KOMBINATORIKA I VJEROJATNOST U SVAKODNEVNOM ŽIVOTU

1. KOMBINATORIKA I VJEROJATNOST U SVAKODNEVNOM ŽIVOTU 30.04.2011. Pripremila:doc.dr.sc. Snježana Braić,Prirodoslovno matematički fakultet,Split sbraic@pmfst.hr

2. Postoji piramida znanosti, a osnovicu te piramide čini matematika jer se jedino ona ne oslanja ni na jednu drugu znanost. Pritom još svima služi! Kaže se zato da je matematika i boginja i robinja.

3. No, mnogi se uozbilje već i na sam spomen njezina imena. Na nama je da pokažemo djeci da matematika može biti i jedna velika zabava. Čitava jedna njezina grana svoje korijene vuče iz zagonetki, igara i problema za razbibrigu.

4. Za početak teorije vjerojatnosti uzima se 1654. godina kada se pariški građanin De Mere obratio slavnim matematičarima tog vremena Pascalu i Fermatu sa sljedećim problemom: Je li preporučljivo kladiti se da će u 24 uzastopna bacanja dviju različitih igraćih kocaka barem jednom pasti dvije šestice? Bio je to pokušaj da se predvidi određena situacija u kojoj je prisutna neizvjesnost ishoda. Takvi pokusi se zovu slučajni pokusi.

5. U mnogim se istraživanjima provode različiti pokusi ili eksperimenti. Ti pokusi mogu biti determinirani ili slučajni, a teorija vjerojatnosti se bavi slučajnim pokusima. Slučajan pokus je pokus čiji ishod nije jednoznačno određen uvjetima u kojima se on izvodi, pa nismo u stanje točno predvidjeti kada će nastupiti neki događaj.

6. Osnovni polazni objekt u teoriji vjerojatnosti je skup svih mogućih ishoda nekog slučajnog pokusa. Taj skup nazivamo prostorom elementarnih događaja i označavamo ga s Ω. Npr. bacanje novčića je pokus kod kojeg je svaki ishod element dvočlanog skupa {P,G}, dok je kod bacanja jedne igraće kocke prostor elementarnih događaja skup {1,2,3,4,5,6}. Svaki pojedini mogući ishod pokusa, tj. svaki element skupa Ω nazivamo elementarnim događajem.

7. DogađajA je svaki podskup prostora elementarnih događaja Ω. Ako se neki događaj sastoji od više elementarnih događaja nazivamo ga složenim događajem. Npr. ako je slučajni pokus bacanje igraće kocke, onda je događaj: “Pao je paran broj“ složeni događaj jer se sastoji od tri elementarna događaja, tj. radi se o događaju {2,4,6}.

8. Ili, u slučajnom pokusu bacanja dviju različitih igraćih kocaka ustanoviti da se dogodio događaj “Suma brojeva koje smo dobili je jednaka 8" isto je što i ustanoviti da je pokus dao jedan od ishoda: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3) ili (6,2) (od 36 mogućih ishoda). Gornji događaj je, dakle, jedan složeni događaj sastavljen od 5 elementarnih događaja i za tih 5 elementarnih događaja kažemo da su povoljni za događaj A. Svaki element skupa A nazivamo elementarnim događajem povoljnim za događaj A.

9. Cijeli prostor Ω nazivamo sigurnim događajem, a prazan skup nemogućim događajem (događaj koji se nikada neće dogoditi). Na primjer, pri bacanju dviju kocaka siguran događaj je da će zbroj brojeva koji padnu na tim kockama biti paran ili neparan broj, dok je nemoguć događaj da zbroj brojeva na tim kockama bude veći od 12.

11. Što je vjerojatnost nekog događaja i kako je računamo?

12. Intuitivna predodžba vjerojatnosti je vrlo jasna. Ako biste nekog na ulici upitali kolika je vjerojatnost da će pri bacanju novčića pasti pismo ili da će igraća kocka pokazati broj 5, većina bi bez razmišljanja odgovorila 1/2, odnosno 1/6, mada (vjerojatno ) ne znaju precizno izreći definiciju vjerojatnosti. No, pod vjerojatnošću intuitivno podrazumijevaju broj koji iskazuje omjer povoljnih ishoda i svih mogućih ishoda prilikom jednog vršenja pokusa.

