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在讨论收敛性之前，先介绍 局部截断误差 、 整体截断误差 的定义及其他们之间的关系

求解初值问题. 的一般显式单步法可以写成如下形式：. 8.1.3 单步法的收敛性和稳定性 ( Convergency and Stability). 一、单步法的收敛性. 在讨论收敛性之前，先介绍 局部截断误差 、 整体截断误差 的定义及其他们之间的关系. 定义. 在假设 y i = y ( x i ) ，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 R i = y ( x i +1 )  y i +1 称为 局部截断误差 /* local truncation error */ 。. 1 、局部截断误差.

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在讨论收敛性之前，先介绍 局部截断误差 、 整体截断误差 的定义及其他们之间的关系

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  1. 求解初值问题 的一般显式单步法可以写成如下形式： 8.1.3 单步法的收敛性和稳定性 (Convergency and Stability) 一、单步法的收敛性 在讨论收敛性之前，先介绍局部截断误差、整体截断误差的定义及其他们之间的关系

  2. 定义 在假设 yi = y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。 1、局部截断误差 假定“yi = y(xi)”称为局部化假定

  3. 2、整体截断误差

  4. 3、局部截断误差与整体截断误差的关系

  5. 再利用引理1就可得到

  6. 结论：若单步法的局部截断误差为O（hP+1) 整体截断误差为O（hP) 条件：满足Lipschitz条件

  7. 　　　 若某算法对于任意固定的 x = xi = x0 + i h，当 h0( 同时 i  ) 时有 yiy( xi)，则称该算法是收敛的。 定义 结论1：收敛 整体截断误差Ei 0 单步法的收敛性定义 结论2：只要单步法(35)式是高于零阶的方法， 判断单步法(35)式的收敛性就归结为验证其增量 函数(x, y, h)是否满足对y的Lipschitz条件

  8. 例5 Euler方法是收敛的. 证明： 由于Euler方法是一阶方法，且其增量函数(x, y, h) =f (x, y)．而初值问题是要求函数f (x, y)对y满足Lipschitz条件的， 故Euler方法收敛.

  9. 例6 改进Euler方法是收敛的. 证明 改进Euler方法是二阶方法，其增量函数为 • 下面证明，当f (x, y)满足对y的Lipschitz条件时，(42)式中的(x, y, h)也满足对y的Lipschitz条件.

  10. 由(42)式有 • 假定h  h0(h0为定数)，并记 ，则有 • 即(x, y, h)满足对y的Lipschitz条件，故改进的Euler方法是收敛的.

  11. 二、单步法的稳定性 上面讨论单步法的收敛性，是假定(35)式的每一步计算都是准确的，即不考虑计算中的舍入误差．然而这一假定是不切合实际的，用(35)式进行实际数值计算时，每一步都不可避免地含有舍入误差 稳定性就是讨论计算过程中的舍入误差对最终 结果的影响！

  12. 定义4 如果一种数值方法在节点xi的值y i有大小为i的扰动，而由这个扰动引起以后各节点上值y i (j >i )的偏差j均满足 |j | ≤|i | ，则称该数值方法是绝对稳定的.

  13. 则可将yi+1视为单步法公式 的准确结果 用(43)式减去(35)式，得 考虑一般的单步法(35)式． 若值y i有一个扰动i，那么用(35)式计算，得到的值yi+1就会产生一个偏差i+1．若记

  14. 或 由此可知，单步法(35)式绝对稳定的条件是 由于增量函数与微分方程的右端f 有关，从而给考察单步法的稳定性带来了困难．为了简化讨论，通常是用试验方程 y’ =  y (为复常数)来检验数值方法的稳定性！

  15. （1）首先考察Euler方法的稳定性． 此时增量函数 (x, y,h) =f (x, y)=y，因而有 因此对于试验方程(46)，Euler方法稳定的条件是 |1 + |  1 (47) 由于可以是复数，故在h的平面上，(47)式表示以点-1为中心的单位圆及其内部区域．这个区域称为Euler方法的绝对稳定区域．

