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第十章

第十章. FIR 数字滤波器设计. 10.1 FIR 数字滤波器设计的基本方法. 与 IIR 数字滤波器的设计不同， FIR 滤波器的设计与模拟滤波器的设计没有任何联系。 FIR 滤波器的设计 基于对指定幅度相应的直接逼近 ，并且通常要求其具有 线性相位响应 。 FIR 滤波器的两种直接设计方法是： 加窗傅里叶级数法 和 频率抽样法 。. 10.2 基于加窗傅里叶级数的 FIR 滤波器设计. 实系数 FIR 滤波器的传输函数用 z -1 的多项式来表示。 一种方法是基于 对指定的频率响应 的 傅里叶级数 进行截断 来设计。

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Presentation Transcript

  1. 第十章 FIR 数字滤波器设计

  2. 10.1 FIR数字滤波器设计的基本方法 • 与IIR数字滤波器的设计不同，FIR滤波器的设计与模拟滤波器的设计没有任何联系。 • FIR滤波器的设计基于对指定幅度相应的直接逼近，并且通常要求其具有线性相位响应。 • FIR滤波器的两种直接设计方法是：加窗傅里叶级数法和频率抽样法。

  3. 10.2 基于加窗傅里叶级数的FIR滤波器设计 • 实系数FIR滤波器的传输函数用z-1的多项式来表示。 • 一种方法是基于对指定的频率响应的傅里叶级数进行截断来设计。 • 第二种方法是基于对频率样本进行离散傅里叶逆变换来设计。

  4. 设 表示期望的频率响应函数。周期为2，表示为傅里叶级数： 10.2.1 FIR滤波器的最小积分平方误差设计 傅里叶级数的系数刚好是单位冲激响应：

  5. 给定 ，可求 。 • 大多数实际应用中， 是分段常数的， • 是无限长非因果的。 • 目的：寻找长度为（2M+1）的有限长冲激响应 ，其DTFT 在某种程度上逼近 。 10.2.1 FIR滤波器的最小积分平方误差设计

  6. 10.2.1 FIR滤波器的最小积分平方误差设计 最小积分平方误差逼近准则： 式中 利用帕斯瓦尔关系：

  7. 理想无限长冲激响应的最佳和最简单的有限长逼近是通过截短来得到的理想无限长冲激响应的最佳和最简单的有限长逼近是通过截短来得到的 10.2.1 FIR滤波器的最小积分平方误差设计 • 由上可知 当M≤n≤M ht[n]=hd[n]φ最小

  8. 10.2.1 FIR滤波器的最小积分平方误差设计 • 冲激响应 为h[n]的因果FIR滤波器可以通过将 ht[n] 延时M样本后得到

  9. 10.2.2 理想滤波器的冲激响应 • 理想低通滤波器 • 理想高通滤波器

  10. 10.2.2 理想滤波器的冲激响应 • 理想带通滤波器

  11. 10.2.2 理想滤波器的冲激响应 • 理想带阻滤波器

  12. 10.2.2 理想滤波器的冲激响应 • 理想多幅度级滤波器

  13. 10.2.2 理想滤波器的冲激响应 • 理想离散时间希尔伯特变换器

  14. 10.2.2 理想滤波器的冲激响应 • 理想离散时间差分器

  15. 10.2.3 吉布斯现象 • 对于给定的理想滤波器的冲激响应系数进行简单截短，这些截短滤波器的幅度响应呈现振动的现象，称为吉布斯现象

  16. 10.2.3 吉布斯现象 • 随着滤波器长度的增加，通带和阻带的波纹数增加，而波纹的宽度相应减小； • 随着滤波器长度的增加，截止频率两边出现的最大波纹的高度仍然保持不变，它与滤波器的长度无关，并且近似等于理想滤波器通带和阻带幅度差的11%； • 在其他类型的理想滤波器冲激响应的截短频率响应中，同样可以观察到类似的现象。

  17. Normalized frequency/ Normalized frequency/ 10.2.3 吉布斯现象

  18. 可以通过 与窗函数的傅里叶变换 进行圆周卷积得到 和 和 的DTFT分别为 10.2.3 吉布斯现象 • 产生吉布斯现象的原因可以在频域中研究该加窗过程而得到解释 在频域

  19. w[n], N=21 Normalized frequency/ 10.2.3 吉布斯现象 矩形窗

  20. 振荡可以通过观察 的ＤＴＦＴ 频率响应 有一个以 为中心的“主瓣” 10.2.3 吉布斯现象 • 其它的波纹都称为“旁瓣”

  21. 10.2.3 吉布斯现象

  22. 10.2.3 吉布斯现象 卷积过程 =0,Ht(0)1  = c,Ht(c)0.5  = c-2/(2M+1),出现正的肩峰  = c+2/(2M+1),出现负的肩峰  > c+2/(2M+1),围绕零值摆动  < c-2/(2M+1),围绕Ht(0)值摆动

  23. 振荡可以通过观察 的ＤＴＦＴ 频率响应 有一个以 为中心的“主瓣” 10.2.3 吉布斯现象 • 其它的波纹都称为“旁瓣”

  24. 的不连续点间 • 这表明，随着Ｍ的增加，在 的波纹变得越来越近，但是波纹幅度却没有减少 吉布斯现象 • 随着 M 的增加, 主瓣和旁瓣的宽度都将随之减少，但主瓣和旁瓣下的面积都保持不变。

