การให้เหตุผล Reasoning

การให้เหตุผล Reasoning ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2555 อ.ถนอมศักดิ์ เหล่ากุล สาขาวิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์

โครงสร้างคณิตศาสตร์และรูปแบบการให้เหตุผลโครงสร้างคณิตศาสตร์และรูปแบบการให้เหตุผล คณิตศาสตร์ประกอบด้วยส่วนประกอบที่สำคัญ 4 ส่วน คือ 1. อนิยาม (Undefined Terms) 2. บทนิยาม (Defined Terms) 3. สัจพจน์ (Axiom / postulate) 4. ทฤษฎีบท (Theorem)

ข้อความเชิงตรรก (Logical Statements) การอ้างเหตุผล (Arguments) ข้ออ้าง หรือ ข้อตั้ง (Premises) ข้อสรุป หรือข้อยุติ (Conclusion) ตัวอย่างเหตุ สิ่งมีชีวิตทุกชนิดต้องการอาหาร แบคทีเรียเป็นสิ่งมีชีวิต (เรียกว่า ข้ออ้าง) ผล แบคทีเรียต้องการอาหาร (เรียกว่า ข้อสรุป)

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง เนื่องจากนักเรียนไทยเป็นคนเก่ง และด.ญ.นวียา เป็นนักเรียนไทย ฉะนั้นจึงสรุปได้ว่า ด.ญ.นวียา เป็นคนเก่ง ตัวอย่าง ด้วยนักเรียนโรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์ แต่ละคนที่เคยรู้จักมา เป็นคนเรียบร้อย ดังนั้น จึงเชื่อได้ว่านักเรียนโรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์ ทุกคนเป็นคนเรียบร้อยด้วย ตัวอย่าง ถ้า ด.ช.คณิต เป็นนักเรียน แล้ว ด.ช.คณิต เป็นคนดี และ ด.ช.คณิต เป็นนักเรียนจริง ดังนั้น ด.ช.คณิต จึงต้องเป็นคนดี

รูปแบบการให้เหตุผล • การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) 2) การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัยตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย ทิศตะวันออก ทิศตะวันตก

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัยตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัยตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย ตัวอย่าง จงสังเกตรูปแบบในการดำเนินการของจำนวนต่อไปนี้ แล้วหาคำตอบที่ถัดไป 1.1 (1 + 1) × 1 = 2 (1 + 2) × 2 = 6 (1 + 3) × 3 = 12 ……………. = …………….. 1.2 9 × 9 = 81 99 × 9 = 891 999 × 9 = 8991 ……………. = ……………..

การให้เหตุผลแบบอุปนัยการให้เหตุผลแบบอุปนัย การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง วิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริง จากการสังเกตหรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อย ๆ แล้วนำมาสรุป เป็นความรู้ทั่วไป อาศัยหลักฐานจากประสบการณ์ เริ่มต้นจากข้อมูลที่มีลักษณะ เฉพาะ(particular) ไปสู่ข้อสรุป ซึ่งมีลักษณะทั่วไป(universal) ความน่าเชื่อถือของ ข้อสรุปอยู่ในระดับ ความ น่าจะเป็น (probability) มีความรู้ใหม่เกิดขึ้น

ตัวอย่าง จงหาว่า ผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนที่เป็นจำนวนคี่ จะเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ โดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย วิธีทำ เราจะลองหาผลคูณของจำนวนนับที่เป็นจำนวนคี่หลาย ๆ จำนวนดังนี้ 1 × 3 = 3 3 × 5 = 15 5 × 7 = 35 7 × 9 = 63 1 × 5 = 5 3 × 7 = 21 5 × 9 = 45 7 × 11 = 77 1 × 7 = 7 3 × 9 = 27 5 × 11 = 55 7 × 13 = 91 1 × 9 = 9 3 × 11 = 33 5 × 13 = 65 7 × 15 = 105 จากการหาผลคูณดังกล่าว โดยการอุปนัย จะพบว่า ผลคูณที่ได้เป็นจำนวนคี่ โดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย สรุปได้ว่าผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนที่เป็น จำนวนคี่ จะเป็นจำนวนคี่

ข้อสังเกตการให้เหตุผลแบบอุปนัยข้อสังเกตการให้เหตุผลแบบอุปนัย • จำนวนข้อมูลที่ได้มาอ้างอิง อาจไม่เพียงพอกับการตั้งข้อสรุป 2. จากข้อมูลเดียวกัน หากผู้สรุปคิดต่างกัน อาจได้ข้อสรุปที่ไม่ตรงกัน 3. การสรุปโดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย บางครั้งขึ้นอยู่กับประสบการณ์ ของผู้สรุป 4. การสรุปโดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย แม้ว่าได้สังเกตหรือทดลองหลาย ครั้งแล้ว แต่อาจเกิดข้อผิดพลาดก็ได้

EXCERCISE 1. จงหาพจน์ที่อยู่ถัดไปอีก 3 พจน์ 1) 1 , 3 , 9 , 27 , … 2) 1 , 6 , 3 , 4 , 5 , 2 , … 3) 3 , 6 , 12 , … 4) 1, 6, 11, 16, … 5) 1, 4, 9, 16, 25, …

2. จงหาสมการถัดไป จากแบบรูปที่กำหนดให้โดยใช้หลักการอุปนัย แล้วตรวจสอบโดยการคำนวณ 9 × 9 + 7 = 88 98 × 9 + 6 = 888 987 × 9 + 5 = 8,888 9,876 × 9 + 4 = 88,888 …………………………… = …………………..