  16. （2）讨论改进Euler方法的稳定性．此时增量函数（2）讨论改进Euler方法的稳定性．此时增量函数 改进Euler方法的稳定性条件为

  17. （3）经典Runge-Kutta方法的稳定性． 此时增量函数

  18. 代入后得 于是有 由此得出经典Runge-Kutta方法的稳定性条件为

  19. 如果仅限于讨论是实数的情形，则上述几个单步法的稳定性条件可分别简化为如果仅限于讨论是实数的情形，则上述几个单步法的稳定性条件可分别简化为 • Euler法稳定性条件：−2  h 0， • 改进Euler法稳定性条件：−2 h  0， • 经典Runge-Kutta法稳定性条件：−2.785  h  0. 由上面的讨论可以看到，如果方法的绝对稳定区域 或区间是有限的，那么，步长h的选取要受绝对稳定 性的约束.

  20. 解 本例中  = −20, h分别为-2和-4．前者属绝对 稳定区间[-2.785,0]，后者不属此区间．问题的准确解 为y =e−20x．计算结果误差见表8-6 例7 对初值问题 取h = 0.1和0.2，用经典Runge-Kutta方法求解.

  21. 隐式单步法的稳定性讨论. （1）考察向后Euler方法. 对于试验方程(46)，其向后Euler法的公式为 yi+1 = y i + h yi+1 解出yi+1，有 ，从而得到误差(扰动)公式为 由此得到绝对稳定的条件为 其绝对稳定区域是以1为半径、以1为中心的圆外部，如图8-5所示.

  22. 由此得出绝对稳定的条件为 （2）讨论梯形法的稳定性． 对于试验方程(46)，相应的梯形法公式为 解出yi+1，有 其绝对稳定区域为 Re (h) 0 的整个复平面． 当为实数时，其绝对稳定区间为− <h 0.

  23. 从以上的分析讨论可以看到，隐式方法的稳定性比显式方法好，这也是隐式方法的主要优点！

  24. 8.1.4 线性多步法 • 求解初值问题的数值方法都是“步进式”的，即求解过程从初值y0开始，顺着节点的排列次序，一步一步地向前推进．所以，在计算yi+1时，前面的i + 1 个值y0, y1, , y i都是已知的．如果在计算yi+1时能充分利用这些已有的信息，而不是像单步法中那样，只用其前一步的值y i，则可望构造出精度高，但计算量小的求解公式．线性多步法就是基于这一思想发展起来的，其计算公式可表示为 • 其中， ，而j ,j都是常数.

  25. 线性多步法(50)式的实质是用若干节点处的函数值及导数值的线性组合来逼近y(xi+1)的值．由于在计算yi+1时需要用到其前k + 1个值：y i , yi−1, yi−2,, y i −k，故多步法(50)式又称为k + 1步法，且当−1 = 0时，此k + 1步法是显式的，而在−1 0时，此k + 1步法是隐式的. • 原则上，一切形如(50)式的多步法都可用Taylor级数展开的方法来导出(即确定其中的系数j ,j )，但有些多步法也可用数值积分法来构造．下面讨论实际中较为常用的几种线性多步法. • 一、Adams外插法

  26. 1．公式的推导 • 对方程y0 = f (x, y)的两边从xi到xi+1积分，得 • 为了近似计算(51)式中的积分，我们以xi −k , xi−k+1,,xi−1, xi为插值节点，作函数f (x, y (x)) 的k 次插值多项式p k (x)，从而有 f (x, y (x) ) = p k (x) + R (x), • 其中，R (x)为插值余项．将上式代入(51)式，得

  27. 略去积分余项R (x) d x，并用y i代替y (xi )，可得到计算公略去积分余项R (x) d x，并用y i代替y (xi )，可得到计算公式 • 注意，这里的 与p k (x)不同，它是将插值多项式p k (x)中用到的函数值f (xi , y (xi ))均以近似值f i = f (xi , y i )代替后所得到的表达式. • 由于(52)式的积分是在区间[xi , xi+1]上进行的，而 • 的插值区间却为[xi −k , xi]，即插值点x  [xi , xi+1]，位于插值区间之外，故称(53)式为外插公式.