13. Primjer 1. U vrećici se nalaze dvije crvene kuglice. Josip iz te vrećice izvlači jednu kuglicu. a) Kolika je vjerojatnost da će izvući plavu kuglicu? Nema šanse! To se ne može dogoditi! 0 % b) Kolika je vjerojatnost da će izvući crvenu kuglicu? To će se sigurno dogoditi! 100 %

14. __ 1 4 1 __ 8 3 __ 8 Primjer 2. P (crvena) = P (žuta) = P (roza) = Dakle, broj kuglica te boje _________________________ P(neka boja) = ukupan broj svih kuglica

15. Općenito, ako je prostor elementarnih događaja Ωkonačan skup i ako su svi elementarni događaji jednako vjerojatni, onda se vjerojatnost nekog događaja A Ω računa kao broj elementarnih događaja povoljnih za A  A __________________________________________ P(A) = = ukupan broj svihelementarnih događaja  Ω

16. Vjerojatnost nekog događaja je broj između 0 i 1. Iz ovog odmah slijedi da siguran događaj ima vjerojatnost 100 % = 1, nemoguć događaj ima vjerojatnost 0 % = 0.

17. Pogledajmo primjere kada i kako u svakodnevnom životu opisujemo vjerojatnosti nekog događaja. Idući tjedan ću vjerojatno ići na more, a moj brat sigurno neće. _________ ______ Vladimir je poznati lažljivac! Od njega je gotovo nemoguće čuti istinu. ________________ Sutra Mirjana i Kristina u isto vrijeme slave rođendan. Ne znam još kojoj ću otići - vjerojatnost je pola-pola. _____________________ Nisam učio zemljopis, a danas pišemo kontrolni. Nema šanse da dobijem 5 ! __________ Prošli sat sam odgovarala povijest, pa je gotovo sigurno da me danas neće pitati. ____________ Uočimo izraze koje koristimo za opisivanje vjerojatnosti događaja!

18. 1 v j e r o j a t n o s t 0.5 0 Povežimo ih s brojevima koji opisuju vjerojatnost događaja ? ? nemoguće sigurno ? malo vjerojatno ? vrlo vjerojatno pola - pola ? gotovo nemoguće ? gotovo sigurno vjerojatno ? ?

19. 2 1 ___ __ 10 5 4 2 ___ __ 10 5 6 ___ 10 1 ___ 10 3 ___ 10 Primjer 3. U akvariju su ribice i mačak Garfild ih pokušava loviti. Ako je jednaka vjerojatnost ulova bilo koje od njih, kolika je vjerojatnost da će uloviti ribicu pojedine boje? P(crvena) = = Izračunajmo vjerojatnost da izvučena ribica bude crvene ili zlatne boje! Što uočavamo? P(zlatna) = = P(crvena ili zlatna) = P(ljubičasta) = Što uočavamo? P(prugasta) =

20. Općenito vrijedi: vjerojatnost unije međusobno isključivih (disjunktnih) događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja. Kako je

21. Iz ovog odmah slijedi da je Stoga, ako želimo izračunati vjerojatnost da ne ulovimo npr. crvenu ribicu, ne moramo izbrojiti sve one ribice koje nisu crvene, već je dovoljno izračunati vjerojatnost da je ribica crvena (izbrojiti samo crvene ribice), a tražena vjerojatnost je tada P(ne crvena) =1 - P(crvene)

22. 10 000 _______ 100 000 Primjer 4. Ako želimo izračunati vjerojatnost da prilikom izvlačenja jednog broja od 1 do 100 000 izvučemo broj koji nije djeljiv s 10, onda izračunamo vjerojatnost da je izvučeni broj djeljiv sa 10 (izbrojimo sve takve brojeve), a tražena vjerojatnost je tada P(nije djeljiv s 10) =1–P(djeljiv je s 10) = 1 – = 0.9

23. Primjer 5. Ako želimo izračunati vjerojatnost da je u grupi od 50 ljudi barem dvoje rođeno istog dana, onda je P(barem dvoje rođenih istog mjeseca) =1–P(nema ih) = 1 – = 0.9

24. Ako događaji A i B nisu disjunktni, onda je Ako događaji A, B i C nisu disjunktni, onda je Općenito,

25. Primjer 6. • U nekoj školi ima 400 učenika. Nogometom se bavi 180, košarkom 130, rukometom 100, nogometom i košarkom 40, nogometom i rukometom 30, košarkom i rukometom 20 i svim tim sportovima 10 učenika. Kolika je vjerojatnost da se slučajno odabrani učenik bavi barem jednim sportom?

26. Sljedeći primjer nam lijepo ilustrira kako se, prividno poštena podijela, može vjerojatnosno jako razlikovati.

27. Primjer 7. Dva igrača naizmjenice bacaju dvije kockice. Kod svakog bacanja trebaju oduzeti manji broj od većega. Najmanja moguća razlika je 0 (ako se dobiju isti brojevi), a najveća je 5 (ako se dobiju 1 i 6). Ako je razlika kockica 0, 1 ili 2, prvi igrač dobiva bod, a ako je razlika 3, 4 ili 5, drugi igrač dobiva bod. Par treba odigrati 36 bacanja. Što vam se čini, imaju li oba igrača jednake šanse za pobjedu?