4. ชาวกรีกโบราณเขียนแทนจำนวน 1, 3, 6, 10, 15, 21 โดยใช้สัญลักษณ์ดังนี้ เรียกจำนวนที่สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ดังกล่าวในลักษณะข้างต้นว่า จำนวนสามเหลี่ยม (triangular numbers) (1) จงเขียนจำนวนสามเหลี่ยมที่อยู่ถัดจาก 21 อีกสองจำนวน (2) 72 เป็นจำนวนสามเหลี่ยมหรือไม่

5. จากรูปที่กำหนดให้ จงเขียนรูปที่อยู่ถัดไป

4. ถ้าผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลักของจำนวนนับใด ๆ หารด้วย 3 ลงตัว แล้วมีข้อสรุปเกี่ยวกับจำนวนนับดังกล่าวอย่างไร 5. ให้เลือกจำนวนนับมา 1 จำนวน และปฏิบัติตามขั้นตอนดังนี้ 1) คูณจำนวนนับที่เลือกไว้ด้วย 4 2) บวกผลลัพธ์ในข้อ 1) ด้วย 6 3) หารผลบวกในข้อ 2) ด้วย 2 4) ลบผลหารในข้อ 3) ด้วย 3 จากวิธิที่กำหนดไว้ข้างต้น มีข้อสรุปอย่างไรเมื่อใช้วิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัย

การให้เหตุผลแบบนิรนัยการให้เหตุผลแบบนิรนัย การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุผลที่อ้างว่าสิ่งที่กำหนดให้ยืนยัน ผลสรุป โดยกำหนดให้เหตุ (หรือข้อสมมติ) เป็นจริง หรือยอมรับว่าเป็นจริง แล้วใช้กฏเกณฑ์ต่างๆ สรุปผลจากเหตุที่กำหนดให้ อาศัยหลักฐานจากความรู้เดิม ไม่ให้ความรู้ใหม่ เริ่มต้นจากข้ออ้างซึ่งมีลักษณะทั่วไป(universal) ไปสู่ข้อสรุปซึ่งมีลักษณะเฉพาะ(particular) ความน่าเชื่อถือของ ข้อสรุปอยู่ในขั้นความ แน่นอน (certainty)

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัยตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัย เหตุ1) จำนวนคู่หมายถึงจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว 2) 10 หารด้วย 2 ลงตัว ผล10 เป็นจำนวนคู่ สมเหตุสมผล เหตุ1) นักกีฬากลางแจ้งทุกคนจะต้องมีสุขภาพดี 2) ธีระศิลป์ เป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย ผลธีระศิลป์ มีสุขภาพดี ไม่สมเหตุสมผล เหตุ1) เรือทุกลำลอยน้ำได้ 2) ถังน้ำพลาสติกลอยน้ำได้ ผลถังน้ำพลาสติกเป็นเรือ

พิจารณาความสมเหตุสมผลพิจารณาความสมเหตุสมผล การอ้างเหตุผล สมเหตุสมผล (Valid) การอ้างเหตุผล ไม่สมเหตุสมผล(Invalid) การอ้างเหตุผลโดยใช้ตรรกบทของตรรกศาสตร์ (Syllogistic logic) การตรวจสอบว่าข้อสรุปสมเหตุสมผลหรือไม่ วาดภาพ (แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์) ในทุกกรณีที่เป็นไปได้

1. สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B การใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล ข้อความที่ใช้อ้างเหตุผลมีอยู่ 4 แบบหลัก ๆ (ข้อ 1-4) และอีก 2 แบบ เพิ่มเติม (ข้อ 5-6) ดังนี้ ตัวอย่าง สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมทุกตัวเป็นสัตว์เลือดอุ่น

2. ไม่มีสมาชิกของ A ตัวใดเป็นสมาชิกของ B การใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล ตัวอย่าง ไม่มีงูตัวใดที่มีขา

3. มีสมาชิกของ A บางตัวเป็นสมาชิกของ B ตัวอย่าง รถโดยสารบางคันเป็นรถปรับอากาศ

4. สมาชิกของ A บางตัวไม่เป็นสมาชิกของ B ตัวอย่าง รถโดยสารบางคันไม่ได้เป็นรถปรับอากาศ

5. มีสมาชิกของ A หนึ่งตัว ที่เป็นสมาชิกของ B ตัวอย่าง สุนัขของฉันเป็นสุนัขพันธ์ไทยแท้

6. มีสมาชิกของ A หนึ่งตัว ที่ไม่เป็นสมาชิกของ B ตัวอย่าง สุนัขของพิมไม่ใช่สุนัขพันธุ์ไทยแท้

ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ ไทยทุกคนเป็นคนดี เจ้าจุก เป็นคนไทย ผลเจ้าจุก เป็นคนดี เขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ได้ดังนี้ ดังนั้น ข้อสรุปที่กล่าวว่าเจ้าจุกเป็นคนดี สมเหตุสมผล

ตัวอย่างที่ 2 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ นักกีฬาทุกคนมีสุขภาพดี ตุ๊กตาสุขภาพดี ผล ตุ๊กตาเป็นนักกีฬา กำหนดให้ H แทนเซตของคนที่มีสุขภาพดี S แทนเซตของนักกีฬา เขียนแผนภาพแทนนักกีฬาทุกคนที่มีสุขภาพดีได้ดังนี้

เขียนแผนภาพเพื่อแสดงว่า ตุ๊กตามีสุขภาพดีได้ดังนี้ จากแผนภาพ มีกรณีที่ตุ๊กตาไม่ได้เป็นนักกีฬา แต่มีสุขภาพดี ดังนั้น ผลที่ได้ไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ ผลไม้บางชนิดเปรี้ยว สิ่งที่เปรี้ยวทำให้ปวดท้อง ผล ผลไม้บางชนิดทำให้ปวดท้อง เขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ได้ดังนี้ สังเกตดูทั้ง 2 กรณี มีผลไม้ที่เป็นสาเหตุของการปวดท้องจริง ดังนั้น การให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ นกทุกตัวเป็นสัตว์มีปีก เป็ดทุกตัวเป็นสัตว์มีปีก ผล นกทุกตัวเป็นเป็ดชนิดหนึ่ง จาก 4 กรณีข้างต้น จะเห็นว่า นกและเป็ดต่างก็เป็นสัตว์ปีก แต่เราสรุปไม่ได้ แน่นอนว่า นกเป็นเป็ดชนิดหนึ่งดังนั้น ข้อสรุปนี้ไม่สมเหตุสมผล

EXCERCISE จงใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้อความต่อไปนี้ • เหตุ1. นักเรียนบางคนขยัน • 2. ผู้หญิงทุกคนขยัน • ผล นักเรียนบางคนเป็นผู้หญิง 2. เหตุ1. จำนวนนับทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม 2. จำนวนเต็มบางจำนวนเป็นจำนวนลบ ผล มีจำนวนนับบางจำนวนเป็นจำนวนลบ

EXCERCISE จงใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้อความต่อไปนี้ 3. เหตุ1. คนไทยทุกคนเป็นคนน่ารัก 2. วริศรา เป็นคนน่ารัก ผล วริศรา เป็นคนไทย 4. เหตุ1. กบทุกตัวว่ายน้ำได้ 2. สัตว์ที่ว่ายน้ำได้จะบินได้ ผล กบทุกตัวบินได้

EXCERCISE จงใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้อความต่อไปนี้ 5. เหตุ1. จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ลงตัว ทุกจำนวนเป็นจำนวนคู่ 2. 7 หารด้วย 2 ลงตัว ผล 7 เป็นจำนวนคู่ 6. เหตุ1. สุนัขบางตัวมีขนยาว 2. มอมเป็นสุนัขของฉัน ผล มอมเป็นสุนัขที่มีขนยาว

EXCERCISE จงใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้อความต่อไปนี้ 7. เหตุ1. ม้าทุกตัวมีสี่ขา 2. ไม่มีสัตว์ที่มีสี่ขาตัวใดที่บินได้ ผล ไม่มีม้าตัวใดบินได้ 8. เหตุ1. ไม่มีจำนวนเฉพาะตัวใดหารด้วย 2 ลงตัว 2. 21 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว ผล 21 เป็นจำนวนเฉพาะ

EXCERCISE จงใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้อความต่อไปนี้ 9. เหตุ1. วันที่มีฝนตกทั้งวันจะมีท้องฟ้ามืดครึ้มทุกวัน 2. วันนี้ท้องฟ้ามืดครึ้ม ผล วันนี้ฝนตกทั้งวัน 10. เหตุ1. ไม่มีคนจนคนใด เป็นคนขยัน 2. ไม่มีคนขยันคนใด เป็นคนไม่ดี ผล ไม่มีคนจนคนใด เป็นคนไม่ดี

EXCERCISE จงใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้อความต่อไปนี้ 11. เหตุ1. ถ้าออกกำลังกายทุกวันแล้วร่างกายจะแข็งแรง 2. ถ้าร่างกายแข็งแรงแล้วจะสุขภาพดี 3. ไม่มีคนสุขภาพดีคนใดที่มีโรคภัย 4. วุ้นเส้นร่างกายไม่แข็งแรง ผล วุ้นเส้นไม่มีโรคภัย

EXCERCISE จงใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้อความต่อไปนี้ 12. เหตุ1. ต้นไม้ทุกชนิดมีสีเขียว 2. ต้นไผ่บางชนิดไม่มีสีเขียว 3. ไผ่ตงเป็นต้นไผ่ชนิดหนึ่ง ผล ไผ่ตงไม่ใช่ต้นไม้

การให้เหตุผล Reasoning