  28. 考虑到插值点x靠近区间[xi −k , xi ]的最后一个节点xi，我们采用Newton向后插值公式，于是有 • 其中 ， 而▽为向后差分算子,即 ， • 等.

  29. 将(54)式代入(53)式并作变量代换，得 • 其中 • (55)式称为Adams外插公式(亦有称Adams-Bashforth公式)．不难看出，这是一类k + 1步显式方法.

  30. 由(56)式容易计算出b j，它的前几个值见表8-7. • 2．Adams外插公式的局部截断误差 • 注意到，若假定y i −j = y (xi −j ) , j = 0, 1,, k精确成立，则有 ．因此，Adams外插公式(55)的局部截断误差为

  31. 其中 • 而i是介于xi −k与xi+1之间的某个值. • 由(57)式可知，Adams外插公式(55)是一类k + 1步k +1阶的显式方法. • 几个常用的Adams外插公式如下： • ① 单步法(k=0) • ② 二步法(k=1)

  32. ③ 三步法(k=2) • ④ 四步法(k=3)

  33. 二、Adams内插法 • 现在以k +2个节点x −k , xi−k+1,  , xi , xi+1作为插值节点，作函数f (x, y (x) )的k + 1次插值多项式pk+1(x)，从而有 • 其中R (x)为插值余项．去掉上式中的积分余项，得

  34. 同样，采用Newton向后插值公式，并重复Adams外插公式的推导过程，可得 • 其中 • 表8-8列出了d j的前几个值.

  35. 由于插值点x 现在是落在积分区间[xi , xi+1]之内，所以称公式(60)为Adams内插公式(亦称Adams-Moutton公式)．容易看出，这是一类k + 1步隐式方法. • 由(59)式可知，公式(60)的局部截断误差为 • 其中 • 而i是介于xi −k与xi+1之间的某个值．所以，Adams内插公式(60)是一类k + 1步k + 2阶的隐式方法.

  36. 几个常用的Adams内插值公式如下： • ① 单步法(k=0) • ② 二步法(k=1) • ③ 三步法(k=2)

  37. 从上面所列的公式可以看到，步数相同的Adams内插公式比外插公式在精度上要高一阶，而阶数相同的内插公式的截断误差也比外插值公式的截断误差小许多，这是内插法的优点．但内插法是隐式的，求解用迭代法，因而计算量较大，这是它的缺点.从上面所列的公式可以看到，步数相同的Adams内插公式比外插公式在精度上要高一阶，而阶数相同的内插公式的截断误差也比外插值公式的截断误差小许多，这是内插法的优点．但内插法是隐式的，求解用迭代法，因而计算量较大，这是它的缺点. • 例8 对初值问题 • 分别用四步四阶Adams外插法和三步四阶Adams内插法求解. • 解取步长h = 0.1，即N = 10.

  38. 四步四阶Adams外插法的公式为 • 将 f (x, y) = 2x + y，h = 0.1， xi = 0.1i 代入，得

  39. 三步四阶Adams内插法的公式为 • 将f (x, y) = 2x + y， h = 0.1, xi = 0.1i 代入，得

  40. 本例可以解出yi+1使其成为显式 • 本例的精确解为y (x) = 3ex −2x −2．利用此精确解求出y1 = y(x1), y2 = y(x2), y3 = y(x3)，并用y0, y1, y2, y3作为上述外插公式的起步值，计算结果见表8-9.

  41. 从表8-9可以看到，Adams内插法比同阶的外插法精确.从表8-9可以看到，Adams内插法比同阶的外插法精确.

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