28. Vidjeli smo da, ako je prostor elementarnih događaja Ω konačan i ako su svi elementarni događaji jednako vjerojatni, izračunati vjerojatnost nekog događaja A  Ω znači odrediti koliko elemenata ima skup Ω(skup svih mogućih ishoda), a koliko skup A (skup povoljnih ishoda za događaj A). U svim našim primjerima bilo je lako izbrojiti koliko elemenata imaju ti skupovi. No, općenito problem prebrojanja elemenata konačnog skupa nije niti malo jednostavan.

29. Kombinatorika-matematička disciplina koja se bavi prebrajanjem elemenata konačnih skupova i njihovih podskupova. Naziv potječe od Leibniza (1666).

30. Svatko se od nas susreo s bar nekim kombinatornim problemom. Npr. • Na koliko se načina može izvući 7 brojeva od mogućih 49 u igri LOTO?

31. Na koliko načina možemo zadati šifru koja se sastoji od tri znamenke, a otvara bravu na torbi?

32. Ili mnogo složeniju šifru koja otvara sef?

33. Koliko se automobila može registrirati u nekom gradu ako se registracijska tablica sastoji od tri broja i dva slova? ...

34. Prebrojavanje već i manjih skupova može nam zadati probleme ako se elementi skupa na neki način grupiraju, a mi trebamo izbrojiti koliko ima takvih grupa. Tada brojanje može biti prava vještina. Na primjer, na koliko načina možemo između 10 ljudi odabrati trojicu???

35. No, ako elementi skupa čine neku pravilnu konfiguraciju, a pritom ih ne moramo direktno odrediti nego samo prebrojiti, onda broj elemenata toga skupa možemo odrediti služeći se nekom od metoda prebrojavanja. Kombinatorika upravo pronalazi i istražuje te metode.

36. Razlikujemo tri osnovne metode ili pravila prebrojavanja: pravilo jednakosti, pravilo zbroja, pravilo produkta, ovisno o tome znamo li direktno odrediti broj elemenata nekog skupa, njegove dijelove ili njegove faktore.

37. 1. Pravilo jednakosti Neka su S i T konačni skupovi. Tada je |S|=|T| ako i samo ako postoji bijekcija među skupovima S i T.

38. 2. Pravilo zbroja Ako imamo n konačnih međusobno disjunktni skupovi, onda je broj elemenata u uniji tih skupova jednak zbroju brojeva elemenata u svakom tom skupu.

39. 3. Pravilo umnoška Ako imamo konačno skupova Tada je Kartezijev produkt konačan skup i

40. Kombinacije, varijacije, permutacije

41. Primjer 8. Na jednoj proslavi sretnu se 4 prijatelja i svi se međusobno rukuju točno jednom. Koliko je bilo rukovanja?

42. Da subila 2 prijatelja bilo bi 1 rukovanje. Da su 3 prijatelja, prvi bi se rukovati s drugim i trećim, te još drugi s trećim, pa imamo 2+1=3 rukovanja. Za četvoricu prijatelja imamo 3+2+1=6 rukovanja.

43. Povećavanjem broja prijatelja naglose povećava i broj rukovanja, pa brojanje postaje sve složenije. Stoga bi se lako moglo dogoditi da se preskoči neko rukovanje i tako ne uzmu u obzir sve mogućnosti.

44. Ali možemo se pomoći nečim drugim. Naime, možemo uočiti izvjesne pravilnosti i zakonitosti. Za 5 prijatelja, broj rukovanja je 1+2+3+4=10. Za 6prijatelja, broj rukovanja je 1+2+3+4+5=15...

45. Lako se pokaže (indukcijom) da je za n prijatelja broj rukovanja jednak 1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2. Dakle, iz uočene pravilnosti je proizašla opća formula po kojoj se mogu riješiti svi zadatci tog tipa.

46. Generalizirajmo: Ako prijatelje označimo s 1,2,...,n, onda naš problem glasi: Koliko ima različitih dvojki i j pri čemu poredak nije bitan jer je i j i j i isto rukovanje (rukovanje istih ljudi). To je stoga ekvivalentno problemu: Koliko ima svih dvočlanih podskupova skup od n elemenata?

47. Općenito,r-kombinacijan-članog skupa S je svaki r-člani podskup od S. Broj svih r-kombinacijaiznosi Dakle, kad god iz nekog skupa koji ima n elemenata odabiremo r različitih, a da nam pritom njihov poredak nije važan, broj načina da to učinimo jednak je broju svih r-kombinacija n-članog skupa.

48. a) Na koliko je načina moguće formirati tročlanu delegaciju iz društva od 70 ljudi? b) Kolika je vjerojatnost da će točno određena dva prijatelja biti u toj delegaciji?

49. 7 0 3 6 8 1 7 0 3 a) b)

50. a) Na koliko se načina može izvući 7 brojeva od mogućih 49 u igri LOTO? b)Kolika je vjerojatnost da dobijemo sedmicu ako smo uplatili samo jedan listić?