  25. 加窗后,对理想矩形频率响应产生的影响 1.产生过渡带 过渡带宽度是窗谱的主瓣宽度 =4/(2M+1) 2.  = c2/(2M+1)处,出现最大的正负肩峰值,肩峰的两侧形成起伏振荡, 振荡的幅度取决于主瓣与旁瓣的相对幅度 振荡的多少取决于旁瓣的多少 3.M增加，主瓣和旁瓣的宽度都变窄,使过渡带变陡；但是主瓣和旁瓣下的面积都保持不变。这表明随着M的增加，波纹的振幅没有减小

  26. 减弱 吉布斯现象的方法 • 矩形窗在-MnM 以外的范围有陡峭的下降沿，它是加窗理想滤波器冲激响应序列出现Gibbs现象的原因. • 利用两边都是逐渐平滑减少到零的窗函数或者在通带到阻带有平滑的过渡带，可以减弱吉布斯现象 • 使用渐变的窗函数可以使旁瓣的高度减小，但使主瓣的宽度相应地增加，结果出现了更宽的过渡带

  27. 10.2.4 固定窗函数 Hanning: 汉宁窗

  28. 10.2.4 固定窗函数 Hamming:

  29. 10.2.4 固定窗函数 Blackman:

  30. 10.2.4 固定窗函数 Rectangular:

  31. 10.2.4 固定窗函数 • 一个窗函数的性能主要取决于它的两个参数，即主瓣宽度和相对旁瓣级 • 相对旁瓣级是最大旁瓣与主瓣以dB为单位的幅度差值 • 过渡带的宽度近似等于窗的主瓣宽度 • 为了保证尽可能窄的过渡带，窗函数应该有一个非常窄的主瓣，另一方面，为了减小通带和阻带波纹，旁瓣下的面积也要求非常小。遗憾的是，这两个要求是相互矛盾的。

  32. 10.2.4 固定窗函数 固定窗函数的特性

  33. 基于窗函数低通FIR滤波器设计步骤 (1)通过fc来确定截止频率，fs和fp分别为通带和阻带截止频率: (2) 计算 c= 2πfc/fT , 求截止频率为c的理想的低通滤波器的无限脉冲响应:

  34. (3) 指定过渡带的宽度： (4)根据阻带最小衰减，选择窗函数w[n]，并计算窗口宽度： (5)窗口宽度为：2M+1。 (6)通过 计算 FIR h[n] 注意响 应非因果. (7)冲激响应右移 M 使滤波器为因果 基于窗函数低通FIR滤波器设计步骤

  35. 例10.6 FIR 滤波器长度估计 • 低通滤波器期望指标: ωp=0.3π, ωs=0.5π , αs=40dB 因此 查表10.2，可知汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗可得最小阻带衰减为40dB. 汉宁窗： 海明窗： 布莱克曼窗：

  36. 是切比雪夫多项式 10.2.5 可变窗函数 • 一些窗函数提供了额外的参数以控制波纹 多尔夫-切比雪夫窗 其中

  37. 10.2.5 可变窗函数 多尔夫-切比雪夫窗 • 利用多尔夫-切比雪夫窗，选择合适的窗长可以改变它的窗谱主瓣宽度。 • 若滤波器阶数N=2M,则 其中s是以dB为单位的最小阻带衰减，是归一化过渡带宽。

  38. 例10.7利用多尔夫-切比雪夫窗进行FIR 滤波器阶数估计 • 低通滤波器期望指标: ωp=0.3π, ωs=0.5π , αs=40dB 因此 N = 46 意味 M =23

  39. 式中是可调参数， 是修正的零阶贝塞尔函数： 10.2.5 可变窗函数 凯泽窗 参数取决于滤波器阻带最小衰减s：

  40. 10.2.5 可变窗函数 凯泽窗 估计滤波器阶数的公式： 其中s是以dB为单位的最小阻带衰减，是归一化过渡带宽。 实际中，通带波纹p一般近似于s。

  41. 例10.8基于凯泽窗的FIR 滤波器设计 • 低通滤波器期望指标: ωp=0.3π, ωs=0.5π , αs=40dB 因此 N = 23 意味 M =11

  42. 其中 ： M=11 ， 例10.8基于凯泽窗的FIR 滤波器设计 加窗滤波器的冲激响应为： w[n] 是长度为23的凯泽窗，β=3.3953

  43. FIR 滤波器设计举例2 • FIR 带通滤波器 : • 中心频率 4kHz • 通带 3.5 ，4.5 kHz • 采样频率 22kHz • 过渡带宽 500Hz • 阻带衰减50 dB

  44. FIR 滤波器设计举例2 • f1=500 + 500/2 = 750 Hz • Ω1=2πf1/fY = 0.06818π • h1[n]=sin(n Ω1)/nπ=sin(0.06818nπ)/nπ • 基于阻带衰减，选择一个海明窗N=3.44fT/T.W=3.44(22000/500)=151.4 • 最近的奇数整数为N = 151 ，所以 w[n]=0.54 + 0.46cos(2nπ/150)

  45. FIR 滤波器设计举例2 • 中心频率 f0是 4 kHz, 数字中心频率 Ω0是 Ω0 =2πf0/fT= 2π(4000/22000)=0.3636π

  46. FIR 滤波器设计举例2 • -6dB 发生在 3.501kHz ， 4.499kHz. • 50 dB 衰减3.005kHz ， 4.994kHz, 产生指定 500 Hz

  47. 作业 • 习题 10.8, 10.15, 10.16, 10.19 M10.1, M10.5, M10.8, M10.9

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