介绍的幂级数解法就是途径之一,另一种重要的途径 是利用数值计算方法通过计算机去求其近似解,这是一种很实用的方 法,我们将在后续课程中专门学习.本节即将介绍的重要方法,就是不 通过求解而直接从微分方程的系数去研究其解的主要特征和性态,这 就是所谓的定性分析方法.这种方法在利于人们掌握解的最终趋势,了 解全部解的分布特征和相互关系.在理论分析和实际应用中,定性分析 法和数值计算法两者若能相互结合、相辅相成。将会产生更好的效 果。限于篇幅，本节我们主要介绍定性分析方法中稳定性理念的初 步知识，而且局限于对自治系统进行讲解。

  3. 内动点的坐标, 把t理解为时间,x理解为相空间 那末(6.1) 确定了一个向量场(速度场), (6.2)确定一个定常场. (6.1)称为非自治系统, (6.2)称为自治系统, 6. 1 自治系统与非自治系统 (6. 1) (6. 2)

  4. 使 则点 称为系统(6.2) 定义6.1 若存在 的一个平衡位置, 也称为此系统的一个奇点. 6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别 自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自 治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交. 轨线只可能与奇点无限接近, 但不可能通过奇点, 否则与解的 唯一性相矛盾. 对于一给定的自治系统来说, 奇点或平衡位置是人 们关心的重要问题, 在奇点附近轨线的分布情况是多种多样的, 这 也是对自治系统进行研究的重要内容之一,本书对此不作进一步讨 论,有兴趣的同学可参考常微分方程教材,我们在此主要讨论奇点的 的稳定性.

  5. 6.1.2 相平面、相轨线与相图 我们把平面xoy称为(6.3)的相平面,而把(6.3)的解在平面 上的轨迹称为(6.3)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上 的图像称为(6.3)的相图.

  6. (a) (b)

  7. 是系统(5.2)适合初值条件 定义6.2 设 的解 对一切 使得只要 (1) 若 恒有 是稳定的; 则称系统(5.2)的零解 (2) 若 1) 是稳定的; 就有 2) 使得只要 6.2 稳定性的基本概念

  8. 是渐近稳定的; 区域 则称系统(6.2)的零解 称为 吸引域;如果吸引域是全空间,则称 是全局渐近 稳定的. 都 与 使 (3) 若 但 则称 是不稳定的; 例如, 微分方程 满足初值条件 的解为

  9. 定义6.3 设 时, 且当 则称 若 上是常正(常负)的;若 且当 函数 在 则称 函数 在 上是常正(常负)的;常 时, 常正或常负的函数统称为常号函数;定正或定负的函数统称为 且在 的任意领域内均既有使 定号函数. 若 在 的点,则称函数 的点, 也有使 上是变号的. 6.3 判定稳定性的Liapunov函数法

  10. 定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在 表示 上的定正(定负)函数 沿系统(6.2)的轨线 的全导数 在 在 在 上是定负(定正)的,则 上是定正(定负)的,则 上是常负(常正)的,则 是不稳定的; 是稳定的; 是渐近稳定的; (2) 若 (1) 若 (3) 若 用来判定稳定性的这种函数 称为Liapunov函数,也称为 函数.

  11. 附注1若 定正(定负), 常负(常正), 但集合 内除 外不含有系统(6.2)的整条轨线, 则 是渐近稳定的. 附注2若 在 的邻域内是变号函数,而 定号,则 是不稳定的. 例5.2 讨论系统 (6.5) 的零解 的稳定性.

  12. 为(6.10)的解, 利用TayLor公式 可将(6.10)化为 设 6.4 由线性近似系统判定稳定性 (6.10) 称系统(6.11)的线性近似系统为 (6.12)

  13. 定理 6.2 (1) 若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统 (6.10)的零解是渐近稳定的; (2) 若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统 (6.10)的零解是不稳定的. 定理 6.3 (Hurwitz准则) 实系数 n 次代数方程 的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:

  14. 其中当 时, 例6.5 判定系统 零解的稳定性.

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